Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
И. И. Баврин, В. Л. Матросов, О. Э. Яремко
ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ,
ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
И ВОССТАНОВЛЕНИЯ
ЗАВИСИМОСТЕЙ
Москва 2016
УДК 78.3 (077)
ББК 22.11Я73
Б 135
Рецензенты:
А. А. Фомин, доктор физ/мат наук, профессор;
Н. И. Нижников, кандидат физ/мат наук, доктор
педагогических наук, профессор.
Баврин, Иван Иванович.
Б 135
Операторы преобразования для краевых задач,
интегральных представлений и восстановления
зависимостей / И. И. Баврин, В. Л. Матросов, О. Э. Яремко.
– М.: Издательство «Прометей», 2016. – 358 с.
Предлагаемая монография развивает операторный метод для задач анализа,
математической физики неоднородных сред и теории восстановления зависимостей. Операторный метод открывает возможность решения задачи для кусочно
однородной среды сведением к соответствующей задаче для однородной среды.
В итоге решение получается в форме удобной для изучения. Метод операторов
преобразования позволяет в ряде случаев уточнить результаты, полученные методом интегральных преобразований или методами теории потенциалов. Решение, полученное с помощью операторов преобразования, имеет форму удобную
для изучения асимптотических свойств. При этом существенно упрощается вычислительный алгоритм, определяется поведение решения вблизи границы.
Метод операторов преобразования раскрывает природу интегральных преобразований, приспособленных для решения задач кусочно-однородных сред.
В свою очередь с помощью интегральных преобразований удалось эффективно
построить основные операторы преобразования. Рассмотрен стохастический вариант задачи восстановления функциональных зависимостей. Аппаратом решения этой задачи является метод операторов преобразования. Также рассматривается проблема поиска корректных алгоритмов, распознающих данную выборку
без ошибок.
ISBN 978-5-9907453-8-4
Баврин И. И., Матросов В. Л.,
©
. Яремко О. Э., 2016
© Издательство «Прометей», 2016
0.1 Введение
Предлагаемая монография развивает операторный метод для задач теории функций, математической физики неоднородных структур.
Операторы преобразования просто выражаются через интегральные
преобразования. Метод интегральных преобразований математически эквивалентен методу собственных функций, но он обладает рядом существенных преимуществ. К этим преимуществам следует отнести стандартную технику вычислений, возможность представления решения в
различных видах. Это особенно важно в приложениях, когда необходимо получать решения в удобном для расчета виде как для малых, так
и для больших значений независимого переменного. Наконец, при наличии большого количества таблиц прямых и обратных для данного вида
преобразований техника вычислений намного упрощается и ускоряется.
На современном этапе в связи с широким применением композиционных материалов возникла острая потребность в решении достаточно
широкого класса задач математической физики неоднородных структур.
Последнее обстоятельство требует с одной стороны усовершенствования
и модифицирования существующего математического аппарата, а с другой стороны создания новых методов. В частности, возникла необходимость в построении таких интегральных преобразований, которые давали бы возможность алгебраизации дифференциальных уравнений с
кусочно-непрерывными коэффициентами.
Впервые такие интегральные преобразования появились в математической литературе в 70-х годах XX столетия в работах Уфлянда Я.С. [33]
и его учеников и были названы впоследствии гибридными. В этих работах получены интегральные преобразования Фурье-Фурье на полубесконечном и конечном промежутках, гибридные интегральные преобразования Бесселя-Фурье и Фурье-Бесселя на полярной оси. В серии работ
конца 80-х годов М.П.Ленюка [20]-[21] теория гибридных интегральных
преобразований была существенно продвинута: были сняты ограничения
на количество точек сопряжения; вместо условий идеального контакта рассматривались произвольные условия сопряжения; указана логическая схема применения интегральных преобразований к задачам математической физики. Метод скалярных интегральных преобразований не
может быть применен в случае задач математической физики, описываемых связными системами дифференциальных уравнений в частных производных. В предлагаемой монографии теория гибридных интегральных
3
преобразований перенесена на матричный случай. В результате открылась возможность решать векторные задачи математической физики.
Матричные интегральные преобразования мы получаем как предел
в смысле теории распределений δ- образных последовательностей, в ка-
честве которых используются фундаментальные решения соответствующей задачи Коши. Проиллюстрируем сказанное примером: получим прямое и обратное матричные интегральные преобразования Фурье на действительной оси методом δ- образных последовательностей. Рассмотрим
задачу Коши для классического уравнения теплопроводности
− A
2
∂2V
∂x
=0,V|
2
= g (x), (0.1)
t=0
∂V
∂t
где - действительная матрица размера σ × σ, у которой все собственные числа положительны, V = V (t, x)- вектор-функция размера σ×1.
Если предположить, что вектор-функция V (t,x) является оригиналом
по Лапласу, то в изображениях задаче (0.1) соответствует задача о конструкции ограниченного на R решения системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений:
∗
∂2V
− A−2pV∗(p, x)=−¯g (x), ¯g (x)=A−2g (x);
2
∂x
∗
V
(p, x)=
∞
V (t, x) e
0
−pt
dt.
(0.2)
Непосредственно проверяется, что искомым решением системы уравнений (0.2) является функция
∞
∗
V
(p, x)=
A
2√p
−∞
√
−1
−A
p|x−ξ|
e
¯g (ξ) dξ, Re√p>0. (0.3)
Возвращаясь в (0.3) к оригиналу, получаем решение задачи Коши (0.1):
V (t, x)=
−∞
⎛
∞
⎝
∞
−1
A
2π
−λ2teiλ·A−1(x−ξ)
e
−∞
⎞
⎠
dλ
g (ξ) dξ. (0.4)
Из интегрального представления (0.4) следует, что матрично-значная
функция
G (t, x − ξ)=
∞
−1
A
2π
−λ2teiλA−1·(x−ξ)
e
−∞
dλ
4
является δ- образной последовательностью по t в смысле теории распределений, т.е.
∞
−1
G (t, x − ξ)=δ (x − ξ) E =
lim
t→0
A
2π
iλA−1xe−iλA−1ξ
e
−∞
dλ, (0.5)
где Е - единичная матрица размера σ × σ.
Для вектор- функции g(x) определенной, кусочно-непрерывной на R,
абсолютно интегрируемой и имеющей ограниченное изменение на R,как
вытекает из интегрального представления δ- функции (0.5), справедлива
формула интегрального представления:
g (x)=
∞
−1
A
2π
−∞
iA−1λx
e
dλ
−∞
∞
−iA−1λξ
e
g (ξ) dξ. (0.6)
Получаем окончательно, что интегральная формула (0.6) порождает прямое F и обратное F
−1
матричные интегральные преобразования Фурье:
∞
−∞
−iA−1·λξ
e
−1
A
2π
g (ξ) dξ ≡ ˆg (λ),
∞
iA−1λx
e
−∞
ˆg (λ) dλ.
F [g](λ)=
−1
[ˆg](x)=
F
Операторный метод открывает возможность решения задачи для кусочнооднородной среды сведением к соответствующей задаче для однородной
среды. В итоге решение получается в форме удобной для изучения. Метод операторов преобразования позволяет в ряде случаев уточнить результаты, полученные методом интегральных преобразований или методом теории потенциалов. Решение, найденное с помощью операторов
преобразования, имеет форму, удобную для изучения асимптотических
свойств; существенно упрощается вычислительный алгоритм; определяется поведение решения вблизи границы. В настоящей работе метод операторов преобразования применяется в теории интегральных представлений аналитических функций одного и нескольких переменных. Как
известно (см., например, [13]), одним из мощных средств исследования в
5
теории голоморфных функций являются интегральные представления.
В этом разделе 21 в случае класса ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей приведено интегральное представление Баврина ,
выражающее значения голоморфной функции в области из этого класса
через значения линейного дифференциального оператора
L
((z
1,z
[f (z1,z2)] = f (z1,z2)+z1− z
(0)
(0)
,z
1
2
(0)
(0)
,z
) — фиксированная по произволу точка из указанной области)
1
2
(0)
1
(z1,z2)+z2− z
f
z
1
(0)
2
(z1,z2)
f
z
2
на ее границе. Из интегральной формулы Баврина, в частности, вытекают известные интегральные представления Темлякова I, II и III рода
([30]-[31]). Здесь же г.21 указано распространение интегральной формулы
Баврина на случай n комплексных переменных, из которого, в частности,
следует интегральное представление Опиаля и Ситяка[43].
Важная часть работы посвящена теоретическому обосновыванию логической схемы применения операторов преобразования J для решения
краевых задач. Оператором преобразования [5] называют оператор J ,
переводящий один оператор A
чай A
= A2=Δ, т.е. рассматриваем два уравнения Лапласа, с раз-
1
личными граничными операторами G
в другой оператор A2. Мы изучаем слу-
1
и G2. Метод операторов преоб-
1
разования позволяет выразить решение краевой или смешанной краевой
задачи через решение модельной краевой задачи, в роли которой выступает задача Дирихле для уравнения Лапласа в полупространстве или в
шаре.
Ниже мы приводим решения ряда классических задач и некоторых
новых краевых задач методом операторов преобразования. Метод операторов преобразования позволяет в ряде случаев уточнить результаты,
полученные методом интегральных преобразований или методом теории
потенциалов. Решение, найденное с помощью операторов преобразования, имеет форму, удобную для изучения асимптотических свойств; существенно упрощается вычислительный алгоритм; определяется поведение решения вблизи границы. Основную идею метода применения операторов преобразования проиллюстрируем на примере краевых задач
для уравнения Лапласа в кусочно-однородном полупространстве. Пря-
−1
мой J :ˆf → f и обратный J
: f →ˆf операторы преобразования
определим равенствами:
6
∞
f (x)=
ˆ
f (x)=
u (x, λ,G2)
0
∞
u (x, λ,G1)
0
соответственно, здесь u (x, λ, G
дачи Штурма-Лиувилля с граничными условиями G
∞
u∗(ξ,λ,G1)ˆf (ξ) dξ dρ2(λ) ,
0
∞
u∗(ξ,λ,G2) f (ξ) dξ dρ1(λ) ,
0
) - собственная функция краевой за-
i
, u∗(ξ,λ,Gi) - соб-
i
ственная функция сопряженной краевой задачи с сопряженными граничными условиями, ρ
(λ) - спектральная функция. Оператор преобра-
i
зования J обладает свойствами:
J
JG
Если граничные условия G
2
d
dx
|
1
x=0
"проще"граничных условий G2, то от-
1
2
d
=
dx
= G2|
2
J,
2
.
x=0
крывается возможность решения задачи математической физики со сложными граничными условиями сведением ее к классической задаче. Преимущества метода операторов преобразования:
1) Простой вычислительный алгоритм.
2) Возможность обращения к стандартной библиотеке алгоритмов
(при вычислении значенийˆf имеем задачу вычисления интеграла Пуассона для полупространства или для шара).
3) Быстрая сходимость ряда, задающего решение краевой задачи,
независимо от того, где лежит точка: на границе области или внутри
нее.
4) Простая оценка погрешности: если функция ˆu принадлежит ани-
зотропному пространству Соболева H
ляющем функцию u , для остатка r
≤ˆu·
r
p
α,β
, (см. [11]), то в ряде, представ-
2
(x, y) имеем оценку:
p
1 −k
1+k
p+1
.
7
Часть I
Матричные интегральные
преобразования со
спектральным параметром в
граничных условиях и в
условиях сопряжения
Глава 1
Матричные интегральные
преобразования Фурье для
(n +1)− слойного пространства
1.1 Смешанная краевая задача для операто-
ра Фурье в R
n
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве
+
D
=(0, ∞) ×In,In=x : x ∈
n+1
U
j=1
(l
j−1,lj
) ,,lj<l
j+1
решения сепаратной матричной системы (n +1) уравнений параболического типа
2
∂
−
∂x
(t, x)=0, (t, x) ∈ D+,j= 1,n+1 (1.1)
U
j
2
⎛
j
··· a
a
11
⎝
=
··· ··· ···
j
··· a
a
r1
A
j
⎞
j
1r
⎠
−
j
rr
где
∂
−2
A
j
∂t
положительно определенная матрица [28],
по начальным условиям
U
(t, x) |
j
= gj(x) ,x∈ I
t=0
n
(1.2)
9
по краевым условиям
|
x=−∞
=0,U
U
1
n+1
|
=0 (1.3)
x=∞
и условиям сопряжения
здесь U
(t, x) - неизвестная вектор- функция, gj(x) - заданная вектор-
j
функция, α
k
mi
=α
,β
mi
α
k
k
m1
k
m2
,γ
+ γ
k
mi
∂
∂
k
m1
+ γ
x = l
,δ
+β
∂t
∂x
∂
∂
k
m2
,k= 1,n; m = 1, 2,
k
k
mi
+β
∂t
∂x
- матрицы размера r × r.
k
m1
+ δ
k
m2
k
m1
+ δ
∂t
k
m2
∂
U
=
k
∂
U
,
k+1
∂t
В образах Лапласа получаем задачу о конструкции ограниченного
на множестве I
решения сепаратной матричной системы обыкновенных
n
дифференциальных уравнений
2U∗
d
j
2
∗
− q
U
= −¯gj(x) , (1.5)
j
2
dx
−2
2
= A
q
j
p, ¯gj(x)=A
j
j
−2
gj(x) ,j= 1,n+1
j
по краевым условиям
∗
x=∞
=0,U
U
n+1
∗
|
1
=0 (1.6)
x=−∞
и условиям контакта в точках стыка
k
p
m1
k
p
m2
(x)+δ
∗
U
=
k
∗
U
+
k+1
k
f
(x), (1.7)
k+1
m2
+γ
k
m1
d
dx
f
(x)+δ
k
k
α
m1
k
=
α
m2
k
m1
d
k
+ γ
p
m1
dx
d
k
+ γ
p
m2
dx
fk(x)−γ
+β
+β
k
m2
dx
d
k
m1
k
m2
f
+ δ
+ δ
k+1
(1.4)
Примем обозначения
M
ki
,k= 1,n; i = 1, 2.
x = l
k
k
k
+ δ
β
1i
=
1i
k
k
+ δ
β
2i
2i
10
pα
pα
k
+ γ
1i
k
+ γ
2i
k
p
1i
,
k
p
2i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]