Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей

Глава 14

Неоднородные краевые задачи для функций, m−гармонических в кусочно-однородной полосе

14.1 Задача Штурма- Лиувилля для

итерированного оператора Фурье в I

Рассмотрим задачу Штурма- Лиувилля о конструкции ограниченного на множестве I обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

по краевым условиям

и условиям контакта в точках сопряжения интервалов

здесь

нетривиального решения сепаратной системы линейных

n



2

0

k+1

m

2

+ λ

=0, Γ

] ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, 2, (14.3)

yk=0,k=1, ..., n +1 (14.1)

]|

n+1,s[yn+1

161

=0,s=1, ..., m (14.2)

x=l

0

k

Γ

j1



Γ

0s[y1

[yk]=Γ

d

2

a

k

dx

]|

x=l

k

[y

j2

.

n

k

Γ

, Γ

0,s

некоторые операторы, перестановочные с оператором

Обозначим через ψ

,s=1, ..., m;Γ

n+1,s



n+1,q

k

, Γ

(j =1, ...., 2m; k =1, ..., n) −

j1

j2

d

.

√

p,q =1, ..., m любые m линейно- неза-

x,

dx

висимых решений дифференциального уравнения (14.1), удовлетворяющих граничным условиям:

Γ

n+1,s[ψn+1,q

]|

=0,s=1, ..., m

x=l

n+1

Рекуррентными соотношениями

k

(ψ

Γ

k,q

j1

)= Γ

k

(ψ

) ,k=1, ..., n, j =1, ..., m

k+1,q

j2

определим n вектор-функций

(x,√p)=(ψk1(x,√p) , ..., ψkm(x,√p)) .

ψ

k

Аналогично через ϕ

1,q



√

x,

p,q =1, ..., m обозначим любые m- ли-

нейно независимых решений дифференциального уравнения (14.1), удовлетворяющих граничному условию:

]|

Γ

0s[ϕ1q

Рекуррентными соотношениями

определим остальные n вектор-функций ϕ

(x,√p)=(ϕk1(x,√p) , ..., ϕkm(x,√p)) .

ϕ

k

Примем также обозначения:

k

[ϕk(x,√p)] = ϕ

Γ

ij

k

Γ

[ψk(x,√p)]

ij

где



k

ϕ

ξ,

1

=0,s=1, ..., m.

x=l

0

k

(ϕ

Γ

k+1,q

j1

⎛

√

p=

⎝

k



= ψ

ϕ

)= Γ

k

ϕ

1,1

k 1,2m

(ϕ

) ,k=1, ..., n, j =1, ..., m

k,q

j2

k

(x,√p) ,i =1, 2; j =1, ..., 2m; k =1, ..., n,

ij

k

(x,√p) ,i =1, 2; j =1, ..., 2m; k =1, ..., n,

ij



k

√

p=

ϕ

1

⎛

⎝

(ξ,√p)=

Ω

k

⎞

k

⎠

ψ

1



ξ,



x,

k,s



k

ψ

,

2

⎞

k

ψ

1,1

⎠

k

ψ

1,2m

√

p,s=1, ..., m,

,

и потребуем выполнения условий неограниченной разрешимости задачи

=0,k=1, ...., n, j =1, 2.Rep ≥ σ0> 0. (14.4)

det Ω

k

162

При выполнении условия (14.4) спектр задачи (14.1)-(14.3) дискретен, все собственные числа λ денные, причем λ

i

1, ..., n. Каждому собственному значению λ

действительные, положительные, m раз вырож-

i

- корень каждого из уравнений: det Ωk(λi)=0,k= задачи Штурма- Лиувилля

i

соответствует ровно m линейно независимых собственных функций.

14.2 Итерированное уравнение Лапласа в In×

(−∞, ∞) .

Условия неограниченной разрешимости задачи позволяют корректно опре-

∗

делить вектор- функции влияния H

по формулам:

j,s

при k<s

∗

H

= ϕ

k,s

<x<lk,l

l

k−1





√

x,

k

p

s−1

E0

<ξ<ls,





Ω

−1

s

√

ξ,

p,

при k>s

∗

H

= −ψ

k,s

<x<lk,l

l

k−1

√

p·

s−1



<ξ<ls,



x,

k

0E





√

−1

Ω

s

p,

ξ,

при k = s

H

∗

k,s

⎧

ϕ

⎪

k

⎪

⎨

l

k−1

=

−ψ

⎪

⎩

l

k−1





√

p

x,

<x<ξ<lk,



√

x,

p·

k

<ξ<x<lk.

E0



0E





√

−1

Ω

k



Ω

−1

k

p,

ξ,



√

ξ,

p,

С помощью функций влияния можно найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами



d

2

a

k

dx



2

− p

m

zk=0,k =1, ..., n +1, (14.5)

2

по краевым условиям

Γ

0s[z1

Γ

n+1,s[zn+1

]|

= g0s,s=1, ..., m,

x=l

0

]|

x=l

n+1

= g

n+1,e

163

,s=1, ..., m (14.6)

и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов

k

Γ

j1

[zk] − Γ

k

[z

]=gjk,x= lk,k=1, ..., n, j =1, ..., 2m. (14.7)

k+1

j2

Формула для решения задачи (14.5)-(14.7) имеет вид:

где

g

0

⎞

⎟

⎠

∗

(√p, x, l0) g0+ H

j,1



+

s=1

⎛

⎜

=

,g

n+1

⎝

n

H

g

n+1,1

g

n+1,m

∗

j,s

.

(x)= H

z

j

⎛

g

01

⎜

.

=

⎝

.

g

0m

∗

(√p, x, l

j,n

(√p, x, ls) g

,g

⎛

⎜

=

⎝

s

⎞

⎟

⎠

s

g

k1

.

k,2m

n+1

⎞

⎟

⎠

) g

.

n+1

+

Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве

× (−∞, ∞) , решения сепаратной системы итерированных уравнений

I

n

Лапласа с постоянными коэффициентами



2

∂

2

a

k

2

∂x



m

2

∂

+

∂y

uk=0,k=1, ..., n +1 (14.9)

2

по краевым условиям

Γ

]|

0[u1s

= f0s(y) , Γ

x=l

0

s =1, ..., m, y ∈ R

q

,

n+1[un+1,s

]|

x=l

n+1

= f

n+1,s

(y) ,

(14.10)

и условиям неоднородного контакта на линиях сопряжения x = l

(14.8)

:

k

Γ

j1

[uk] − Γ

k

[u

]=fjk(y) ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, ..., 2m.

k+1

j2

(14.11)

В образах Фурье по переменной y задача (14.9)-(14.11) принимает вид: найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

2

− σ



m

2

˜uk=0,k=1, ..., n +1 (14.12)



2

d

2

a

k

dx

по краевым условиям

164

Γ0[˜u1s]|

s =1, ..., m ; y ∈ R

=˜f0s(σ) , Γ

x=l

0

[˜u

n+1,s

]|

m

n+1

,

x=l

n+1

=˜f

n+1,s

(σ) ,

(14.13)

и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов

k

Γ

j1

x = l

[˜uk] − Γ

k

[˜u

]=˜fjk(σ) ,

k+1

j2

,k=1, ..., n, j =1, ..., 2m

k

. (14.14)

Из формулы (14.8) следует, что решение задачи (14.12)-(14.14) имеет вид:



˜u

(x, σ)=H

j



+

s=1

где

˜

f

0



∗

(|σ|,x,l0)

j,1

n

∗

H

(|σ|,x,ls)˜fs(σ) ,

j,s

⎛

⎜

=

⎝

⎞

˜

f

01

⎟

.

,˜f

⎠

.

˜

f

0m

n+1

0

˜

f0(σ)+H

E

⎛

˜

f

n+1,1

⎜

.

⎝

˜

f

n+1,m

.

=

⎞

⎟

⎠

,˜f

∗

(|σ|,x,l

j,n

=

s

⎛

⎜

⎝

f

˜

f

˜

s,2m

s,1





0

n+1

)

˜

f

n+1

E

⎞

⎟

.

⎠

.

Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений задачи (14.9)-(14.11):





+H

+

,f

&

s=1

n+1

∞

H

−∞

(x, |η − y|,l

j,n

n

H

(x, |η − y|,ls) fs(η)dη

j,n

⎛

⎜

=

⎝

1

√

2π

(x, |η − y|,l0)

j,1

n+1

⎞

f

n+1,1

⎟

.

⎠

.

f

n+1,m



∞

iσ|η−y|H∗

e

−∞

)

,f



0 1

=

s

j,s

⎛

⎜

⎝

(|σ|,x,ls) dσ.

u

(x, y)=

j

где

⎛

⎜

=

f

⎝

0

H

- обратное преобразование Фурье функции влияния H

j,s

H

(x, |η − y|,ls)=

j,s

⎞

f

01

⎟

.

⎠

.

f

0m



0

f0(η)+

1



f

(η)

n+1

⎞

f

s,1

⎟

.

,

⎠

.

f

s,2m

∗

j,s

(σ)+

, т.е.

165

Вычисляя интеграл в правой части методом вычетов, получаем формулу

(x, |η − y|,ls)=

H

j,s

здесь Ω

∗

- матрица, присоединенная к матрице Ωk,ωs(λ) ≡ det Ωs(λ) .

s

2

π

∞



j=1

ϕj(x, λi)



E0

∗



(ls,λi)

Ω

s

/

ω

s

(λi)

−λi|η−y|

e

,

При этом формула для решения основной задачи (14.9)-(14.11) преобразовывается к виду:







−∞

∞

e

−λi|η−y|

e

∞

e

−∞

−λi|η−y|

f0(η) dη+

f

(η) dη+

n+1

fs(η) dη,

0 E



−∞

(x, y)=

u

j

+

∞



2

ϕ

(x)

i=1

i,j,n+1

n



s=1

∞



i=1

i,j0

(x)





0

E

v

(x)

i,js

π

∞



2

ϕ

π

i=1

2

+

π

где

∗



(l0,λi)

Ω

1

ω

∗



Ω

n

/

(λi)

1

(l

n+1,λi

/

ω

n

(λi)

,

)

,

.

ϕ

(x)=ϕj(x, λi)

i,js

ϕ

i,j,n+1

ϕ

(x)=ϕj(x, λi)

i,j0

(x)=ϕj(x, λi)



E0



E0



E0

∗



(ls,λi)

Ω

s

/

ω

(λi)

s

14.3 Краевые задачи и операторы преобра-

зования в I

Если функции f0e,f ющих задач Дирихле для правой полупространства R



n+1,fjs



Δˆu

ˆu

n+1,s

× (−∞, ∞) .

n

β−1/2

∈ H

=0,l0<x, y∈Rq,

0

|

ˆu

0,s

x=l

0

=0,l

n+1

|

x=l

n+1

(Rq) ,β ≥ 1, то у каждой из следу-

2

= f

(y) ,y∈ Rq;

0,s

<x, y∈Rq,

n+1

= f

n+1,s

166

(y) ,y∈ Rq;

q+1 +



Δˆu

=0,ls<x, y∈ Rq,

js

|

ˆu

существует единственное решение ˆu

= fjs(y) ,y∈ Rq,s=1, ..., n; j =1, ..., 2m;

js

x=l

s

, ˆu

n+1e

, ˆujs∈ H

0e





β

2

R

2

, которое

+

находится по формуле Пуассона. Формулу для решения основной краевой задачи (14.9)-(14.11) можно преобразовать к виду:







∞

0



∞

sinλξ ˆu0(ξ,y) dξ+

0

sinλξ ˆu

∞

n+1

(ξ,y) dξ+

0

E



sinλξ ˆus(ξ,y) dξ, (14.15)

0

⎞

⎟

, .

⎠

где

ˆu

∞

ϕ

+

⎞

⎟

⎠



i,j,n+1‘

n



s=1

, ˆu

i=1

∞



i=1

n+1

ϕ

(x)



=

i,j0

0

(x)





0

E

∞

ϕ

(x)

i,js

⎛

ˆu

n+1,1

⎜

.

⎝

.

ˆu

n+1,m

(x, y)=

u

j

∞



+

i=1

⎛

ˆu

01

⎜

.

=

⎝

0

.

ˆu

0m

Тем самым, определены операторы преобразования

n+1

(x)

ϕ

i,k,n+1

ϕ

&

θ (x − l

k=1





0

E

(x, λ)=



(x)

n+1

&

θ (x − l

k=1



∞

(x)

i,js

0

, ˆu

0

, ˆujsприведем в частном случае:

n+1

) θ (lk− x) u

k−1



∞

sinλξ ˆu0(ξ,y) dξ,

0

n+1

&

0 E

k=1



θ (x − l

k−1



∞

sinλξ ˆu

0

) θ (lk− x) u

k−1

sinλξ ˆus(ξ,y) dξ.

0,un+1,ujs

(x, λ):

0,k

) θ (lk− x) u

(ξ,y) dξ,

n+1

(x, λ):

js,k

по информации

n+1,k

(x, λ) ,

P

:ˆu0→ u0,u0(x, λ)=

0

∞

:ˆu

n+1

(x, y)=

∞



=

i=1



i=1

→ u

n



s=1

ϕ

i,k0

n+1,un+1

∞



i=1



∞

0

u

(x, y)=

0k

далее

P

n+1

u

n+1,k

и, наконец, операторы

P

:ˆujs→ ujs,ujs(x, λ)=

js

u

js,k

Правильное описание гладкости функций u о гладкости функций ˆu

167

&

Γ0= Γ

m

s=1

&

m

=

ij

s=1

Теорема 14.2. Операторы P

ˆ

→ fjsосуществляют непрерывное отображение пространств H

f

js

2

(In) .

и H

2

s−1

d

α

0,s

α

ij,s

, Γ

s−1

dx

s−1

d

.

s−1

dx

0

Доказательство. Рассмотрим случай оператора P

где

g

js

(x)=

n



k=1

θ (x − l

) θ (lk− x) g

k−1

Из условия теоремы следует условие: (1 + λ

2

гда последовательность (1 + λ

2

(In) .

H

2

Следствие 14.1. Если f ственное решение u ∈ H

2

) Fs[ˆgjs](λi) ∈ l2и, значит, функция gjs∈

i

0,fn+1,fjs

(In× R) основной краевой задачи (14.9)-(14.11).

&

m

n+1

=

s=1

α

:ˆu0→ u0,P

(x)+θ (x − ln) g

js k

3/2

∈ H

(R) ,, то существует един-

2

s−1

d

dx

:ˆu

s−1

n+1

js

,

.

→ u

n+1,Pjs

:ˆgjs→ gjs,

(x) .

js, n+1



2

R

2

n+1,s

n+1

2

) Fs[ˆgjs] ∈ L2(R+) . То -

+

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 14.2, т.к. решение рассматриваемой краевой задачи можно выразить с помощью операторов преобразования, по формуле:

2

n



u = P

[ˆu0]+P

0

n+1

[ˆu

n+1

]+

j=1



Pjs[ˆujs] .

s=1

14.4 Разложение операторов преобразования

:



в ряд отражений и сдвигов.

Как уже отмечалось ранее, представление операторов преобразования в форме ряда малоэффективны на практике. Получим более удобных представления, допускающие простую физическую интерпретацию. Для этого преобразуем функции влияния H



t1,...,t

∗

H

=ω

k,s

∞

n+1

=0

α

t

1

· ... · α

1

ks,1

t

n+1

−qkx

e

−√p(l1−l0) t

e

168

+ ω

∗

k,s

ks,2



√

p, x, ξ:

−qk(2lk−x)

e

1

· ... · e



−√p(l

.

n+1

−ln) t

n+1

,

где α1, ..., α

- матрицы размера m ×m, ω

n+1

ks,1,ωks,2

- матрицы разме-

ра m × 2m, элементы которых- некоторые фиксированные многочлены. Условия неограниченной разрешимости (14.4) принимают вид:

=0, ..., det α

det α

1

(E − α

)−1(E + αq) ,q =1, ..., n +1−

q

положительно-определенные матрицы при Rep ≥ σ

t

Пусть операторы p

,j =1, 2; t =(t1, ..., t

ks,j

=0,Rep≥ σ0> 0,

n+1

> 0.

0

) определяются из

n+1

условий:

t

qkx

[e

p

ks,j

- единичный вектор размера 2m, у которого координата с но-

где η

s

]=α

t

1

· ...α

n+1

ω

ks,jηs

qkx

e

,j =1, 2; t =(t1, ..., t

n+1

) ,

t

мером s равна единице, а все остальные нули; тогда оператор преобразования P

можно представить в виде:

ks

&

∞

[ˆuks]=

P

ks

δt= δ

1t1

+ ... + δ

t=0

t

p

[ˆu (x + δt)] + p

ks,1

n+1tn+1

t

[ˆu (2lk− x + δt)] ,

ks,2

.

14.5 Итерированное уравнение Лапласа в In×

(−∞, ∞) .

Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве

×Rq, решения сепаратной системы уравнений Лапласа с постоянными

I

n

коэффициентами

2

+Δ



m

uk=0,k=1, ..., n +1, (14.16)

y

q

2



k=1

∂

∂y

2

k

Δ=



2

∂

2

a

k

∂x

по граничным условиям

Γ

0[u1,s

]|

= f

x=l

(y) , Γ

0,s

0

n+1[un+1

] |

x=l

n+1

= f

(y) , (14.17)

n+1

169

s =1, ..., m; y ∈ R

q

и условиям неоднородного контакта на гиперплоскостях сопряжения

:

x = l

k

Γ

j1

[uk] −Γ

k

[u

]=fjk(y) ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, ..., 2m. (14.18)

k+1

j2

В образах Фурье с неразделенными переменными по переменным y задача (14.16)-(14.18) принимает вид: найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

2

− σ



m

2

˜uk=0,k=1, ..., n +1 (14.19)



2

d

2

a

k

dx

по граничным условиям

[˜u1]|

Γ

0s

=˜f0s(σ) , Γ

x=l

0

n+1,s

[˜u

n+1

] |

x=l

n+1

=˜f

(σ) , (14.20)

n+1,s

s =1, ...., m

и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов

k

Γ

j1

[˜uk] − Γ

k

[˜u

]=˜fjk(σ) ,x= lk, (14.21)

k+1

j2

k =1, ..., n, j =1, ..., 2m.

Решение задачи (14.19)-(14.21) имеет вид:



(x, σ)=H

˜u

j



+

s=1

где



⎞

⎟

⎠

,˜f

0 E

n+1

˜

f0(σ)+H

⎛

⎜

=

⎝

˜

f

n+1,1

˜

f

n+1,m

.

∗

(|σ|,x,l

j,n

⎞

⎟

,˜f

⎠

=

s

∗

(|σ|,x,l0)

j,1

n

∗

H

(|σ|,x,ls)ˆfs,

j,s

⎛

˜

f

01

⎜

˜

f

0

.

=

⎝

.

˜

f

0m

⎛

⎜

⎝

n+1

˜

f

)

˜

f

s,1

s,2m





0

˜

f

(σ)+

n+1

E

⎞

⎟

.

⎠

.

Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений задачи (14.16)-(14.18):

170