Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
Теорема 3.4 .Пусть вектор- функция f трижды непрерывно- диффе-
ренцируема на I
, удовлетворяет краевым условиям (3.3) и условиям
n
сопряжения в виде
=α
α
k
m2
k
m1
+ δ
+ δ
k
m2
k
m1
A
A
2
d
2
k
2
k+1
x = l
d
+β
2
dx
dx
2
d
d
2
dx
dx
,k= 1,n; m =1, 2
k
+β
k
m1
k
m2
+ γ
+ γ
k
m1
k
m2
2
d
2
A
k
2
dx
2
A
k+1
dx
=
f
k
2
d
2
,
f
k+1
тогда
ˆ
[L (f )] = p
F
jn
f
,j∈ N. (3.22)
j
j
Доказательство. Проверка тождеств производится с помощью техники
предложенной для доказательства теоремы 2.3.
51
Глава 4
Матричные интегральные
преобразования Фурье - Бесселя
на (n +1)- слойной полярной оси
4.1 Смешанная краевая задача для операто-
ра Фурье- Бесселя
Построим методом дельтаобразных последовательностей интегральное
преобразование на (n +1)-слойной полярной оси
+
I
=r : r ∈
n
n+1
U
k=1
(R
k−1,Rk
) ,R
<Rk,R0=0,R
k−1
n+1
порожденное дифференциальным оператором Фурье-Бесселя:
n
B
(ν,α)
Здесь A
=
2
A
θ (r − R
k
k=1
- квадратная положительно-определенная матрица размера
j
) θ (Rk− r) B
k−1
+ θ (r − Rn) A
νk,α
k
σ × σ [28], θ(х) - единичная функция Хевисайда, В
ν,α
2
n+1
- дифференциаль-
ный оператор Фурье-Бесселя:
2
d
dr
2
2α +1
+
rddr
=
B
ν,α
2
2
− α
ν
−
,ν≥ α ≥−
2
r
1
.
2
За дельтаобразную последовательность возьмем фундаментальную матрицу решений смешанной задачи Коши для сепаратной системы матричных уравнений параболического типа.
= ∞
B
ν
n+1,αn+1
.
52
Рассмотрим задачу конструкции ограниченного на множестве
+
=(t, r): t>0,r∈
D
n+1
U
k=1
(R
k−1,Rk
) ,R0=0,R
n+1
= ∞
решения сепаратной матричной системы (n +1) уравнений параболического типа:
∂
−2
A
− B
m
∂t
νm,α
(t, r)=0,m= 1,n+1, (4.1)
U
m
m
по начальным условиям
U
m
(t, r) |
= gm(r) ,r∈ (R
t=0
) ,m= 1,n+1, (4.2)
k−1,Rk
по краевым условиям
∂
∂r
α1−ν
r
1
U
1
r=0
=0,U
n+1
|
=0, (4.3)
r=∞
и условиям сопряжения
α
=α
∂
k
j2
+ γ
+ γ
∂
k
j1
∂t
∂r
∂
k
j2
∂t
∂r
+β
∂
+β
k
+ δ
j1
k
j2
k
j1
+ δ
∂
k
j1
∂t
∂
k
j2
∂t
=
U
k
U
, (4.4)
k+1
r = R
здесь
n
U =
θ (r − R
k=1
) θ (Rk− r) Uk+ θ (r − Rn) U
k−1
неизвестная вектор-функция,
n
g =
θ (r − R
k=1
) θ (Rk− r) gk+ θ (r − Rn) g
k−1
заданная вектор-функция, α
σ.
,k= 1,n; j = 1, 2,
k
k
k
k
mi
,β
mi
,γ
mi
,δ
k
mi
53
−
n+1
−
n+1
− матрицы размера σ ×
Специальное решение H
H
(t, r, ρ) |
j,s
∂r
t=0
∂
α1−ν
r
k
+ γ
α
j1
k
−α
k
δ/(Rk− ρ)+δ
= γ
j1
+ γ
j2
r = R
(t, r, ρ), удовлетворяющее условиям
j,s
= δ (r − ρ) ,r,ρ∈ I
1
H
1,s
∂
k
j1
∂t
∂
k
j2
∂t
k
δ (Rk− ρ) − γ
j1
=0, H
r=0
∂
∂r
∂
∂r
,k= 1,n; j = 1, 2,
k
+β
+β
k
j1
k
j2
k
j2
+
,j= 1,n+1,
n
|
n+1,s
+ δ
+ δ
r=∞
∂
k
j1
∂t
∂
k
j2
∂t
δ/(Rk− ρ) − δ
H
H
=0
k,s
k+1,s
−
=
k
δ (Rk− ρ) ,
j2
назовем матричнозначной функцией влияния или функцией Грина. Зная
= H
функцию влияния H
j,s
(t, r, ρ), мы сможем написать решение об-
j,s
щей краевой задачи (4.1)-(4.4). Нашей ближайшей целью является выяснение условий существования функций влияния и нахождение явных
выражений для этих функций.
Предположим, что искомая вектор-функция U = U (t, r) является
оригиналом Лапласа по t. В образах Лапласа получаем задачу о кон-
+
струкции ограниченного на множестве I
решения сепаратной матрич-
n
ной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
j
− q
2
∗
U
(p, r)=−¯gj(r) , (4.5)
j
j
−2
gj(r) ,j= 1,n+1,
j
B
νj,α
−2
2
q
= A
j
p, ¯gj(r)=A
j
по краевым условиям
d
dr
ν1−α
r
∗
1
U
=0,
1
r=0
∗
U
n+1
(r, p)
< ∞, (4.6)
r=∞
и условиям контакта в точках стыка
k
α
+ pγ
m1
k
=
α
m2
+ pγ
k
m1
k
m2
d
dr
d
dr
+β
+β
k
m1
k
m2
+ pδ
+ pδ
k
m1
k
m2
∗
=
U
k
∗
U
+ (4.7)
k+1
54
+γ
k
m1
dr
d
(r)+δ
g
k
k
gk(r)−γ
m1
r = R
,m= 1, 2,k= 1,n.
k
k
m2
dr
d
g
k+1
(r)+δ
k
m2
g
k+1
(r),
Обозначим
k
p
1i
,k=
k
p
2i
1,n; i = 1, 2
M
k
k
pα
1i
k
pα
2i
k
+ γ
1i
k
+ γ
2i
ki
k
+ δ
β
2i
+ δ
β
1i
=
и будем считать выполненным условие положительной определенности
матриц M
Образы Лапласа матричнозначных функций влияния H
.
ki
∗
являются
j,s
решениями сепаратной матричной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
j
− q
j, s =
2
H
j
∗
j,s
1,n+1,q
(p, r, ρ)=−A
2
= A
j
2
δ (r − ρ);
j
2
p;
j
B
νj,α
по краевым условиям
dr
d
α1−ν
r
∗
1
H
1,s
r=0
=0,H
∗
n+1,s
r=∞
=0
и условиям контакта в точках стыка
k
α
+ pγ
m1
k
α
=
m2
+ pγ
k
m1
k
m2
d
dr
dr
d
+β
+β
k
m1
k
m2
+ pδ
+ pδ
k
m1
k
m2
∗
H
=
k,s
∗
,
H
k+1,s
1, 2,k= 1,n.
m =
Непосредственной проверкой установим, что образы Лапласа матрич-
∗
нозначных функций влияния H
при k<s
∗
= ϕk(r)(E0) Ω
H
k,s
R
<r<Rk,R
k−1
задаются следующими формулами:
j,s
(ρ)
<ρ<R
0
,
E
s
−1
s
s−1
55
при k>s
∗
H
= −ψk(r)(0E)Ω
k,s
<r<Rk,R
R
k−1
−1
(ρ)
s
<ρ<Rs,
s−1
0
,
E
при k = s
H
∗
k,k
⎧
⎪
⎪
(r)(E0) Ω
ϕ
⎨
k
=
⎪
⎪
−ψk(r)(0E)Ω
⎩
−1
k
−1
k
(ρ)
(ρ)
0
,R
E
0
E
k−1
,R
k−1
<r<ρ<R
<ρ<r<Rk.
k
При этом для компонентов матричнозначных функций влияния H
ведливы формулы:
π
(r,√p)=e
ϕ
1
(r,√p)=H
ψ
n+1
где I
N
ν [19], а I
(z)=z−αIν(z) ,H
ν,α
(z) - цилиндрические функции соответственно 1-го и 2-го рода порядка
ν
(z)- цилиндрическая функция 1-го рода порядка ν мнимого
ν
(α1−ν1)
аргумента. Остальные пары функций ϕ
i
2
I
(q1r) ∈ L2(R0,R1) ,
ν1,α
1
2
ν
n+1,αn+1
2
ν,α
(−iq
r) ∈ L2(Rn, ∞) ,
n+1
(z)=z−α(Jν(z) − iNν(z)) , причем Jν(z),
, ψmоднозначно определяются
m
условиями сопряжения:
=
Далее матрицы Ω
(ρ,√p)=
Ω
k
k
α
j1
k
α
j2
определены соотношениями:
k
+ pγ
+ pγ
d
k
j1
dr
d
k
j2
dr
r = R
ρ,
ϕ
k
/
ρ,
ϕ
k
+β
+β
√
pψ
√
pψ
k
k
+ pδ
j1
k
+ pδ
j2
,k= 1,n.
k
/
k
k
(ϕ
j1
k
(ϕ
j2
√
ρ,
p
√
ρ,
p
)= (4.8)
kψk
k+1ψk+1
,k=
1,n+1.
) ,
j,s
∗
спра-
Лемма 4.1 Если выполнено условие M
неограниченной разрешимости задачи:
для p = σ + iτ с Rep = σ ≥ σ
- абсцисса сходимости интеграла Лапласа,
где σ
0
,
0
56
> 0, то выполнено условие
ki
и Jmp = τ ∈(−∞, +∞)
все матрицы Ω
,k= 1,n+1- невырожденные,
k
det Ω
=0,k= 1,n+1. (4.9)
k
Доказательство. Дифференцированием по r устанавливаем, что опре-
2αk+1
делители det (r
и из требования положительной определенности матриц M
довать невырожденность матриц Ω
Ωk) не зависят от переменной r. Из равенства
M
(ξ,p)=Mk2Ω
k1Ωk
.
k
k+1
(ξ,p)
будет сле-
ki
Лемма 4.2 Если выполнено условие неограниченной разрешимости задачи, то ограниченное на множестве I
+
решение сепаратной системы
n
(4.5)-(4.7) имеет вид:
R
m+1
n
=Ω
+ϕ
−1
k
−γ
−γ
m=0
j
M
k
12
k
22
P
R
(E0)
−1
k1
d
g
dr
d
g
dr
= P
0
H
m
n+1
Pk− ψj(0E)
k=j
j =
k
γ
11
k
γ
21
k+1(Rk
k+1(Rk
n+1
∗
(p, r, ρ)¯g
j,m+1
1,n+1,
d
gk(Rk)+δ
dr
d
gk(Rk)+δ
dr
k
)+δ
g
k+1(Rk
12
k
)+δ
g
k+1(Rk
22
=0,k= 1,n.
(ρ) dρ +
m+1
j−1
Pk, (4.10)
k=0
k
gk(Rk)−
11
k
gk(Rk)−
21
)
,
)
где
∗
(p, r)=
U
j
P
k
Доказательство. Существование правой части обеспечивается условием неограниченной разрешимости задачи. Непосредственные вычисления показывают, что формула (4.10) действительно определяет решение
смешанной задачи.
Приступим к вычислению матричнозначных функций влияния H
∗
Конструкция образов Лапласа функций влияния H
такова, что их осо-
k,s
k,s
быми точками являются точки ветвленияp =0и p = ∞.
57
.
В силу леммы Жордана и теоремы Коши [29] для оригинала функции
влияния получаем формулу обращения
H
k,s
где
˜
Ω
функции˜ψ
∞
2i
2
ϕk(r, λ)(0E)˜Ωs(ρ, λ)
π
0
1
ϕ
s˜ϕs
/
/
ϕ
˜ϕ
s
s
+ i˜ψ
+ i˜ψ
−1
s
−
/
s
(t, r, ρ)=
=
s
⎛
ϕ
s˜ϕs
⎜
/
ϕ
⎜
=(E
2σ02σ
s
)
⎜
0˜ψsϕs˜ϕ
⎝
0˜ψ
˜
= N
ψ
n+1
, ˜ϕj,j = 1,n определяются условиями сопряжения (4.8).
j
ν
n+1,αn+1
(q
n+1
/
˜ϕ
s
/
s
r) , ˜ϕ
0 −˜ψ
0 −˜ψ
/
ϕ
s
˜ϕ
n+1
0
−λ2t
e
E
s
/
s
ϕ
ϕ
s
/
s
= J
s˜ϕs
/
˜ϕ
s
⎞
−1
⎟
⎟
⎟
⎠
ν
n+1,αn+1
− i˜ψ
/
− i˜ψ
s
λdλ. (4.11)
!
−1
s
/
s
0
2σ
,
E
2σ
(q
r)
n+1
=
Для обоснования формулы (4.11) заметим также, что конструкция
матричнозначных функций ϕ
, ψkтакова, что при переходе с нижнего
k
берега разреза на верхний берег разреза все матричные функции
(ϕ
kψk
)Ω
−1
s
(ρ, λ)
0
E
останутся неизменными.
Возвращаясь в формулах (4.9) к оригиналам, найдем решение задачи
(4.1)-(4.4) в виде:
⎛
(t, r)=
U
k
где
∞
2
π
0
⎝
˜
P
R
n
m=0
R
+ϕ
=˜ΩkM
k
m+1
ϕk(r, λ)(0E)˜Ω
m
n
(r, λ)
k
R
k−1
(0E)˜P
k=1
<r<Rk,k = 1,n+1,
k
γ
k1
−1
11
dr
k
γ
21
dr
m+1
!
k
d
gk(r)+δ
d
gk(r)+δ
0
(ρ, λ)
−λ2t
e
λdλ , (4.12)
k
gk(r)−
11
k
gk(r)−
21
−2
A
g
m+1
E
m+1
(ρ) dρ+
58
−γ
−γ
d
k
g
k+1
12
dr
d
k
g
k+1
22
dr
(r)+δ
(r)+δ
k
g
k+1
12
k
g
k+1
22
(r)
(r)
.
4.2 Теорема разложения по собственным функ-
циям оператора Фурье-Бесселя
Для получения теоремы разложения применим метод δ- образных последовательностей [37]. Перейдем в формуле (4.12) к пределу при t → 0.Всилу
начальных условий (4.2), получаем интегральное представление:
R
∞
2
(r)=
g
k
·
π
0
k
δ
11
k
δ
21
Если положить
u (r, λ)=
и, также,
∗
(ρ, λ)=
u
где
∗
=(0E)˜Ω
u
k
m=0
γ
γ
n
k=1
k=1
−1
k
n
k
11
k
21
n
−M
m+1
ϕk(r, λ)(0E)˜Ω
R
m
+
g
g
θ (r − R
θ (ρ − R
(ρ, λ)
−1
(λ)
k2
−1
k1
k
γ
11
k
γ
21
/
(ρ − R
+
(ρ − R
+
0
E
(λ)·
g
k+1(Rk
/
g
k+1
k
δ
11
k
δ
21
(ρ, λ)
m+1
n
(0E)˜Ωk(Rk,λ) M
k=1
−
)
k(Rk
/
(Rk)
k
k =
) θ (Rk− r) ϕk(r, λ)+θ (r − Rn) ϕ
k−1
) θ (Rk− r) u
k−1
0
−2
A
k
E
k−1
γ
12
k−1
γ
22
1,n+1.
+M
k1
k−1
δ
12
k−1
δ
22
k
k
γ
δ
12
2
k
k
δ
γ
22
2
∗
(ρ, λ)+θ (ρ − Rn) u
k
−1
(λ)
δ
δ
k−1
k−1
A
(Rk)
)
)
−2
m+1
)
δ
δ
g
m+1
n+1
∗
n+1
/
(ρ − Rk)
−
(ρ − Rk)
−
,
(ρ) dρ+
λdλ;
(4.13)
(r, λ),
(ρ, λ) ,
−
59
и принять обозначения:
dS
(x)
(x)=
δ
+
0
γ
11
0
γ
21
+
,δ
dx
0
δ
11
≡ 0,
0
δ
21
−
γ
γ
(x)=
n+1
12
n+1
22
δ
δ
dS
n+1
12
n+1
22
−
dx
(x)
,
≡ 0,
то интегральное представление (4.13) приводит к интегральному представлению меры Дирака [65]
∞
2
δ (r − ρ)=
Интегральное представление меры Дирака порождает прямое H
ратное H
−1
матричные преобразования Фурье-Бесселя на полярной оси
n+
u (r, λ) u∗(ρ, λ) λdλ. (4.14)
π
0
n+
и об-
с точками деления по правилам:
∞
·
H
n+
γ
γ
[f](λ)=
k
k
δ
12
12
k
k
δ
22
22
H
u∗(ρ, λ) f (ρ) dρ +
0
f
k+1(Rk
/
(Rk)
f
k+1
−1
ˆ
f (r)=
n+
−
)
∞
2
u (r, λ)ˆf (λ) λdλ ≡ f (r) , (4.16)
π
0
n
(0E)˜Ωk(Rk,λ) M
k=1
k
γ
11
k
γ
21
k
δ
11
k
δ
21
f
k(Rk
/
f
k
(Rk)
)
−1
(λ)·
k1
≡ˆf (λ) ,
(4.15)
где
n
f (r)=
k=1
θ (r − R
) θ (Rk− r) fk(r)+θ (r − Rn) f
k−1
n+1
(r) .
Применив схему доказательства, разработанную в г.1, установим теорему
разложения по собственным вектор-функциям задачи Штурма-Лиувилля
для оператора Фурье-Бесселя.
Теорема 4.1 .Если вектор-функция
n
f (r)=
θ (r − R
k=1
) θ (Rk− r) fk(r)+θ (r − Rn) f
k−1
60
n+1
(r)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]