Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
0
f
(η)+
0
E
f
(η)+
n+1
∗
H
q−2
2
(|σ|,x,ls) dσ.
j,s
uj(x, y)=∫
+
где H
H
- обратное преобразование Фурье функции влияния H
j,s
(x, |η − y|,ls)=
j,s
n
&
s=1
H
q
R
(x, |η − y|,l
+H
j,n
H
(x, |η − y|,ls) fs(η)dη,
j,s
√
(x, |η − y|,l0)
j,1
1
q
2π
0
n+1
∞
0
)
E
q−2
J
(σ |y − η|)
q
2
2
σ
|y − η|
Вычисляя интеграл в правой части при помощи теории вычетов, получим:
∗
j,s
, т.е.
⎤
⎦
2
,
(x, |η − y|,ls)=ω
H
j,s
(x, λp)=ϕj(x, λp)
v
j,s
∞
q
p=1
E0
v
(x, λp) Re
j,s
Ω
∗
(ls,λp)
s
/
ω
s
(λp)
⎡
⎣
(iλ
p
,ωq=Γ
1
H
(iλp|y − η|)
m−2
m
2
2
)
m−2
|y − η|
q+1
q+1
−
2
π
2
.
Таким образом, формула для решения основной задачи (14.16)-(14.18)
принимает вид:
(x, y)=
u
j
$
0
E
$
0
E
$
f (η)!dη.
(η) dη+
f
0
f
n+1
(η) dη+
ω
+ω
+ω
1
H
(iλp|y−η|)
q−2
2
|y−η|
H
q
2
H
q
2
q−2
1
q−2
2
|y−η|
1
q−2
2
|y−η|
2
(iλp|y−η|)
q−2
2
(iλp|y−η|)
q−2
2
v
j,s
R
(x, λp)
(x, λp)
Re#(iλp)
q
R
&
∞
v
p=1
n
∞
p=1
&
j,0
v
∞
p=1
j,n+1
(x, λp)
q
&
q
&
q
s=1
Re#(iλp)
q
Re#(iλp)
q
R
q
2
14.6 Краевые задачи и операторы преобра-
зования для итерированного уравнения
Лапласа в I
Рассмотрим следующие задачи Дирихле для полупространства:
× (−∞, ∞) .
n
171
Δˆu
ˆu
Δˆu
=0,ls<x, y∈ Rq,
js
|
ˆu
= fjs(y) ,y∈ Rq; s =1, ..., n; j =1, ..., 2m.
js
x=l
s
=0,l0<x,y∈ Rq,
Δˆu
0
|
= f0(y) ,y∈ Rq;
ˆu
0
x=l
0
=0,l
n+1
|
x=l
n+1
= f
n+1
<x,y∈ Rq,
n+1
(y) ,y∈ Rq;
n+1
Основную краевую задачу (14.16)-(14.18) решают операторы преобразования P
0,Pn+1,Pjs
. Для структуры неизвестного решения имеем фор-
мулу:
2m
n
u = P
[ˆu0]+P
0
n+1
[ˆu
n+1
]+
j=1
Pjs[ˆujs] .
s=1
172
Глава 15
Неоднородные краевые задачи
для функций,
кусочно-гармонических шаре
15.1 Постановка краевых задач
Пусть Bn- единичный, кусочно-однородный шар из RN:
n+1
B
=
Vi; Vi=)x ∈ RN: ri< x <r
V
n
i=1
Шар B
допускает параметризацию Bn=S0× I
n
n+1
4
+
I
=
n
(ri,r
i=1
);r0=1,r
i−1
=0,ri<r
n+1
,
; i =1, ..., n +1.
i−1
; i =1, ..., n +1.
i−1
+
:
n
При этом оператор Лапласа Δ запишется в виде:
здесь Δ
∂
r
1
N−1
Δu ≡
- оператор Лапласа на сфере S0.
η
∂r
r
N−1
∂u
∂r
1
Δηu
+
2
r
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве B
решения сепаратной системы уравнений Лапласа с постоянными коэффициентами
Δu =0 (15.1)
173
,
n
по краевым условиям
]=f0(η) ,η∈ S
Γ
0[u1
0
и условиям неоднородного контакта на гиперповерхностях сопряжения S
становочные с оператором
:
k
k
Γ
[uk] − Γ
j1
=)η =(η1, ..., ηN):η2=1,,Sk=)η =(η1, ..., ηN):η2= r
S
0
Здесь Γ
Пусть числовые последовательности α
k
[u
]=fjk(η);η ∈ Sk; k =1, ..., n, j =1, 2 , (15.3)
k+1
j2
k
k
, Γ
, Γ
0
(j =1, 2; k =1, ..., n) - некоторые операторы, пере-
j1
j2
&
N
i=1
d
x
.
i
dx
i
k
j1,l
k
,α
определены усло-
j2,l
,α
0,l
виями:
l
r
= α
Γ
0
0,l
rl, Γ
k
l
r
ij
k
= α
rl; i, j =1, 2; k =1, ..., n; l ∈ Z,
ij,l
и пусть выполнены условия
det M
kj,l
k
α
1j,l
=
k
α
2j,l
α
α
k
1j,−l
k
2j,−l
=0,k =1, ..., n; j =1, 2; l ∈ Z. (15.4)
Обозначим
ϕ
n+1,l
(l)=rl; ψ
n+1,l
= r
−(l+N−2)
; l ∈ Z.
При фиксированном значении l рекуррентными соотношениями
(15.2)
2
k
,
.
k
(ϕ
Γ
k,l,ψk,l
j1
)=Γ
k
(ϕ
j2
k+1,l,ψk+1,l
) ,k =1, ..., n; j =1, 2. (15.5)
с учетом условий (15.4) можно корректно определить остальные n
пар функций (ϕ
0
ϕ
=Γ0[ϕ
1,l
1,l
k
Γ
[ϕ
ij
) ,k=1,..., n. Введем также обозначения
k,l,ψk,l
(r)]
(r)] = ϕ
k,l
,0ψ
r=r
=Γ0[ψ
1,l
0
k
(r);i, j =1, 2;k =1, ..., n ; l ∈ Z,
ij,l
(r)]
1,l
,i=1, ..., n +1;l ∈ Z,
r=r
0
174
k
Γ
[ψ
(r)] = ψ
k,l
ij
Заметим, что определители det Ω
k
(r) ,i,j =1, 2; k =1, ..., n, l ∈ Z,
ij,l
(ρ);k =1, ..., n ; l ∈ Z не зависят
k,l
от ρ. В дальнейшем считаем, что выполнены условия неограниченной
разрешимости задачи:
k
1) числовые последовательности α
,α
0,l
j1,l
k
,α
при l →∞имеют рост
j2,l
не выше степенного,
2) для каждого l ∈ Z выполнены условия:
det Ω
Определим функции влияния H
при k<s H
(r)(1 0) Ω
ϕ
k,l
<r<ρ<rk,
r
k−1
при k >s H
(r)−0ψ
ψ
k,l
<ρ<r<rs,
r
k−1
−1
1,l
∗
∗
k,s,l
·
k,s,l
−1
k,l
0
ϕ
1,l
=
·
(ρ) =0;k =1, ..., n,0ψ
k,l
=
10
0
1
Ω
(ρ)
− ψ
−1
s,l
(ρ)
k,l
∗
j,s
(r)0ψ
:
−1
1,l
0
1
=0 (15.6)
1,l
·0ϕ
−
1,l
·(1 0) Ω
01
−1
k,l
−1
Ω
s,l
(ρ)
(ρ)
0
1
0
1
при k = s
∗
=
H
k,s,l
⎧
⎪
⎪
ϕ
⎪
k,l
⎪
⎪
⎪
⎨
r
k−1
⎪
⎪
⎪
(r) ·−0ψ
ψ
k,l
⎪
⎪
⎪
⎩
r
k−1
Функции H
(r)(1 0) Ω
<r<ρ<rk,
−1
1,l
<ρ<r<rk.
∗
k,s,l
·
(r, ρ) определены корректно в силу условий неограни-
−1
(ρ)
k,l
0
ϕ
·(1 0) Ω
1,l
0
− ψ
−1
k,l
k,l
(ρ)
1
(r)0ψ
0
1
−1
1,l
·0ϕ
−
1,l
·(1 0) Ω
01
Ω
−1
k,l
−1
k,l
(ρ)
(ρ)
0
1
0
1
ченной разрешимости задачи.
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве I
решения сепаратной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
,
,
,
,
+
n
175
1
r
N−1
d
dr
(r
N−1
dˆu
k,l
) − l (l + N − 2)
dr
1
ˆu
=0;l ∈ Z (15.7)
k,l
2
r
по краевым условиям
[ˆu
]|
=ˆg
Γ
0
1,l
r=r
0
, (15.8)
0,l
и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
[ˆu
Γ
j1,l
k,l
] − Γ
k
j2,l
[ˆu
k+1,l
]=ˆg
,r = rk,k =1, ..., n; j =1, 2. (15.9)
jk,l
С помощью функций влияния решение задачи (15.7)-(15.9) можно
представить в виде:
(r)=H
ˆu
j
∗
j,1,l
(r, r0)
0
ˆg0+
1
Преобразование Фурье на сфере S
n
∗
H
j,s
s=1
с неразделенными переменными
0
(r, rs)
ˆg
1s
. (15.10)
ˆg
2s
приводит задачу (15.1)-(15.3) к виду: найти решение сепаратной системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1
˜u
=0;l ∈ Z (15.11)
k,l
2
r
r
1
N−1
dr
d
(r
N−1
d˜u
k,l
) − l (l + N − 2)
dr
по краевым условиям
N−1
˜
[˜u
]=r
Γ
0
1,l
f
, (15.12)
0,l
0
и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
[˜u
Γ
j1,l
k,l
] − Γ
k
j2,l
[˜u
k+1,l
]=r
N−1
k
˜
,r = rk,k =1, ..., n ; j =1, 2. (15.13)
f
jk,l
Из формулы (15.11) следует, что решение задачи (15.12)-(15.14) имеет
вид:
˜u
j,l
(r)=H
∗
j,1,l
(r, r0)
0
N−1
r
0
1
n
s=1
H
∗
j,s+1,l
(r, rs) r
˜
+
f
0,l
N−1
s
˜
f
1s,l
,
˜
f
2s,l
(15.14)
176
Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений
задачи (15.1)-(15.3) в виде:
(r, η)=
u
j
1
ω
N
S
0
n
+
H
(r, rs, η, ξ) r
j,s
s=1
(r, r0, η, ξ)
H
j,1
N−1
0
где
-(N-1) мерный объем единичной сферы S0из RN; C
- ω
N
0
N−1
r
f0(η)+
0
1
!
(η)
f
1s
(η)
f
2s
dS
, (15.15)
0
N/2−1
l
полиномы Гегенбауэра [19].
Пусть B
- единичный однородный шар из : B0=)x ∈ RN: x2< 1,.
0
15.2 Краевые задачи и соответствующие опе-
раторы преобразования
Рассмотрим модельные задачи Дирихле в единичном шаре B0:
Δˆu
=0,x∈ B0,
0
= f0(η) ,η∈ S0;
ˆu
0
Если функции f
ˆu
(η) ,fjq(η) непрерывны на соответствующей сфере,
0
=0,x∈ B0,
Δˆu
jq
= fjq(η) ,η∈ Sq.
jq
то решение каждой из указанных задач существует, единственно и находится по формуле Пуассона для шара. Основную формулу (15.16) можно
преобразовать к виду:
,
-
в котором P
вилам:
:ˆu0→ u0,
P
0
u
0j
0,Pjq
(r, η)=
2
n
j=1
Pjs[ˆujs] ,
s=1
u = P
[ˆu0]+
0
- операторы преобразования, действующие по пра-
∞
l + N/2 − 1
N/2 − 1
l=0
H
∗
j,1,l
(r, r0) r
N−1
0
−l
r
0
.
1
177
N/2−1
C
S
0
) - характеристическая функция области Vk;
χ (V
k
P
:ˆujq→ ujq,j =1, 2,ujq(r, η)=
jq
∞
u
1q,j
(r, η)=
l=0
C
S
0
∞
u
2q,j
(r, η)=
l=0
C
S
0
(η, ξ)ˆu0(r, η) dS0,
l
n+1
k=1
l + N/2 − 1
N/2 − 1
N/2−1
l
l + N/2 − 1
N/2 − 1
N/2−1
l
H
(η, ξ)ˆu1q(r, η) dS0,
H
(η, ξ)ˆu2q(r, η) dS0.
&
χ (Vk) u
∗
j,q,l
∗
j,q,l
(r, rq) r
(r, rq) r
js, q
N−1
q
N−1
q
(r, η) ,
−l
r
−l
r
1
0
0
1
Из условий неограниченной разрешимости задачи следует
Теорема 15.1 .Оператор преобразования P
ции ˆu
(ˆujq) гармонической в однородном шаре B0(rqB0) функцию u
0
) сопоставляет функ-
0(Pjq
(ujq) кусочно- гармоническую в кусочно- однородном шаре Bn, компоненты которой - функции u
0,k(ujq,k
) непрерывные в шаровом слое Vk.
178
0
Глава 16
Неоднородные краевые задачи
для функций,
кусочно-гармонических в
сферически-однородном
пространстве
16.1 Краевые задачи с сопряжениями на сфе-
рах
Пусть Bn- сферически кусочно- однородное пространство:
n+1
=
B
n
с естественной параметризацией- B
- единичная сфера из R
сферической системе координат, т.е.
Δ
- оператор Лапласа на сфере S0. Рассмотрим задачу о конструкции
η
ограниченного на множестве B
Лапласа с постоянными коэффициентами
Vi; Vi=)x ∈ RN: ri< x <r
V
i=0
N
. Пусть Δ - оператор Лапласа, записанный в
∂
Δu ≡
r
1
N−1
N−1
(r
∂r
, решения сепаратной системы уравнений
n
179
n
∂u
∂r
,
,r
Δηu,
−1
= ∞,r
i−1
= S0×In; S0=)η : η2=1
1
)+
2
r
n+1
=0
,
Δuk=0,x∈ Vk; k =0, 1, ..., n (16.1)
по условиям неоднородного контакта на гиперповерхностях сопряжения S
:
k
k
Γ
[uk] − Γ
j1
здесь Γ
вочные с оператором
Изучим вспомогательную задачу о конструкции ограниченного на
множестве I
k
[u
]=gjk(η);η ∈ Sk; k =1, ..., n, j =1, 2, (16.2)
k+1
j2
k
k
, Γ
(j =1, 2; k =1, ..., n) - некоторые операторы, перестано-
j1
j2
решения сепаратной системы линейных обыкновенных диф-
n
&
N
i=1
d
x
.
i
dx
i
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
1
ˆu
=0;l ∈ Z, (16.3)
k,l
2
r
r
1
N−1
dr
d
(r
N−1
dˆu
k,l
) − l (l + N − 2)
dr
по условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
[ˆu
Γ
j1,l
k,l
] − Γ
k
j2,l
[ˆu
k+1,l
]=ˆg
,r = rk,k =0, 1, ..., n; j =1, 2. (16.4)
jk,l
Введем ряд обозначений и сформулируем ряд условий, гарантирующих однозначную разрешимость задачи (16.3)-(16.4). Определим после-
k
k
,α
довательности α
1j,l
Γ
; l ∈ Z равенствами:
2j,l
k
l
k
r
= α
ij
ij,l
· rl,i,j =1, 2; k =0, 1, ..., n,
и потребуем выполнения условий:
det M
kj
=det
k
α
1j,l
k
α
2j,l
α
α
k
1j,−l
k
2j,−l
=0,k=0, ..., n, j =1, 2. (16.5)
Обозначим
(r)=rl; ψ
ϕ
0,l
n+1,l
(r)=r
−(l+N−2)
Рекуррентным соотношениями
k
[ϕ
Γ
k+1
j2
]=Γ
k
[ϕk] ,Γ
j1
; l ∈ Z.
180
k
[ψk]= Γ
j1
k
[ψ
] , (16.6)
k+1
j2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]