Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
uj(x, lj)=u
∂
uj(x, lj)=
k
j
∂y
где ˆu (x, l
) - след на гиперплоскости y = l0функции ˆu =ˆu (x, y) ,
0
гармонической из класса H
α
2
j+1
R
(x, lj) ,
∂
u
(x, lj) ,j =1, ..., n,
j+1
∂y
+
,α ≥ 2. Из определения оператора
m+1
преобразования следует, что решение поставленной задачи существует
единственно, принадлежит классу H
(Rm× I
2
) ,α≥ 2, и имеет вид:
n+1
α
u (x, y)=
J [P (x − ξ, y − l0)] · ˆu (ξ,l0) dξ,
m
R
где P (x, y) - ядро Пуассона для полупространства, J - оператор пре-
образования J :ˆu → u,
n+1
u (x, y)=
J [ˆu]=Λ
−1
· Γ−1· Λ
k=0
θ (y − l
−1
0
) θ (lk− y) uk(x, y),
k−1
1
θ (−y) S −
2
1
θ (y) E[ˆu] ,
2
S - оператор отражения: S :ˆu → ˆu (x, −y) ,E- единичный оператор,
Λ ≡ Λ
· ... · Λ1и Γ ≡ Γn· ... · Γ1,
n
Λ
[f]=θ (li− y)kif (x, y)+
i
Γ
− y) g (x, 2li− y)+θ (y − li) g (x, 2li+ y).
θ (l
i
Операторы, обратные к Λ
−1
[g]=θ (li− y)
Λ
i
+θ (y − l
)
i
ki+1
−1
Γ
[h]=
i
1 − k
2
[g]=g (x, y)+
i
и Γi, имеют вид, соответственно:
i
1
g (x, y) −
k
2
i
g (x, y),
∞
(−1)
j=0
j
i
f (x, 2l
1 − k
1+k
1 − k
1+k
211
− y)+θ (y − li)
i
1 − k
i
0
·
1+k
i
0
1−k
i
g (x, 2li− y)+
1+k
i
j
i
i
1 − k
1+k
0
0
k
+1
i
f (x, y),
2
j
θ (−y) · h (x, 2l
· j − y)+θ (y) · h (x, y +2li· j).
i
22.2 Задача Дирихле для кусочно-однородного
полупространства.
Введем обозначения:
В кусочно-однородном пространстве R
m×I+
рассмотрим задачу Ди-
n
рихле для сепаратной системы уравнений Лапласа:
=0, (x, y) ∈ Rm× (l
Δu
i
) ,i=1, ..., n,
i−1,li
по граничному условию
(x, l0)=ˆu (x, l0) ,
u
1
по условиям сопряжения
(x, lj)=u
m
juj
∂
k
u
x, l
(
j
j
∂y
где ˆu (x, l
) - след на гиперплоскости y = l0функции ˆu =ˆu (x, y) ,
0
гармонической из класса H
j
)=
α
2
j+1
∂y
R
(x, lj) ,
∂
u
j+1
+
m+1
(
,α≥ 2.
x, l
j
),j=1
, ..., n ,
Решение u = u (x, y) ,
n
+
n+1
θ (y − l
k=1
,α≥ 2:
u (x, y)=
cуществует, единственно и принадлежит классу
α
R
H
× I
2
m
) θ (lk− y) uk(x, y)+θ (y − ln) u
k−1
n+1
(x, y)
u (x, y)=
J [P (x − ξ, y − l0)] · ˆu (ξ,l0) dξ,
m
R
где P (x, y) - ядро Пуассона для полупространства, J - оператор пре-
образования:
При этом
J [ˆu]=Λ
−1
· Γ−1[ˆu] .
212
Γ ≡ Γn· ... · Γ1, Λ ≡ Λn· ... · Λ1,
Γ
[f]=θ (y − l0) f (x, y)+θ (y − l0)
i
Λ
[f]=θ (y)θ (li− y)
i
+θ (y − l
оператор Γ
далее Λ
−1
)
i
−1
имеет вид:
Γ
−1
=Λ
1
mi+k
2m
−1
[g]=
· ...Λ
i
f (x, y)
i
k=0
−1
n
∞
,
m
− k
j
i
f (x, y +2li) , 0 <hi< 1,
i
mi−k
i
f (x, 2li− y)+
2m
i
k
i
f (x, y)+
m
i
mj+ k
(−1)khkg (x, y +2l · k) ,
−1
[g]=θ (y)θ (li− y)
Λ
i
+θ (y − l
i
)
2m
mi+k
i
g (x, y),
i
m
i
k
i
g (x, y) −
mi−k
i
g (x, 2li− y)+
mi+k
i
где
n
m
− k
j
mj+ k
i
,l· k =
i
k
k
1
= h
h
· ... ·h
1
k
n
n
,hi=
li· ki.
i=1
22.3 Полупространство с неоднородными
условиями сопряжения.
Лемма 22.1 Пусть функция ˆv =ˆv (x, y) - гармонична в полупростран-
стве R
H
u (x, y)=θ (y − l
пряжения в кусочно- однородном полупространстве R
ратной системы уравнений Лапласа
+
= { (x, y):x ∈ Rm,y ∈ R } и принадлежит классу
m+1
+
α
R
2
,α≥ 2. Решение
m+1
Δu
1
) θ (l − y) u1(x, y)+θ (y − l) u2(x, y) краевой задачи со-
0
=0, (x, y) ∈ Rm× (l0,l) , Δu2=0, (x, y) ∈ Rm× (l, ∞)
+
m
× I
для сепа-
1
213
с граничным условием
и условиями сопряжения
(x, l0)=0
u
1
(x, l) − u2(x, l)=ˆv (x, l) ,
u
1
∂
∂y
(x, l)=
u
1
∂
∂y
u
(x, l)
2
имеет вид:
1
= −
u
1
u
2
ˆu (x, y +2l)+
2
1
= −
ˆu (x, y +2l) −
2
1
ˆu (x, 2l − y) , 0 <y<l,
2
1
ˆu (x, y) ,l<y.
2
Таким образом, задан оператор преобразования: T :ˆu → u.
+
В кусочно- однородном полупространстве R
m
×I
рассмотрим задачу о
1
решении сепаратной системы уравнений Лапласа:
Δz
=0, (x, y) ∈ Rm× (l0,l) , Δz2=0, (x, y) ∈ Rm× (l, ∞)
1
с граничным условием
(x, l0)=0
z
1
и неоднородными условиями сопряжения
∂
(x, l) − z2(x, l)=ˆv (x, l) ,k
z
1
где ˆv (x, l) - след на гиперплоскости y = l функции ˆv =ˆv (x, y) гар-
монической в R
+
= Rm× (l, ∞) из класса H
m+1
∂y
z
(x, l)=
1
∂
z
(x, l) ,
2
∂y
+
α
R
2
,α≥ 2. При-
m+1
менение оператора преобразования J, порождаемого рассматриваемой
краевой задачей, дает выражение для z,
z = J [u] ,
z (x, y)=θ (y − l
) θ (l − y) z1(x, y)+θ (y − l) z2(x, y),
0
где u = u (x, y) - решение вспомогательной задачи сопряжения. Из
леммы 22.1 следует равенство:
214
z (x, y)=
при этом функция z из класса H
J · T [P (x − ξ, y − l)] · ˆv (ξ, l) dξ,
m
R
α
R
2
+
,α≥ 2,
× I
1
m
22.4 Операторы преобразования и векторные
краевые задачи
1. Третья краевая задача для однородного полупространства. Пусть вектор-
функция ˆu =ˆu (x, y) гармонична в полупространстве
+
= { (x, y):x ∈ Rm,y >0 }
R
m+1
+
α
и принадлежит классу H
R
2
задачу для уравнения Лапласа
,α ≥ 2 (см.[1]). Рассмотрим краевую
m+1
Δu =0, (x, y) ∈ R
+
m+1
с граничными условиями
Hu(x, 0) +
∂
u (x, 0) = ˆu (x, 0)
∂y
где H -симметрическая матрица, у которой соответствующая квад-
ратическая форма отрицательно определенная, ˆu (x, 0) - след вектор-
функции ˆu =ˆu (x, y) на плоскости y =0(см.[1]). Решение u = u (x, y)
поставленной задачи существует, единственно и принадлежит классу
α+1
H
2
ческой в R
ющий из H
оператора L
1) оператор L
2) оператор L
+
R
см. [1]. Таким образом, для любой функции ˆu , гармони-
m+1
+
, определен оператор преобразования J ≡ L
m+1
+
α
R
2
−1
h
в H
m+1
:
= h +
h
−1
можно представить в виде:
h
L
α+1
2
∂
является обратным к L
∂y
−1
[ˆu]=−
h
+
R
по правилу L
m+1
∞
eHεˆu (x, y + ε) dε,
0
−1
h
−1
h
−1
h
:ˆu → u . Свойства
,
, действу-
215
3) оператор L
−1
продолжается на весь класс функций H
h
α
R
Следовательно, решение третьей краевой задачи имеет вид:
∞
−∞
−1
L
[P (x − ξ, y)] ˆu (ξ, 0) dξ,
h
u =
где
P (x − ξ, y)=Γ
n +1
2
n+1
−
2
π
(x − ξ)
2
y
+ y
n+1
2
2
- ядро Пуассона для полупространства.
2. Третья краевая задача для однородного m- мерного шара. Пусть
функция ˆu =ˆu (x) гармонична в шаре B
α
ˆu ∈ H
(B0) ,(α ≥ 2) . Рассмотрим уравнение Лапласа
2
= {x ∈ Rm: |x| < 1 } и пусть
0
+
m+1
.
Δu =0,x ∈ B
0
с граничными условиями
∂
Hu(ξ)+
где H симметрическая матрица, такая что квадратическая форма,
u (ξ)=ˆu (ξ) ,ξ ∈ S
∂n
,
0
соответствующая матрице H − E -положительно определенная; ˆu =ˆu (ξ)
α+1
2
.
0
. Имеем:
−1
:ˆu → u определен
h
∂
+ ... + x
1
∂x
1
∂
,
∂n
∂
n
∂x
n
- след вектор-функции ˆu =ˆu (x) на сфере S
Решение u = u (x) поставленной задачи существует, единственно и
принадлежит классу u ∈ H
монической в шаре функции ˆu =ˆu (ξ) по правилу L
оператор преобразования L
−1
1) L
2) на сфере S
3) L
Решение третьей краевой задачи в шаре имеет вид:
u =
- оператор обратный к оператору Lh= H + x
h
справедливо равенство: Lh= H +
0
1
[ˆu]=
−1
L
H
H− E
ε
0
[P (x, ξ)] ˆu (ξ)dξ,
S
−1
h
0
α+1
(B0) , (α ≥ 2) см. [1]. Для каждой гар-
2
−1
h
из H
α
в H
2
ˆu (εx) dε , (см. [2]).
где P (x, ξ) - ядро Пуассона в шаре.
3. Задача Дирихле для кусочно-однородного полупространства. Вве-
дем обозначения:
+
=y : y ∈
I
n
n+1
U
j=1
(l
j−1,lj
) ,lj<l
,j=1, ..., n − 1,l
j+1
n+1
= ∞,
216
,
числа 0=l0<l1<l2< ... < lnтакие, что li− l
i−1
≤ l
i+1
− li,
i =1, ..., n − 1 .
В кусочно-однородном пространстве R
m×I+
рассмотрим задачу Ди-
n
рихле для сепаратной системы векторных уравнений Лапласа:
=0, (x, y) ∈ Rm× (l
Δu
i
) ,i=1, ..., n
i−1,li
по граничному условию
(x, l0)=ˆu (x, l0)
u
1
по условиям сопряжения
(x, lj)=u
M
juj
∂
uj(x, lj)=
K
j
∂y
где ˆu (x, l
) - след на плоскости y = l0вектор-функции ˆu =ˆu (x, y) гар-
0
монической из класса H
α
R
2
(x, lj) ,
j+1
∂
u
(x, lj) ,j=1, ..., n ,
j+1
∂y
+
,α≥ 2 -симметрические положительно
m+1
определенные матрицы.
Решение u = u (x, y) ,
n
u (x, y)=
cуществует, единственно и принадлежит классу H
u (x, y)=
где P (x, y) - ядро Пуассона, J - оператор преобразования:
J [ˆu]=Λ
−1Γ−1
Γ ≡ Γ
Γ
· ... · Γ1, Λ ≡ Λn· ... · Λ1,
n
[f]=θ (y − l0) f (x, y)+θ (y − l0)(Mi− Ki)(Mi+ Ki)−1f (x, y +2li) ,
i
i =1, ..., n, 0 <h
оператор Γ
−1
[g]=
Γ
где
k
k
= h
1
· ... ·h
1
h
θ (y − l
k=1
J [P (x − ξ, y − l0)] · ˆu (ξ,l0) dξ,
m
R
[ˆu] . При этом
i
−1
имеет вид:
∞
hkg (x, y +2l · k) ,
k=0
k
n
,hi=(E − Ki)( E + Ki)−1,l· k =
n
) θ (lk− y) uk(x, y)+θ (y − ln) u
k−1
< 1 i =1, ..., n, 0 <hi< 1
n+1
α
R
× I
2
n+1
m
+
(x, y)
,α≥ 2:
n
li· ki.
i=1
217
Λi[f]=θ (y)θ (li− y) M
E + K
+ θ (y − l
далее Λ
−1
) M
i
i
−1
−1
=Λ
1
−1
[g]=θ (y)θ (li− y) K
Λ
i
·M
g (x, y) − ( E − Ki)(E + Ki)−1Mig (x, 2li− y)+
i
+2θ (y − l
−1
K
f (x, y)+
i
i
i
f (x, y),
2
−1
· ...Λ
)(E + Ki)−1Mig (x, y).
i
,
n
−1
·
i
E − K
2
i
f (x, 2l
4.Четвертая краевая задача для полупространства.
m
В кусочно-однородном пространстве R
+
× I
рассмотрим задачу Дири-
n
хле для сепаратной системы векторных уравнений Лапласа:
− y)+
i
=0, (x, y) ∈ Rm× (l
Δu
i
) ,i=1, ..., n
i−1,li
по граничному условию вида:
Hu
1
(x, l0)+u
/
(x, l0)=ˆu (x, l0)
1y
по условиям сопряжения
M
(x, lj)=u
juj
∂
K
uj(x, lj)=
j
∂y
где ˆu (x, l
) - след на плоскости y = l0вектор-функции ˆu =ˆu (x, y)
0
гармонической из класса H
α
2
(x, lj) ,
j+1
∂
u
(x, lj) ,j=1, ..., n ,
j+1
∂y
+
R
,α ≥ 2 , -симметрические положи-
m+1
тельно определенные матрицы.
Решение u = u (x, y) ,
u (x, y)=
cуществует, единственно из класса H
n
&
k=1
θ (y − l
) θ (lk− y) uk(x, y)+θ (y − ln) u
k−1
α
× I
R
m
2
+
n+1
n+1
,α≥ 2:
(x, y)
u (x, y)=
J [P (x − ξ, y − l0)] · ˆu (ξ,l0) dξ,
m
R
где P (x, y) - ядро Пуассона для полупространства, J - оператор пре-
образования:
J [ˆu]=Λ
При этом Λ ≡ Λ
−1Γ−1
[ˆu] .
· ... · Λ1, а для операторов Γ и Γ−1получены выра-
n
жения:
218
Γ ≡ Γn· ... · Γ1,
[f]=θ (y − l0)H +
Γ
i
−1
Γ
i
Здесь P
(ε) - полином степени j с матричными коэффициентами.
j,i
Для определения P
P
j,i
H−
(0) = X
d
X
dε
j
. Заметим, что в том случае, когда матрицы H и X
i
∂
f (x, y)−θ (y − l
∂y
X
=(E − Ki)( E + Ki)−1i =1, ..., n,
i
∞
∞
[g]=
j,i
iPj,i
eHε·
j=0
0
(ε) имеем рекуррентную формулу:
(ε)=H−
коммутируют для полинома P
(ε)=Lj(2Hε) · X
P
j,i
(τ) − полином Лежандра [4].
где L
j
)H −
0
(ε)
P
j,i
g (x, y +2lj + ε) dε.
j!
d
P
dε
(ε) получается явная формула:
j,i
j+1,i
j
i
∂
X
∂y
(ε) ,P
,
f (x, y +2li) ,
i
(ε)= E.
0,i
5.Задача Дирихле для кусочно-однородного шара. Кусочно- однород-
+
ный шар B
+
B
=
U
n
j=0
где r
1 = r
Рассмотрим сепаратную систему уравнений Лапласа
определим равенством:
n
n
Bj,Bj= {x : r
, ..., rn,r
0,r1,r2
0>r1>r2
> ... > rn>r
< x <rj},j =0, ..., n,
j+1
- точки на [0,1] , такие, что
n+1
n+1
=0;
r
i
≤
r
0
r
i+1
,i=1, .., n − 1 .
r
i
(22.1)
i
Δu
i
=0,x∈ B
,i=1, ..., n +1
i−1
с граничным условием
(η)=ˆu (η),η∈ S
u
1
0
с условиями сопряжения сферах Si= {ξ : ξ = ri} ; i =1, .., n :
219
Mjuj(ξ)=u
m−2
L
i
[uj(ξ)] = L
2
K
j+1
(ξ) ,
m−2
[u
(ξ)] ,ξ∈ S
j+1
2
i
где ˆu (η) - след на сфере η ∈ S0функции ˆu =ˆu (η) гармонической из
класса H
m−2
L
2
α
(B0) ,α≥ 2 , оператор L
2
=
m − 2
2
m
∂
x
+
i=1
i
∂x
i
m−2
имеет вид:
2
.
Непосредственная проверка показывает, что решение u = u (x) поставленной задачи существует, единственно, принадлежит классу H
n+1
где u (x)=
&
k=1
ция множества B
u (x, y)=
χ (B
k−1
) uk(x) , χ (B
k−1
, P (x, ξ) - ядро Пуассона для единичного шара.
J [P (x, ξ)] · ˆu (ξ)dξ,
S
0
) - характеристическая функ-
k−1
Оператор преобразования J :ˆu → u имеет вид:
−1Γ−1
J [ˆu]=Λ
[ˆu] , (22.2)
α(B+
) ,
n
где
Γ ≡ Γ
·... ·Γ1, Γ−1=Γ
n
Γi[f]=f (x)+ Xir
X
−1
- оператор, обратный к оператору Γi:
Γ
i
Определим оператор сглаживания Λ
Λ
= χ (B
i
S
i
i,0
- инверсия относительно сферы Si:
) M
−1
i
−1
1
m−2
fr
i
=(Mi− Ki)(Mi+ Ki)−1,i=1, ..., n ,
i
−1
[g]=
Γ
i
+
K
i
[u]=
S
i
·... ·Γ
2
x,
i
E − K
2
r
x
−1
, Λ ≡ Λn·... ·Λ1, Λ−1=Λ
n
∞
X
k=0
i
S
m−2
i
u
m−2
220
k
2k
gr
x.
i
i
относительно сферы Si:
i
i
+ χ (B
2
r
i
x.
x
n+1,i
)M
−1
i
E+K
−1
1
2
·... ·Λ
i
,
−1
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]