Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
8.2 Прямое и обратное интегральные преоб-
разования Фурье на S
Определение 8.1. Интегральным преобразованием Фурье на поверхности S непрерывной функции f, удовлетворяющей условиям регулярности
(8.3) на бесконечности, назовем
F [f](p, q, λ)=
G(p, q;ξ,η;λ)f(ξ,η)dS
S
Обратным интегральным преобразованием Фурье на поверхности S назовем выражение
∞
τ→0
−λτ
ˆ
e
f(p, q; λ)dλ ≡ f (p, q). (8.10)
0
−1
[ˆf](p, q) = lim
F
Формулу (8.10) можно рассматривать, как континуальный аналог формулы обобщенного суммирования Пуассона на поверхности S.
Теорема 8.2 Если функция f = f(ξ,η) дважды непрерывно дифферен-
цируема на поверхности S, а функция Δ
(f) удовлетворяет условиям
ξ,η
регулярности (8.3) на бесконечности, то справедливо тождество
2
ˆ
(f)](p, q, λ)=−λ
F [Δ
ξ,η
f(p, q, λ). (8.11)
≡ˆf(p, q; λ). (8.9)
ξ,η
Доказательство. Пусть функция u = u(p, q + τ ) служит решением за-
дачи Дирихле (8.1),(8.2), т.е.
u(p, q + τ )=
Нетрудно заметить, что функция v(p, q + τ )=Δ
G(p, q + τ ; ξ, η)f (ξ, η)dS
S
. (8.12)
ξ,η
[u](p, q + τ ) является
p,q
решением задачи Дирихле
Δv =0, (p, q + τ ) ∈ V
v(p, q + τ )=Δ
lim
τ→0
[f](p, q),
p,q
101
когда (p, q) ∈ S.
Другими словами, выполняется тождество:
Δ
[u](p, q + τ )=
p,q
G(p, q + τ ; ξ, η)Δ
S
[f](ξ,η)dS
ξ,η
. (8.13)
ξ,η
Вместе с тем, из интегрального представления (8.12) следует равенство
Δ
[u](p, q + τ )=
p,q
Δ
[G](p, q + τ ; ξ, η)f (ξ, η)dS
p,q
S
. (8.14)
ξ,η
Воспользовавшись гармоничностью функции u, получим равенство
2
∂
[u](p, q + τ )=−
Δ
p,q
∂τ
u
.
2
Приравняем правые части в формулах (8.13) и (8.14):
G(p, q + τ ; ξ, η)Δ
S
[f](ξ,η)dS
ξ,η
ξ,η
= −
∂2G
(p, q + τ ; ξ, η)f (ξ, η)dS
2
∂τ
S
ξ,η
.
Применив представление функции Грина в виде интеграла Лапласа
∞
0
= −
⎛
−λτ
⎝
e
0
G∗(p, q;ξ,η;λ)Δ
S
∞
−λτ
λ2e
[f](ξ,η)dS
ξ,η
⎛
⎝
G∗(p, q;ξ,η;λ)f(ξ,η)dS
S
ξ,η
ξ,η
⎞
⎠
dλ =
⎞
⎠
dλ,
ввиду теоремы единственности преобразования Лапласа заключаем,
что доказываемое тождество справедливо.
n+1
Будем считать, что неограниченная область V из R
есть полупро-
странство
V ='(x
, ..., xn,y) ∈ R
1
n+1
: y>0(. (8.15)
Решение задачи Дирихле (8.1),(8.2) выражается формулой Пуассона [17]
n +1
2
n+1
−
2
π
y=0
(x − ξ)
y
2
+ y
f(ξ)dξ. (8.16)
n+1
2
2
u(x, y)=Γ
102
При этом оператор Лапласа запишется в виде:
2
u
∂
Δu ≡
+Δξu, (8.17)
2
∂y
здесь
Δ
ξ
u ≡
∂
∂ξ
2
u
2
1
+ ... +
∂
∂ξ
2
u
.
2
n
Запишем представление функции Грина в виде интеграла Лапласа:
G(x, y;ξ)=
n−2
(λ |x − ξ|) - цилиндрическая функция I рода [19].
J
2
2π
2
1
n
2
λ
0
e
−λy
n−2
J
2
|x − ξ|
(λ |x − ξ|)
n−2
2
dλ, (8.18)
∞
n
В соответствие с интегральной формулой (8.8) имеем теорему разложения:
f(x) = lim
τ→0
⎛
∞
−λτ
e
0
⎝
1
√
2π
n
2
n−2
λ
J
(λ |x − ξ|)
n
n
R
2
|x − ξ|
n−2
f (ξ) dξ
2
⎞
⎠
dλ,
Прямое и обратное преобразования Фурье с неразделенными переменными (8.9), (8.10) принимают вид
n−2
J
n
τ→0
(λ |x − ξ|)
2
|x − ξ|
∞
n
2
λ
0
f (ξ) dξ ≡ˆf (x, λ) , (8.19)
n−2
2
−λτ
ˆ
e
f(x; λ)dλ ≡ f (x), (8.20)
F [f ](x, λ)=
F
1
√
2π
−1
[ˆf](x) = lim
n
R
соответственно. В случае числа измерений n=2 последние формулы записываются:
1
F [f ](x, λ)=
J0(λ |x − ξ|) f (ξ)dξ ≡ˆf (x, λ) , (8.21)
2π
2
R
103
∞
−λτ
ˆ
F−1[ˆf](x) = lim
τ→0
0
f(x; λ)dλ ≡ f (x). (8.22)
λe
Наконец, в пространственном случае n =3имеем
1
F [f ](x, λ)=
−1
F
2π
[ˆf](x) = lim
sin (λ |x − ξ|)
2
3
R
τ→0
|x − ξ|
∞
λe
0
f (ξ) dξ ≡ˆf (x, λ) , (8.23)
−λτ
ˆ
f(x; λ)dλ ≡ f (x), (8.24)
Основное тождество интегрального преобразования для оператора Лапласа задается равенством
2
(f)](x, λ)=−λ
F [Δ
ξ
ˆ
f(x, λ). (8.25)
104
Часть III
Краевые задачи и операторы
преобразования
Глава 9
Неоднородные краевые задачи
для функций, гармонических в
кусочно-однородном
полупространстве
9.1 Задача Штурма- Лиувилля для операто-
ра Фурье в I
Рассмотрим задачу Штурма- Лиувилля о конструкции ограниченного на
множестве
+
n
+
=x : x ∈
I
n
n+1
U
j=1
(l
j−1,lj
) ,l0≥ 0,l
= ∞,lj<l
n+1
j+1
,
нетривиального решения сепаратной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2
d
dx
2
+ q
2
y
m
m
=0,q
2
−2
= a
m
· λ2,am> 0,m=1, ..., n +1 (9.1)
m
по краевым условиям
]|
Γ
0[y1
x=l
=0, |y
0
n+1
||
< ∞ (9.2)
x=∞
106
и условиям контакта в точках сопряжения интервалов
k
[yk]=Γ
Γ
j1
здесь Γ
k
, Γ
0
j1
становочные с оператором
k
[y
] ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, 2, (9.3)
k+1
j2
k
, Γ
(j =1, 2; k =1, ..., n) - некоторые операторы, пере-
j2
d
.
dx
Пусть при некотором λ рассматриваемая краевая задача имеет нетривиальное решение
y (x, λ)=
n
k=1
θ (x − l
) θ (lk− x) yk(x, λ) .
k−1
В этом случае число λ называется собственным значением, а соответствующее решение y (x, λ) - собственной функцией.
Определим функции α
равенствами:
√
k
Γ
ij
px
e
= α
k
ij
· e
k
j1
√
px
,i,j =1, 2; k =1, ..., n.
= α
√
k
j1
p,α
k
j2
= α
√
k
p; Rep ≥ σ0> 0
j2
И потребуем в дальнейшем выполнения условий
det M
Rep ≥ σ
=det
kj
Обозначим также
√
x,
ϕ
n+1
> 0.
0
α
α
p= e
√
k
pα
1j
√
k
pα
2j
q
·x·i
n+1
; ψ
k
1j
k
2j
n+1
√
−
p
√
−
x,
=0,k=1, ..., n, j =1, 2. (9.4)
p
√
p= e
−q
n+1
·x·i
; q
n+1
= a
−1
n+1
Из условий (9.4) следует, что из рекуррентных соотношений:
k
(ϕk,ψk)= Γ
Γ
j1
можно определить остальные n пар функций (ϕ
Введем также обозначения
Γ
[ϕ1(x,√p)]|
0
x=l
0
=
k
(ϕ
j2
0
ϕ
(√p) , Γ
1
k+1,ψk+1
k
[ϕk(x,√p)]
ij
) ,k=1, ..., n; j =1, 2(9.5)
) ,k=1, ..., n.
k,ψk
x=l
k
= ϕ
k
(√p) ,
ij
i, j =1, 2; k =1, ..., n,
·√p,
[ψ1(x,√p)]| =0ψ1(x,√p) , Γ
Γ
0
k
[ψk(x,√p)]
ij
= ψ
k
(x,√p) .
ij
Условия неограниченной разрешимости задачи (9.1)-(9.3) принимают
вид:
det M
=0,k=1, ..., n, j =1, 2.Rep ≥ σ0> 0.
kj
107
Теорема 9.1 Если выполнены условия неограниченной разрешимости
задачи (9.1)-(9.3), то спектр задачи (9.1)-(9.3) непрерывен и заполняет полуось (0, ∞) . В качестве собственной функции соответствующей
собственному значению λ можно взять функцию
n
ϕ (x, λ)=
θ (x − l
k=1
) θ (lk− x) ϕk(x, λ)+θ (x − ln) ϕ
k−1
n+1
(x, λ) ,
(9.6)
9.2 Функции влияния в I
+
.
n
Условия неограниченной разрешимости позволяют корректно опреде-
∗
лить вектор- функции влияния H
j,s
[9]:
при k<s
0
0
−1
ϕ
ψ
k
1
01
·
1
Ω
−1
s
√
ξ,
p,
H
∗
k,s
= ϕ
k
10
√
−1
Ω
ξ,
s
p− ψ
k, s =1, ..., n +1
при k>s
∗
= ψk(x)−0ψ
H
k,s
−1
1
0
ϕ
1
10
−1
Ω
s
(ξ) −
01
−1
Ω
s
(ξ),,
при k = s
H
k,s
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
∗
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
√
x,
ϕ
l
ψ
l
k−1
k−1
p
k
<x<ξ<lk,
x,
√
p
k
<ξ<x<lk,k=1, ..., n +1
10
−1
−0ψ
1
−1
Ω
k
0
ϕ
1
10
− ψ
x,
k
Ω
−1
k
√
0
p
ψ
−
0
−1
ϕ
1
01
1
01
−1
Ω
k
−1
Ω
,
k
,
Используя функции влияния, найдем решение сепаратной системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
108
2
d
2
− pzk=0,k=1, ..., n +1, (9.7)
a
k
2
dx
по краевым условиям
]
Γ
0[z1
x=l
= g0, |z
0
| < ∞. (9.8)
n+1
и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
Γ
j1
[zk] − Γ
k
[zk]=gjk,x= lk,k =1, ..., n; j =1, 2, (9.9)
j2
Решение задачи (9.7)-(9.9) имеет вид:
(σ)
1s
2s
(σ)
.(9.10)
(x)=H
z
j
∗
(√p, x, l0)
j,1
0
1
g0(σ)+
n
s=1
H
∗
j,s
(√p, x, ls)
g
g
9.3 Краевые задачи для уравнения Лапласа
2
в R
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве
2
R
n,+
эффициентами
+
= I
n
решения сепаратной системы уравнений Лапласа с постоянными ко-
по краевым условиям
и условиям неоднородного контакта на линиях сопряжения x = l
.
n,+
× (−∞, ∞) ,
∂
2
a
k
∂x
Γ
0[u1
|u
n+1
2
2
2
∂
+
]|
||
∂y
x=l
x=∞
2
0
=0,,k=1, ..., n +1, (9.11)
u
k
= f0(y) , −∞ <y<∞,
< ∞
(9.12)
:
k
k
[uk] − Γ
Γ
j1
здесь f
0,fjk
k
j2
∈ H
[u
]=fjk(y);x = lk,k=1, ..., n, j =1, 2, (9.13)
k+1
β−1/2
(R1) ,β ≥ 1.
2
109
В образах Фурье по переменной y задача (9.11)-(9.13) принимает вид:
найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2
− σ
2
=0,,k=1, ..., n, (9.14)
˜u
k
2
d
2
a
k
dx
по краевым условиям
Γ
|˜u
0
n+1
[˜u1]|
||
x=l
x=∞
=˜f0(σ) ,
0
< ∞
(9.15)
и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
Γ
j1
[˜uk] − Γ
k
[˜u
]=˜fjk(σ) ,x = lk,k=1, ..., n, j =1, 2. (9.16)
k+1
j2
Из формулы (9.10) следует, что решение задачи (9.14)-(9.16) имеет
вид:
(x, σ)=H
˜u
j
∗
(|σ|,x,l0)
j,1
0
1
˜
f0(σ)+
n
s=1
H
∗
j,s
(|σ|,x,ls)
f
f
˜
(σ)
1s
˜
(σ)
2s
(9.17)
Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений
задачи (9.11)-(9.13):
(x, y)=
u
j
−∞
∞
H
(x, |η − y|,l0)
j,1
0
1
f0(η)+
n
s=1
H
j,s
f
1s
f
2s
(η)
(η)
!
dη,
(9.18)
где H
обратное преобразование Фурье функции влияния H
j,s
∞
(x, |η − y|,ls)=
H
j,s
√
1
2π
−∞
iσ|η−y|H∗
e
(|σ|,x,ls) dσ.
j,s
∗
j,s
, т.е.
Перенося контур интегрирования на действительную отрицательную
полуось, на основании леммы Жордана и теоремы Коши [18] для оригиналов функций влияния, получаем формулу
.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]