Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
определена, кусочно-непрерывна, абсолютно интегрируема и имеет ограниченную вариацию на I
+
, то для r ∈ I
n
+
справедливо интегральное
n
представление
1
[f (r − 0) + f (r +0)]=
2
n
&
(0E)˜Ωk(Rk,λ) M
+
k=1
·
k
δ
11
k
δ
21
k
γ
11
k
γ
21
f
k(Rk
/
f
k
(Rk)
−1
k1
−
)
∞
2
π
0
(λ)·
u (r, λ)
δ
δ
∞
u∗(ρ, λ) f (ρ) dρ +
0
(Rk)
)
λdλ.
k
12
k
22
k
γ
12
k
γ
22
f
k+1(Rk
/
f
k+1
(4.17)
4.3 Задача Штурма- Лиувилля для опера-
тора Фурье- Бесселя
Задача Штурма-Лиувилля для оператора Фурье-Бесселя состоит в определении нетривиального решения сингулярной спектральной задачи:
d
dr
νm,α
k
j1
− γ
m
α1−ν
r
− γ
k
j2
+ A
k
j1
−2
A
m
B
α
k
=
α
j2
−2
λ
m
1
y1(r, λ)
−2
A
λ
m
2
λ
2
y
(r, λ)=0,m= 1,n+1
m
=0,y
r=0
d
2
dr
d
dr
+β
+β
k
k
− δ
j1
j1
k
k
− δ
j2
A
j2
−2
m
n+1
A
|
=0
r=∞
−2
2
λ
m
2
λ
= (4.18)
y
k
,r = Rk,
y
k+1
1,n, m = 1, 2.
k =
Теорема 4.2 .Для любого действительного значения параметра
λ ∈ (0, ∞) сингулярная спектральная задача Штурма-Лиувилля (4.18)
имеет ровно σ линейно независимых решений, в качестве которых можно выбрать σ столбцов матричнозначной функции
n
u (r, λ)=
θ (r − R
k=1
) θ (Rk− r) ϕk(r, λ)+θ (r − Rn) ϕ
k−1
n+1
(r, λ).
61
Двойственная задача Штурма-Лиувилля для оператора Фурье-Бесселя
состоит в определении нетривиального решения сингулярной спектральной задачи
−2
2
λ
m
−2
λ2α
k
−2
λ2β
k
k
− γ
A
21
−2
k
− δ
A
21
k
,k= 1,n
k
=0,y
=0,m= 1,n+1
∗
n+1
k
21
k
21
r=∞
−2
2
A
λ
k
−2
2
A
λ
k
k
k
− γ
− δ
A
22
k
A
22
22
k
22
=0.
k
21
k
21
−2
λ2α
k
λ2β
− γ
− δ
−1
= (4.19)
−1
2
λ
2
λ
−2
k
−2
k
,
−
dr
=−
∗
y
(ρ, λ)B
m
y
dr
∗
y
k
d
∗
y
k+1
α
∗
k
β
∗
y
k+1
d
α1−ν
r
dr
d
νm,α
k
− γ
11
k
− δ
11
1
+ A
m
k
11
k
11
α
β
ρ = R
∗
y
1
k
21
k
21
A
A
r=0
Теорема 4.3 .Для любого действительного значения параметра
λ ∈ (0, ∞) сингулярная спектральная задача Штурма-Лиувилля (4.19)
имеет ровно σ линейно независимых решений, в качестве которых можно выбрать σ строк матричнозначной функции
n
∗
(ρ, λ)=
u
k=1
θ (ρ − R
) θ (Rk− r) u
k−1
∗
(ρ, λ)+θ (ρ − Rn) u
k
∗
n+1
(ρ, λ).
4.4 Основное тождество интегрального пре-
образования оператора ФурьеБесселя
Получим основное тождество интегрального преобразования Фурье-Бесселя
в действии на дифференциальный оператор
n
B =
θ (r − R
j=1
) θ (Rj− r) A
j−1
Теорема 4.4 .Пусть вектор-функция
n
f (r)=
θ (r − R
k=1
) θ (Rk− r) fk(r)+θ (r − Rn) f
k−1
62
2
B
+ θ (r − Rn) A
νj,α
j
j
2
n+1
B
ν
n+1,αn+1
n+1
.
(r)
трижды непрерывно-дифференцируемая на множестве I
α1−ν
1
вектор-функция r
производной, а при r→∞вектор-функция r
f1(r) исчезает при r →0 вместе со своей первой
1
α
+
n+1
2
f
+
, и пусть
n
(r) - исчезает на
n+1
бесконечности вместе со своей первой производной, тогда имеет место
тождество
n
·
( B [f ]) (λ) ≡−λ
H
n+
k
β
21
k
β
22
k
α
21
k
α
22
+
δ
−
δ
B
νk,α
d
dr
ν
k+1,αk+1
B
ν
k+1,αk+1
(0E)˜Ωk(Rk,λ) M
k=1
k
α
11
k
α
12
[fk](Rk)
k
[fk](Rk)
k
[f
](Rk)
k+1
[f
k+1
](Rk)
k
β
11
k
β
12
B
νk,α
f
k(lk
f
k
/
2
ˆ
f (λ) −
−
k+1(lk
/
k+1
k
11
k
12
k
12
k
22
(lk)
γ
11
γ
12
k
k
)
B
d
dr
f
f
δ
δ
k
γ
12
k
γ
22
)
(lk)
−
−1
·
k1
+ (4.20)
.
Доказательство. Прежде заметим,что для решения u(t,r) неоднород-
ной смешанной задачи Коши (4.1)-(4.4) с условиями сопряжения вида:
=α
k
+ γ
α
j1
+ γ
∂
k
j2
∂t
k
j2
∂
∂
∂t
+β
∂r
∂
+β
k
+ δ
j2
k
+ δ
j1
∂
k
j2
∂t
k
j1
∂r
∂
k
j1
∂t
u
k+1
u
k
k
+ h
, (4.21)
j
r = R
где
h
k
=α
j
d
k
j1
dr
(Rk)+β
f
k
k
j1
справедливо представление:
#
−1
u (t, r)=H
n+
e
−λ2t
H
n+
,k= 1,n, j = 1, 2,
k
fk(Rk)−α
n
[f]+
k=1
k
j2
(0E)˜Ωk(Rk,λ) M
63
dr
d
f
k+1
(Rk)+β
−1
(λ)
k1
k
f
(Rk)
k+1
j2
h
h
$
k
1
k
2
.
(4.22)
Заметим, что
∂
u (t, r) служит решением смешанной краевой задачи (4.1)-
∂t
(4.4) с начальными условиями
∂
∂t
u (t, r)
t=0
= B
(ν,α)
[f]
и условиями сопряжения (4.4).
Применив интегральное представление (4.12), получим для решения
∂
u (t, r) (или, что одно и то же, для B
∂t
B
(ν,α)
(u)=H
−
"
−1
n+
·
k
δ
12
k
δ
22
e
−λ2t
k
δ
11
k
δ
21
k
γ
12
k
γ
22
#
H
k
γ
11
k
γ
21
n+
B
2
A
k+1
2
A
k+1
(ν,α)
A
dr
A
2
k
B
d
B
u (t, r)) выражение:
(ν,α)
n
(f)+
2
B
νk,α
k
d
B
dr
ν
k+1αk+1
ν
k+1αk+1
(0E)˜Ωk(Rk,λ) M
k=1
[gk](Rk)
k
[gk](Rk)
νkα
k
[g
k+1
[g
k+1
](Rk)
](Rk)
−
−1
(λ) ·
k1
(4.23)
.
Дифференцируя представление (4.22) по t и учитывая равенство (4.1),
получим представление для B
B
(ν,α)
(u)=H
−
"
−1
n+
·
k
δ
12
k
δ
22
e
−λ2t
δ
δ
k
γ
12
k
γ
22
k
11
k
21
H
γ
γ
n+
k
11
k
21
(ν,α)
B
2
A
k+1
2
A
k+1
(ν,α)
A
d
dr
[u]:
(f)+
2
A
k
2
k
dr
B
ν
B
B
νk,α
d
B
νkα
k+1αk+1
ν
k+1αk+1
n
(0E)˜Ωk(Rk,λ) M
k=1
[gk](Rk)
k
[gk](Rk)
k
[g
k+1
[g
k+1
](Rk)
](Rk)
−
−1
(λ) ·
k1
(4.24)
.
Сравнивая два интегральных представления (4.23) и (4.24) вектор-функции
[u], ввиду однозначности интегрального преобразования Фурье-Бесселя
B
(ν,α)
, заключаем, что доказываемое тождество справедливо.
H
n+
64
Часть II
Оператор Римана - Лиувилля
Глава 5
Оператор Римана - Лиувилля в
классе функций, гармонических
в областях со сферической
симметрией, и его применения
5.1 Определение и свойства оператора
Римана- Лиувилля
Пусть V − ограниченная звездообразная относительно начала координат
область из R
[17]. Область V допускает параметризацию
При этом оператор Лапласа Δ запишется в виде:
здесь Δ
Если функция u = u (x) ,x =(x
непрерывная на
n
, граница которой S− регулярная по Ляпунову поверхность
V ='x : x = rη; η ∈ S, 0 ≤ r<1(.
1
1
Δu ≡
η
- оператор Лапласа на поверхности S, а
η
V = V*S, то справедлива формула:
∂
2
n−1
r
∂r
2
= η
η
∂u
n−1
(r
∂r
2
+ ... + η
1
, ..., xn) гармоническая в области V и
1
66
)+
2
.
n
1
r
Δηu,
2
u(x)=
G(x, ξ)u(ξ)dSξ,x∈ V,
S
где G(x, ξ) - функция Грина для области V. Функция Грина G(rη,ξ)
вещественно- аналитична по всем своим аргументам [17], в частности,
она аналитична по r, следовательно может быть разложена в степенной
ряд по переменной r:
∞
G(rη, ξ)=
Gk(η, ξ)rk, 0 ≤ r<1.
k=0
Говорят, что функция ω (x) ∈ Ω, если она неотрицательна и непрерывна на [0,1), причем
1
ω (0) = 1,
ω (x) dx < ∞
0
и для любого r из [0,1)
1
ω (x) dx > 0.
r
В [13] введена функция
1
r
ω (x)
dx, ω (x) ∈ Ω, r ∈ (0, 1], p (0) = 1,
2
x
p (r)=r
И последовательность чисел
Δ
= −(k +1)
k
Показано, что все числа Δ
=1, Δk= k
Δ
0
1
rkdp (r) . (k =0, 1, 2, ...)
0
положительны, причем
k
1
k−1
r
ω (r) dr (k =1, 2, ...) .
0
67
Кроме того, установлено [13] , что
+
k
Δk=1. (5.1)
lim
k→∞
Там же показано, что если функция ω (x) ∈ Ω не убывает на [0,1), то
последовательность положительных чисел
,
∞
}
{μ
≡)Δ
k
0
не возрастающая и выпуклая, т.е. μ
2
Δ
μk≡ μ
k+2
− 2μ
+ μk≥ 0,k =0, 1, 2, ...
k+1
∞
−1
k
0
≤ μk, k=0,1,2,... и
k+1
Приведем аналог теоремы о cos- тригонометрических рядах.
Теорема 5.1 Если последовательность {a
r
Δrak≥ 0, (r =1, 2, ...k =0, 1, 2, ...),
(−1)
то ряд
∞
∞
}
вполне монотонна, т.е.
n
0
anrnGn(η, ξ) (5.2)
n=0
сходится всюду в [0,1) × S × S, к неотрицательной функции, суммируемой по всем аргументам.
Доказательство. Согласно теореме Ф. Хаусдорфа [33] последовательность {a
∞
}
является последовательностью моментов некоторого рас-
n
0
пределения вероятностей F , сосредоточенного на [0,1]. Таким образом,
1
=
a
xkdF (x) . Рассмотрим функцию
k
0
G (rxη, ξ)=
∞
rnGn(η, ξ) xn. (5.3)
n
=0
Функция G (rxη, ξ) - как функция Грина соответствующей задачи Дири-
хле неотрицательна, суммируема по всем аргументам [16]. Теорема Фубини [16] утверждает, что функция
1
G (rxη, ξ) xkdF (x)
0
68
неотрицательна, суммируема по аргументам (η,ξ) . Ряд в правой части (5.3) сходится равномерно по аргументу x. Интегрируя почленно ряд
(5.3), вспоминая определение последовательности {a
∞
}
, получим ра-
n
0
венство
1
G (rxη, ξ) xkdF (x)=
0
∞
rnGn(η, ξ) an.
n=0
Из установленного тождества следует, что ряд (5.3) сходится к неотрицательной функции, суммируемой по всем аргументам. Теорема доказана.
Следуя [13], введем обобщенный оператор типа Римана- Лиувилля
(ω)
:
L
⎫
⎬
,r ∈ (0, 1).
⎭
(ω)
[ϕ (r)] = −
L
dr
⎧
1
⎨
d
⎩
r
0
ϕ (rτ) dp (τ )
Заметим, что
(ω)
k
r
=Δ
L
rk,r ∈ (0, 1] (k =0, 1, 2, ...) . (5.4)
k
Теорема 5.2 Если u = u(rη)− гармоническая в области V функция и
непрерывная на V , то функция
(rη)=L
u
ω
(ω)
[u (rη)]
будет гармонической в той же области V.
Доказательство. Оператор Лапласа в сферической системе координат
имеет вид:
1
1
Δu ≡
η
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что операторы
r
2
∂
2
2
∂r
+(n − 1)r
∂
∂r
r
= L
и L
2
∂
2
2
∂r
(ω)
(ω)
+(n − 1)r
2
r
∂
2
n−1
r
∂r
коммутируют. Следовательно,
∂
∂r
2
∂
+(n − 1)r
2
∂r
n−1
(r
+Δ
η
∂u
∂r
∂
∂r
)+
(ω)
(L
+Δ
1
Δηu.
2
r
[u]) =
u
η
=0.
Теорема доказана.
69
5.2 Обобщенная формула Пуассона, ассоци-
ированная с функцией ω (x) ∈ Ω.
Рассмотрим степенной ряд, порожденный функцией Грина
∞
G(rη, ξ; ω)=
в котором последовательность { q
−1
=Δ
q
k
. Та к как lim
k
√
k
Δk=1, то радиус сходимости этого ряда равен
k→∞
единице. Заметим, что функция G (rη, ξ; ω) является гармонической в
области V переменных (r, η).
Замечание 5.1. Если функция ω (x) ∈ Ω не убывает на [0,1), то
семейство гармонических функций G (rη, ξ; ω) удовлетворяет условию
G (rη, ξ;ω) ≥ 0 , 0 ≤ r<1; η,ξ ∈ S. (5.5)
Доказательство. Проверим выполнение условий теоремы 5.1. Напомним, что
=1, Δk= k
Δ
0
Методом математической индукции установим равенство
qkGk(η, ξ) rk,
k=0
∞
}
определена формулой
k
0
1
k−1
r
ω (r) dr (k =0, 1, 2, ...) .
0
1
l
Δ
(Δk)=
0
(r − 1)
l−1
k−1
r
[(k + l) r − k] ω (r)dr (k =0, 1, 2, ...; l =1, 2, ...) .
Преобразуем полученное выражение
k
k+l
(−1)
+
k+l
l−1
Δl(Δk)= −
1
(1 − r)
k
l−1
(1 − r)
0
k−1
r
[(k + l) r − k] ω (r)dr ≥
l−1
70
k−1
r
[k − (k +1)x] ω (r) dr +
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]