Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
2j
d
m
V
(ak− 0,α)=
2j
N
dt
2j+1
d
m
V
χ
k
2j+1
dt
Сплайны V
(ak− 0,α)=
N
m
N
[12], сопряженных в точках a
2j
d
m
V
(ak+0,α) ,j =0, 1, 2, ...,
2j
N
dt
2j+1
d
m
V
2j+1
dt
(ak+0,α) ,j =0, 1, 2, ...,
N
(t, α) в отличие от классических сплайнов степени m
, ..., aNубывают на бесконечности и име-
1,a2
ют разрывные производные нечетного порядка.
m
Для построения сплайнов V
фундаментальных сплайнов. Для сплайнов V
(t, α) введем в рассмотрение систему
N
N
вводится N +2 фундаментальных сплайна
m
,
2
m−1
,χ
k
2
3
(t, α) с N сопряжениями
> 0 ,
(t) ,μ2(t) , ..., μ
μ
1
N+2
(t) .
Фундаментальные сплайны однозначно определяются условиями
(ak)=δ
μ
r
/
(a0)=1, (i =1, 2, ..., N +1),
1
/
,μ
k,r−2
(a0)=0,
r
μ
1(ai
)=0,μ
(r =2, ..., N +2;k =0, 1, ..., N ) ,
здесь δ
Поскольку любой сплайн V
чениями в узлах a
в точке a
- символ Кронекера.
ij
(i =0, 1, ..., N +1)и значениями первой производной
i
, то имеет место равенство
0
N
3
V
N
(t,α)=
j=0
3
V
N
3
( t, α) полностью определяется N +2 зна-
N
(aj,α) μ
j+2
(t)+V
3
N
(t, α)
/
μ1(t) .
a
Таким образом, если будут найдены конкретные выражения для системы фундаментальных сплайнов μ
возможным представить класс сплайнов V
(t) ,μ2(t) , ..., μ
1
3
(t, α) в параметрическом ви-
N
(t) , то окажется
N+2
де
N+2
i=1
αiμi(t) .
3
(t, α) в уз-
N
Пусть m
лах a
V
- значения второй производной сплайна V
i+1,mi
равномерной сетки с шагом
i+1,ai
3
(t,α)=
N
271
Δ, (a
− ai=Δ; i =0, ..., N − 1) . Проведя вычисления по схеме п.28.3
i+1
получим на промежутке
[a
i,ai+1
] формулу V
3
(x, α)=
N
2
Δ
m
ϕ
i
6
=
+(6V
3
(a
N
здесь ϕ, ψ функции вида (c
a
−x
i+1
Δ
,α) − Δ2m
i+1
+ m
i+1
x−a
i
ϕ
Δ
x−a
) ψ
i+1
Δ
+ c1x + c2x2+ c3x3) e−x, коэффициенты
0
+(6V
i
,
3
(ai,α) − Δ2mi) ψ
N
a
i+1
Δ
которых однозначно определяются из краевых условий:
/
ϕ (0) = 0,ϕ
ψ (0) = 0,ψ
(0) = 0,ϕ(1) = 1,ϕ/(1) = 3,
/
(0) = ψ/(1) ,ψ//(0) = 0,ψ//(1) = 0
соответственно.
Выберем величины из условий сопряжения, т.е. из условий
d
3
(a
i+1
− 0) =
V
χ
i
N
dx
d
dx
3
V
N
(ai+0).
Вычислив значения производных, приходим к уравнениям:
χ
i
= −
Δ
3
Δ
3
m
m
i
i+1
Δ
+
m
i+1
3
Δ
−
m
3
i+2
3
V
(a
,α) − V
i+1
N
+
3
V
(a
i+2
N
+
Δ
,α) − V
Δ
3
(ai,α)
N
3
N
(a
i+1
ψ
,α)
/
(0)=
/
(0) .
ψ
Таким образом, для определения N +1 значений получено N линейных уравнений. Еще одно уравнение дает краевое условие
−x
+
d
dx
V
3
(a +0)=V
N
/
a
откуда получаем
2m
+ m2=
1
Δ
3
6
(a1,α) − V
V
N
Δ
3
(a0,α)
N
− V
В матричной форме записи система имеет вид CM
272
/
.
b
∗
= D, где
C =
⎛
21 00... ... ... ... ... ...
⎜
/2 χ1+1 1/20... ... ... ... ... ...
χ
1
⎜
⎜
0 χ
⎜
⎜
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
⎜
⎜
... ... ... ... ... 0 χ
⎜
⎝
... ... ... ... ... ... 0 χ
... ... ... ... ... ... ... 012
∗
=
M
3
=
d
i
Δ
Для построения фундаментальных сплайнов μ
представить вектор D =
T
определяющих значений
V
i
/2 χ2+1 1/20... ... ... ... ...
2
/2 χ
N−1
m
⎞
m
1
⎟
.
.
⎠
.
N+1
=
d
1
3
(a
,α) − (1 + χi) V
i+1
N
=
d
N
Δ
⎛
⎜
⎝
V
2
,D =
6
Δ
3
2
⎛
⎜
⎝
d
3
(a1,α) − V
V
N
−(1 + χ
d
N+1
d
N+1
d
1
.
.
.
N
=
1
) V
,..., d
⎞
⎟
,
⎠
3
(a0,α)
N
Δ
3
(ai,α)+χiV
N
3
(aN,α)+χNV
N
3
Δ
χNV
2
3
N
N+2
/
ψ
3
N
(aN,α) .
T
как произведение вектора
+1 1/20
N−1
/2 χN+1 1/2
N
(0) − V
(a
/
a
,α),i=2, ..., N −1;
i−1
3
(a
N−1
N
(t) , ..., μ
1
,
,α),
N+2
(t) удобно
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
d
dx
3
(a0,α),V
V
m
=
V
i
3
(a0,α) ,V
m
на матрицу B, которая имеет вид
⎛
6
B =
−
⎜
0
⎜
⎜
... ... ... ... ... ...
⎜
⎝
... ...
6
−
Δ
Δ
3
2
Δ
6
2
3(χ1+1)
−
2
Δ
2
Δ
3
2
Δ
... ... ...
273
3
(a1,α) , ..., V
m
0 ... ...
3χ
1
2
Δ
3(χN+1)
−
2
Δ
6
2
Δ
0 ...
3χ
N
2
Δ
6
−
2
Δ
3
(aN,α) , 0, 0
m
0
6
Δ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
T
.
Определяющими значениями фундаментальных сплайнов являются
∗
единичные векторы V
, у которых единице равна координата с номером
i
фундаментального сплайна. Упорядочим фундаментальные сплайны таким образом, чтобы матрица определяющих значений стала единичной.
Т.е. принято такое упорядочение
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
μ
1μ2
... μ
N+1μN+2
10... 00
01... 00
... ... ... ... ...
00... 10
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
00... 01
Матрица M значений вторых производных N +2фундаментальных
сплайнов
M =
⎛
m
1,1
⎝
... ... ...
m
N+2,1
... m
... m
N+2,N+2
1,N+2
⎞
⎠
определяется как решение матричного уравнения
CM = B.
Зная матрицу M, легко вычислить значения фундаментальных сплайнов. Они вычисляются по формулам:
для t ∈ [a
(x)=m
μ
1
+δ
i+1,j
i,1
μ
j
Матрицу M можно вычислить аналитически, M = C
достаточно найти матрицу C
i,ai+1
a
i+1
ϕ
(t)=m
− m
i+1,j
Δ
]
− x
i,j
Δ
ϕ
2
6
Δ
6
−m
a
i+1
ψ
2
+m
i,1
− t
Δ
t − a
−1
x − a
Δ
i+1,j
δ
i,j
i
2
Δ
6
− m
ϕ
,
Δ
6
i+1,j
2
−m
t − a
Δ
Δ
6
ψ
i+1,1
Δ
i
6
ψ
2
−1
B. Для этого
2
+
a
i
x − a
− t
Δ
ϕ
i+1,1
a
− x
i+1
ψ
Δ
2
Δ
+ m
6
+
i
Δ
.
Δ
2
Δ
i
6
.
274
Обозначим через Dnопределитель матрицы :
⎛
21 00... ... ... ...
⎜
/2 χ1+1 1/20... ... ... ...
χ
1
⎜
⎜
0 χ
⎜
⎜
... ... ... ... ... ... ... ...
⎜
⎜
... ... ... ... 0 χ
⎜
⎝
... ... ... ... ... 0 χ
/2 χ2+1 1/20 ... ... ...
2
N−2
/2 χ
+1 1/2
N−2
/2 χ
N−1
N−1
+1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Раскладывая этот определитель по алгебраическим дополнениям элементов последнего столбца, получим рекуррентную формулу для вычисления определителя
χ
=(χ
D
n
n−1
Используя определители D
−1
. Получаем
C
(−1)
−1
c
=
ij
−1
c
ij
=
−1
c
1j
−1
c
N+2,j
2
(−1)
2
=
j−i
i−j
(−1)
=
+1)D
i+j
D
i+j
D
1+j
j−2
2
(−1)
N+1−j
2
n−1
i−1DN+2−j
D
j−1DN+2−i
D
D
N+j
n−1
−
, вычислим элементы обратной матрицы
n
D
n−2,D1
2
=2,D0=1.
(1 <i≤ j ≤ N +2).
N+2
(1 ≤ j ≤ i<N+2).
N+2
N+2−j
D
N+2
D
D
(1 <j≤N +2). (28.12)
j−1
(1 ≤ j<N+2).
N+2
Итак, для того чтобы найти систему обобщенных кубических фундаментальных сплайнов с N сопряжениями, надо:
вычислить величины D
по формулам (28.12) получить матрицу C
вычислить матрицу размера (N +2)×(N +2)по формуле M = C
;
n
−1
размера ;
−1
B;
получить фундаментальные сплайны.
Таким образом, открывается возможность применения алгоритма упорядоченной минимизации риска [12] в классе обобщенных сплайнов для
решения задач математической физики неограниченных кусочнооднородных сред.
275
28.5 Операторы преобразования сплайнов.
Операторы преобразования, введенные в п.28.2, громоздки в практическом применении. Ниже приводится реализация операторов преобразования на классе сплайнов˜V
, ..., aN∈ In[12]. Справедлива
a
1,a2
Теорема 28.2 .Оператор преобразования P в классе сплайнов˜V
порядка m с N сопряжениями в точках a
делить как оператор, сопоставляющий сплайну˜V
однородный сплайн V
1. в точках a
1,a2
своими производными до порядка m − 1 включительно;
2. в точках l
1,l2
сопряжения вида:
2j
d
m
V
(lk−,α)=
2j
N
dt
2j+1
d
m
V
χ
k
2j+1
dt
(lk−,α)=
N
3. выполняются условия периодичности:
m
(t, α) порядка m с N сопряжениями в точках
N
m
(t, α) ( P :˜V
N
m
N
, ..., aN∈ Inсплайн V
, ..., ln∈ Inсплайн V
2j
d
m
V
(lk+,α) ,j =0, 1, 2, ...,
2j
N
dt
2j+1
d
m
V
2j+1
dt
(lk+,α) ,j =0, 1, 2, ...,
N
, ..., aN∈ Inможно опре-
1,a2
(t, α) → V
m
(t, α) непрерывен вместе со
N
m
(t, α) удовлетворяет условиям
N
m
(t, α) кусочно-
N
m
(t, α) ) по правилу:
N
m
,
2
m−1
2
,χ
k
m
(t, α)
N
> 0 ,
j
d
m
V
(l0,α) −
N
j
dt
Оператор P
j
d
V
j
dt
−1
( P−1: V
m
(l, α)=
N
j
d
j
dt
m
(t, α) →˜V
N
m
˜
V
N
j
d
m
˜
(l0,α) −
m
N
V
(l, α) ,j =0, 1, 2, ..., m
N
j
dt
(t, α) ), обратный к оператору
преобразования P, можно определить по правилам:
1. в точках a
, ..., aN∈ Inсплайн˜V
1,a2
m
(t, α) непрерывен вместе с
N
производными до порядка m − 1 включительно;
2. в точках l
, ..., ln∈ Inсплайн˜V
1,l2
m
(t, α) удовлетворяет условиям
N
сопряжения вида:
dt
j
d
˜
V
j
m
(lk− 0,α)=
N
j
d
m
˜
V
(lk+0,α) ,j =0, 1, 2, ..., m ,
N
j
dt
3. выполняются условия периодичности.
∗
Оператор P
сплайнов˜V
, можно определить как оператор, сопоставляющий сплайну˜V
I
n
сплайн V
m
N
, сопряженный к оператору преобразования P в классе
m
(t, α) порядка m с N сопряжениями в точках a1,a2, ..., aN∈
N
(t, α) ( P∗:˜V
m
(t, α) → V
N
m
(t, α) ) по правилу:
N
276
m
N
(t, α)
1. в точках a1,a2, ..., aN∈ Inсплайн V
m
(t, α) непрерывен вместе с
N
производными до порядка m − 1 включительно;
2. в точках l
, ..., ln∈ Inсплайн V
1,l2
m
(t, α) удовлетворяет условиям
N
сопряжения вида:
dx
dx
d
d
2j
2j
2j+1
2j+1
m
V
(lk−,α)=
N
m
V
N
(lk−,α)=χ
2j
d
m
V
(lk+,α) ,j =0, 1, 2, ...,
2j
N
dx
2j+1
d
m
V
k
2j+1
dx
(lk+,α) ,j =0, 1, 2, ...,
N
3. выполняются условия периодичности:
m
,
2
m−1
2
,χ
> 0 ,
k
j
d
m
V
(l0) −
N
j
dx
Доказательство. В каждой точке отрезка [l
, ..., aN,l1,l2, ..., ln∈ Inимеем:
a
1,a2
Методом интегрирования по частям в интеграле
dx
d
d
dx
j
V
j
m+1
m+1
m
N
(l)=
m
˜
V
(x)=0,
N
dx
j
d
m
˜
V
(l0) −
N
j
dx
d
j
d
m
˜
V
(l) ,j =0, 1, 2, ..., m.
N
j
dx
,l] , исключая точки стыка
0
m+1
m
V
(x)=0. (28.13)
N
m+1
l
˜vj(t)˜V
l
0
m
(t) dt, с
N
использованием условий (28.13) установим справедливость равенств:
l
˜vj(x)˜V
l
0
m
(x) dx =
N
Утверждение теоремы следует из определения операторов P и P
I
n
vj(x) V
m
(x) dx, j =1, 2, ....
N
−1
28.6 Некорректные задачи измерения для
кусочно-
Восстановление решения операторного уравнения (28.2) будем проводить
в классе сплайнов, удовлетворяющих условиям сопряжения (28.1) в точках стыка. Пусть
однородных сред.
.
277
˜π1(t) , ..., ˜π
N+m+1
(t)
- система фундаментальных сплайнов на [a, b] степени m с N сопряже-
m
ниями [12]. Тогда для любого сплайна˜V
m
˜
(t, α)=
V
N
где α =(α
, ..., α
1
) - коэффициенты разложения сплайна˜V
N+m+1
(x, α) справедливо разложение:
N
N+m+1
αi˜πi(t) ,
i=1
по фундаментальной системе сплайнов.
Фундаментальный кусочно-однородный сплайн определим равенствами:
m
N
(t, α)
(t) = P [˜π1(t)] , ..., π
π
1
Тогда для любого кусочно-однородного сплайна V
n+M+1
(t)=P [˜π
(t)] . (28.14)
N+m+1
m
(t, α) справедливо
N
разложение:
N+m+1
i=1
αiπi(t) ,
m
N
(x, α)
где α =(α
, ..., α
1
m
(t, α)=
V
N
) - коэффициенты разложения сплайна V
N+m+1
по фундаментальной системе кусочно-однородных сплайнов.
Приступим к построению сплайн- приближения решения уравнения
(28.2). Рассмотрим образы кусочно-однородной фундаментальной системы (28.14):
(t)=A [π1(t)] , ..., μ
μ
1
n+m+1
(t)=A [π
N+m+1
(t)]
и примем в качестве решения операторного уравнения (28.2) такой
m
кусочно-однородный сплайн V
(t, α) , образ которого F (t, α∗) гаранти-
N
рует малую величину риска [12]:
I (α)=(y − F (x, α))
2
P ( y | x) dydx.
Из приведенных в п.6 главы IX из [12] результатов об оценке риска
I (α) , следует
278
Теорема 28.3 . Если удовлетворяется условие (см.[12] условие (7.15))
sup
α
p
(y − F (x, α))
(y − F (x, α))
2p
P ( y | x) dydx
2
P ( y | x) dydx
≤ τ
,p≥ 2,
N
то с вероятностью 1 −η одновременно для всех кусочно-однородных
сплайнов с N сопряжениями выполняется неравенство:
⎤
⎥
⎥
⎥
η
⎦
12
∞
, (28.15)
I (α) <
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1 − 2
1
√
i
3
i
&
j=1
2 τN·
y
N+m+1
−
j
(N+m+1)(ln
&
p=1
αpμp(xj)
2i
N+m+1
i
2
+1)−ln
при этом качестве решения операторного уравнения (28.2) выберем
такую кусочно-однородную сплайн-функцию, для которой достигается
минимум правой части оценки (28.15).
279
Глава 29
Операторный метод решения
некорректных задач
кусочно-однородных сред
29.1 Ретроспективная задача о структуре тем-
пературного поля конечного
кусочно-однородного стержня.
Задача о структуре температурного поля, в которой искомым является первоначальное распределение источников, порождающее некоторое
заданное распределение температуры, приводит к сепаратной системе
интегральных уравнений Фредгольма I рода:
G (x, ξ, β)f (ξ) dξ = F (x) ,x ∈ In, (29.1)
I
n
здесь f (ξ) - неизвестная структура кусочно-однородного температурного поля, F (x) - заданное распределение температурного поля в момент
времени t = β, G(x, ξ,β) - функция влияния [5].
Метод упорядоченной минимизации риска [12] может быть рекомендован для решения сепаратной системы интегральных уравнений (29.1).
Замечание. Точное решение задачи (29.1) получено в г.23.
280
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]