Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
u0(x, 0) = u1(x, 0) ,k
pΔu
(x, 0) = Δu1(x, 0) + ˜u (x, 0) ,q
0
∂
u0(x, 0) =
∂y
∂
u1(x, 0) ,
∂y
∂
u0(x, 0) =
∂y
∂
u1(x, 0) .
∂y
(24.3)
Теорема 24.1 . Решение u = θ (−y) u
+ θ (y) u1задачи (24.2) − (24.3)
0
существует, единственно и может быть найдено при помощи оператора преобразования: u = J [˜u] ,
∞
=
u
0
2(k+1)
1
=
u
1
2(k+1)
˜u (x, −y + ε) dε −
p+q
0
∞
k+q
˜u (x, y + ε) dε −
p+q
0
k+q
1
2(p+q)
yq
2(p+q)
y
˜u (x, −y) ,
˜u (x, y) .
(24.4)
Доказательство. Из формулы
∞
˜u (x, y + ε) dε =
0
∞
˜u (x, β) dβ
y
следует, что интеграл
∞
˜u (x, y + ε) dε
0
m+1
представляет функцию, гармоническую в E
. Функция y˜u (x, y) -
+
бигармоническая ввиду равенств:
2
Δ
[y˜u (x, y)] = Δ2
∂
˜u + yΔ˜u=Δ2
∂y
∂
∂y
˜u=2
∂
Δ[˜u]=0.
∂y
Второе из условий сопряжения (24.3) выполнено в силу равенств:
∂
u0=
∂y
∂
u1= −
∂y
1
2(k+1)
2(k+1)
k+q
p+q
q
k+q
p+q
˜u (x, −y) −
˜u (x, y)+
1
2(p+q)
q
2(p+q)
˜u (x, −y)+
˜u (x, y)+
y
2(p+q)∂∂y
yq
2(p+q)∂∂y
[˜u](x, −y) ,
[˜u](x, y) .
Аналогично доказываются и остальные условия сопряжения. Осталось заметить, что рассматриваемая задача (24.1)-(24.3) имеет единственное решение, т.к. соответствующая однородная краевая задача имеет
только тривиальное решение.
231
24.2 Краевые задачи для бигармонических
функций в однородном полупространстве.
Рассмотрим задачу о нахождении решения бигармонического уравнения
2
u =0, (x, y) ∈ E
Δ
m+1
, (24.5)
+
удовлетворяющего краевым условиям:
u (x, 0) = 0, Γ[Δu](x, 0) = ˜u (x, 0) , (24.6)
Γ - произвольный граничный оператор, ˜u (x, 0) − след на гиперплос-
кости y =0функции ˜u =˜u (x, y) , гармонической в E
m+1
α
H
E
2
,α≥ 2.
+
m+1
+
из класса
Теорема 24.2 . Пусть Γ - произвольный граничный оператор, для ко-
торого краевая задача:
Δv (x, y)=0, Γ[v](x, 0) = ˜u (x, 0) (24.7)
m+1
α
имеет единственное решение v = v (x, y) в классе H
гда краевая задача (24.5)-(24.6) имеет единственное решение u в классе
α+2
H
2
Лемма 24.1 . Пусть f - функция, гармоническая в полупространстве
m+1
E
+
m+1
E
. При этом выполняется представление:
+
∞
y
u = −
2
0
. Решение уравнения Пуассона
Δv = f (x, y), (x, y) ∈ E
v (x, y + ε) dε. (24.8)
m+1
+
f ∈ H
α−2
2
m+1
E
+
E
2
, (24.9)
, то-
+
удовлетворяющее граничному условию
1
α−
2
v (x, 0) = g (x) ,g ∈ H
(Em) , (24.10)
2
имеет вид:
232
1
v = −
y ·
2
причем v ∈ H
∞
f ( x, y + ε) dε +
0
m+1
α
E
2
,P(x − η, y) - ядро Пуассона для полупро-
+
P (x − η, y) g (η) dη, (24.11)
m
E
странства.
24.3 Краевые задачи для бигармонических
функций в кусочно-однородном полупространстве.
В кусочно-однородном полупространстве E
деления функции u = u (x, y) из класса u ∈ H
n+1
χ (Bk) uk(x, y),
k=1
где χ (B
u (x, y)=
) - характеристическая функция множества Bk,
k
= { (x, y):x ∈ Em,l
B
k
m+1
n,+
<y<lk},
k−1
рассмотрим задачу опре-
m+1
α
E
2
n,+
,α≥ 4 :
удовлетворяющей системе сепаратных бигармонических уравнений:
2
ui=0, (x,y) ∈ Bi,i=1, ..., n +1 (24.12)
Δ
с граничными условиями:
1
α−
u
(x, l0)=f (x) ,f ∈ H
1
2
(Em) ,Δu1(η)=g (η),g ∈ H
и условиями сопряжения на гиперплоскостях y = l
u
(x, li)=u
i
p
iΔui
(x, li) ,k
i+1
(x, li)=Δu
∂
i
∂y
(x, li) ,m
i+1
[ui(x, li)] =
∂
i
∂y
∂
[u
i+1
∂y
[Δui(x, li)] =
(x, li)] ,
i
∂
[Δu
i+1
∂y
5
α−
2
:
(x, li)] ;i =1, ..., n.
(Em)
(24.13)
(24.14)
233
Для решения поставленной задачи применим метод операторов преобразования. Заметим, что функции Δu
Дирихле для уравнения Лапласа в кусочно-однородном полупростран-
m+1
n,+
:
стве E
являются решениями задачи
i
Δ(Δu
)=0, (x, y) ∈ Bi,i=1, ..., n +1 (24.15)
i
с граничным условием
(x, 0) = g (x)(24.16)
Δu
1
и условиями сопряжения
p
iΔui
(x, li)=Δu
(x, li) ,m
i+1
∂
i
∂y
[Δu
(x, li)] =
i
∂
∂y
[Δu
i+1
(x, li)] .
(24.17)
Применим к кусочно-гармонической, функции
n+1
&
Δu =
χ (Bk) · Δuk(x, y) оператор преобразования J, порождаемый
k=1
краевой задачей (24.16)-(24.17) (см.[5]). По формуле Пуассона для полупространства имеем:
−1
J
[Δu](x, y)=
P (x − η, y) g (η)dη, (24.18)
m
E
где P (x − η, y) − ядро Пуассона для полупространства. Из формулы
(24.18) получим:
⎤
⎦
. (24.19)
Δu (x, y)=J
⎡
⎣
[P (x − η, y)] g (η) dη
m
E
В итоге для кусочно-гармонической функции Δu имеем краевую за-
дачу о решении сепаратной системы уравнений Пуассона
Δu (x, y)=h (x, y), (x, y) ∈ E
⎡
⎣
h (x, y)=J
[P (x − η, y)] g (η)dη
m
E
234
m+1
, (24.20)
n,+
⎤
⎦
(24.21)
с краевым условием
и условиями сопряжения
(x, l0)=f (x) , (24.22)
u
1
(x, li)=u
u
i
(x, li) ,k
i+1
∂
(x, li)] =
[u
i
i
∂y
∂
∂y
(x, li)] ,i=1, .., n.
[u
i+1
(24.23)
Для нахождения неизвестной кусочно-гармонической функции u при-
меним оператор преобразования Y, порождаемый краевой задачей (24.22)(24.23),см. [5].
Пусть функция v - решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона
−1
Δv = Y
[h (x, y)] ,x∈ Em,y > 0,
удовлетворяющее краевому условию
m
v (x, 0) = f (x),x∈ E
.
Из леммы 24.1 следует, что
∞
y
Y−1[h (x, y + ε)] dε.
2
0
v =
P (x − η, y) f (η) dη −
m
E
Учитывая, что операторы Y, Δ коммутируют, для неизвестного решения u получим формулу:
⎡
⎣
P (x − η, y) f (η) dη
m
E
[P (x − η, y + ε)] g (η) dη
m
E
−Y
u = Y
⎡
y
⎣
2
⎡
−1
⎡
⎣
⎣
J
∞
Y
0
Замечание. В случае, когда выполнены условия: p
⎤
⎦
−
⎤⎦⎤
⎤
⎦
⎦
dε
. (24.22)
=1,ki= mi,i =
i
1, .., n, операторы J, Y совпадают, и поэтому формула (24.22) принимает
особенно простой вид:
235
u = Y
⎡
⎣
P (x − η, y) f (η) dη −
m
E
⎛
∞
y
⎝
2
0
[P (x − η, y + ε)] g (η) dη
m
E
⎞
⎠
dε
⎤
⎦
.
236
Глава 25
Операторный метод для
функций
кусочно-гармонических в шаре
25.1 Краевые задачи для гармонических
функций в шаре.
Пусть функция ˆu =ˆu (x) гармонична в шаре B0= { x ∈ Rm: |x| < 1 } и
α
пусть ˆu ∈ H
(B0) ,(α ≥ 2) . Рассмотрим уравнение Лапласа
2
Δu =0,x ∈ B
0
с граничными условиями
hu (ξ)+
∂
u (ξ)=ˆu (ξ) ,ξ ∈ S
∂n
,
0
где h>0 постоянная, ˆu =ˆu (ξ) - след функции ˆu =ˆu (x) на гипер-
сфере S
принадлежит классу u ∈ H
монической в шаре функции ˆu =ˆu (ξ) по правилу L
оператор преобразования L
.
0
Решение u = u (x) поставленной задачи существует, единственно и
−1
1) L
- оператор обратный к оператору Lh= h + x
h
2) на гиперсфере S
α+1
(B0)(α ≥ 2) см. [11]. Для каждой гар-
2
−1
из H
h
справедливо равенство: Lh= h +
0
α+1
α
в H
2
. Имеем:
2
−1
h
:ˆu → u определен
1
∂x
∂
+ ... + x
1
∂
,
∂n
∂n
∂
∂
m
∂x
m
- произ-
водная по внешней нормали,
237
,
3) для оператора преобразования L
−1
[ˆu]=
L
h
−1
справедлива формула (см. [10]):
h
1
h−1
ε
ˆu (εx) dε.
0
Следовательно, решение третьей краевой задачи в шаре находим по
формуле:
u =
−1
L
[P (x, ξ)] ˆu (ξ)dξ,
h
S
0
где P (x, ξ) - ядро Пуассона для шара.
α
Пусть функция ˆu =ˆu (x) из класса H
m
B = {x ∈ R
шаровом слое D = {x ∈ R
: |x| < 1 } с границей S. Рассмотрим уравнение Лапласа в
m
: r0< |x| < 1} :
(B) ,α≥ 2 гармонична в шаре
2
Δu =0,x∈ D,
с условиями Дирихле на его границе ∂D = S*S
0
u (ξ)=ˆu (ξ),ξ ∈ S, S = {ξ ∈ Rm: |ξ| =1},
u (η)=0,η ∈ S
= {ξ ∈ Rm: |ξ| = r0},
0,S0
где ˆu (ξ) - след на гиперплоскости S функции ˆu =ˆu (x) . Из опреде-
ления оператора преобразования J следует, что решение u = u (x) суще-
α
ствует, единственно и принадлежит классу H
(D) (см. [11]), и выража-
2
ется формулой:
u (x)=
J [P (x, ξ)] · ˆu (ξ)dξ,
S
0
где P (x, y) - ядро Пуассона для гипершара, J - оператор преобразо-
вания:
∞
(−1)j(E − S) · Γj[ˆu (x)] ,
j=0
здесь Γ
j
[u]=ur
J [ˆu]=
2j
x,S- инверсия относительно гиперсферы S0:
0
238
m−2
r
S [u]=
Кусочно- однородный шар B
n
+
=
Bj,Bj= {x : r
U
j=0
, ..., rn,r
> ... > rn>r
n+1
где r
1 = r
B
n
0,r1,r2
0>r1>r2
0
m−2
|x|
+
определим равенством:
n
j+1
- точки на [0,1], такие, что
n+1
Рассмотрим сепаратную систему уравнений Лапласа
2
r
0
u
x.
|x|
< |x| <rj},j =0, ..., n,
r
r
i+1
i
=0;
≤
r
0
,i=1, .., n − 1.
r
i
Δu
i
=0,x∈ B
,i=1, ..., n
i−1
с граничным условием
(η)=ˆu (η),η∈ S
u
1
0
с условиями сопряжения на гиперсферах:
(ξ)=u
u
j
m−2
L
k
i
2
где ˆu (η) - след на гиперсфере η ∈ S
из класса H
(ξ) ,
j+1
[uj(ξ)] = L
α
2
m−2
[u
j+1
2
(B0) ,α≥ 2, оператор L
m−2
L
(ξ)] ,ξ∈ Si; Si= { ξ : |ξ| = ri} ; i =1, .., n,
функции ˆu =ˆu (η) гармонической
0
m−2
имеет вид:
2
m
i=1
∂
x
.
i
∂x
i
m − 2
=
2
+
2
Непосредственная проверка показывает, что решение u = u (x) поставленной задачи существует, единственно, принадлежит классу
α(B+
H
) ,α≥ 2 и
n
u (x)=
где J - оператор преобразования J :ˆu → u, u (x)=
χ (B
) -характеристическая функция множества B
k−1
J [P (x, ξ)] · ˆu (ξ)dξ,
S
0
n+1
&
χ (B
k=1
,P(x, ξ) - ядро
k−1
) uk(x) ,
k−1
239
Пуассона для единичного шара. Для оператора J справедливо представление
−1
J [ˆu]=Λ
· Γ−1[ˆu] ,
где
Γ ≡ Γ
·... · Γ1, Γ−1=Γ
n
Γi[f]=f (x)+
−1
Γ
- оператор, обратный к оператору Γ :
∞
[g]=
(−1)
k=0
−1
Γ
Примем обозначения для шарового слоя B
для шара B
= {x : |x| <ri}. Определим оператор сглаживания L
n+1,i
−1
1
k
hkgr2kx,hk= h
1 − k
h
=
i
1+k
·... · Γ
1 − k
1+k
i
i
r
−1
n
i
r
i
m−2
i
, Λ ≡ Λn·... · Λ1, Λ−1=Λ
m−2
i
2
fr
x,i=1, ..., n ,
i
k
1
1
n
5
,r2k=
i=1
k
· ... ·h
r
n
,
n
2k
i
.
i
= {x : ri< |x| <r0} и
i,0
−1
1
относительно гиперсферы Si:
Λ
i
Оператор Λ
−1
Λ
i
= χ (B
−1
i
= χ (B
)kiE +
i,0
, обратный к Λi, имеет вид:
1
)
i,0
k
1 − k
2
1 − k
E −
i
1+k
i
S+ χ (B
i
S+ χ (B
i
n+1,i
n+1,i
)
)
k
+1
i
2
ki+1
E,
2
E.
Следствие 25.1. Выпишем в явном виде формулу Пуассона для кусочно однородного круга с одной окружностью сопряжения
|z| = r;0 <r<1:
·... · Λ
−1
n
i
u (z)=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
2k
k+1
&
j=0
∞
&
j=0
∞
1−k
1+k
#
j
1
2π
C
1−|z|2r
|η−zr2j|
4j
−
2
1−k
1+k
1−
|z|
·
z
η−
|z|
$
1
4j+4
r
2
u (η)dη,
2
2j+2
r
2
r<|z| < 1;
2
1−k
1+k
j
1
2π
C
1−|z|
|η−zr2j|
4j
r
u (η)dη,
2
|z| <r.
240
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]