Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
Переставляя интегралы местами, получим:
∞
H
j,n
−∞
∞
ϕ (x, λ)
−∞
∞
=
Hj(λ)
−∞
(x) H
∗
(x) dx =
k,n
∞
ϕ∗(x, β) Hk(β) dβdxdλ.
−∞
По теореме разложения имеем:
∞
ϕ∗(x, β) Hk(β) dβdx .
−∞
H
(λ)=
k
∞
ϕ (x, λ)
−∞
Следовательно,
−∞
∞
H
j,n
(x) H
∗
(x) dx =
k,n
∞
Hj(λ) Hk(λ) dλ = δjk.
−∞
Теорема 27.1 . Если функция u (τ, x) ∈ S
условие
e
τ2λ
1+λ
α/2
2
˜u (τ,λ) ∈ L2(R) ,
/
(R) и для нее выполнено
то система сепаратных интегральных уравнений (27.6) имеет един-
α
ственное решение f (x) ∈ H
f (x)=
(In) , которое находится по формуле:
2
9
∞
π
Dn(u)
2
j=0
2jj!
(x) , (27.9)
H
j,n
где
∞
2π
1
(iλ)j˜u (τ,λ) dλ.
−∞
−1
к системе се-
(u)=
D
n
Доказательство. Применим оператор преобразования J
паратных интегральных уравнений (27.6). В результате придем к модельному интегральному уравнению (27.7). Решение уравнения (27.7) имеет
вид:
ˆ
f (x)=
∞
j=0
(j)
ˆu
(0) τ
j!
j
2
H
x
2√τ
.
j
251
Подействуем оператором J на обе части полученного равенства, в
итоге, учитывая непрерывность оператора J, найдем неизвестное распределение температуры:
f (x)=
Вычислим числа ˆu
ˆu
9
(j)
(0) . Имеем:
(j)
(0) =
π
2τ
2π
∞
(j)
ˆu
j=0
∞
1
(iλ)jF [ˆu](λ) dλ,
−∞
(0) τ
j!
j
2
(x) .
H
j,n
из определения оператора преобразования J следует, что
F [ˆu](λ)=F
[u](λ) .
n
Таким образом,
∞
(0) =
2π
1
(iλ)jFn[u](λ) dλ.
−∞
(j)
ˆu
27.2 Ретроспективная задача для итерирован-
ного уравнения теплопроводности.
a) Однородный случай. Пусть ˆu (τ,x) ,x ∈ R - ограниченное на множе-
стве
D =(0, ∞) × I
решение итерированного уравнения теплопроводности:
∂
−
∂t
∂x
с начальными условиями
ˆu
где принято обозначение:
(t, x)=
ˆu
i
= {(t, x): t ≥ 0,x∈ R},
n
q+1
2
∂
i
ˆu (t, x)=0, (t, x) ∈ D
2
(0,x)=ˆfi(x) ,x∈ R
i
∂
ˆu (t, x) , i=0, ..., q
i
∂t
252
и краевыми условиями
∂
∂x
i
ˆu (t, x)
i
x=−∞
=0,
∂
∂x
i
i
ˆu (t, x)
=0,i=0, ..., q .
x=+∞
Рассмотрим задачу определения начальных значенийˆf
по системе функций ˆu
(τ,x) ,i =0, ..., q, т.е. по известным решению и его
i
производным до порядка q в момент времени t = τ.
Пусть ˆv
(τ,x) ,i =0, ..., q - решения модельных уравнений теплопро-
i
водности:
∂
∂t
2
∂
−
∂x
(t, x)=0, (t, x) ∈ D, i =0, ..., q (27.10)
ˆv
i
2
с начальными условиями
(0,x)=ˆfi(x) ,x∈ R (27.11)
ˆv
i
краевыми условиями
(x) ,i =0, ..., q
i
ˆv
i
(t, x) |
=0, ˆvi(t, x) |
x=−∞
=0,i=0, ..., q . (27.12)
x=+∞
Непосредственная проверка показывает, что системы функций
(τ,x) ,i =0, ..., q и ˆvi(τ,x) ,i =0, ..., q зависимы. Справедлива
ˆu
i
Лемма 27.2 . Система функций ˆu
(τ,x) ,i =0, ..., q и ˆvi(τ,x) ,i =0, ..., q
i
связаны между собой равенствами:
⎛
⎜
⎝
ΓD
ˆv
⎞
(τ,x)
ˆv
2
ΓD
0
q
⎟
.
.
.
⎠
=ΓD
(τ,x)
- операторная матрица вида:
⎛
D
⎜
D
⎜
2
⎜
=
D
⎜
⎝
... ... ... ... ...
0
C
q
2
k=0
0
2
4
D2qC
q
J
k!
00... 0
D
2D
1
D
q
k
k
Γ−D
t
0
2
2q−2C2
⎛
ˆu
0
⎜
2
⎝
ˆu
q
0 ... 0
0
D
D
q
2q−4
... 0
... C
(τ,x)
.
.
.
(τ,x)
q
D
q
253
⎞
⎟
⎠
(27.13)
⎞
⎟
⎟
⎟
,
⎟
⎠
0
Jk- матрица размера (q +1)×(q +1) у которой диагональ, соединя-
ющая элементы γ
1,k+1
и γ
q+1−k,q+1
, состоит из единиц, а все остальные
элементы равны нулю.
Теорема 27.2 . Если для системы функций ˆu
(τ,x) ∈ S/(R) ,i =0, ..., q
i
выполнено условие
τ2λ
e
1+λ
2
q+α/2
F [ˆui](τ, λ) ∈ L2(R) , ..., i =0, ..., q,
то:
⎛
⎜
⎝
причемˆf
ˆ
(x)
f
0
.
.
.
ˆ
(x)
f
q
(x) ∈ H
i
⎞
⎟
⎠
⎛
j
D
⎜
⎝
D
j
ˆv0(τ,0)
ˆvq(τ,0)
∞
=
j=0
α
(R) ,i =0, ..., q, и значения ˆvi(τ,x) ,i =0, ..., q
2
⎞
j
2
.
j!
τ
⎟
.
.
⎠
H
x
j
, (27.14)
2√τ
следует взять из формулы (27.13).
Доказательство. Применим формулу (27.9) к каждому из (q +1) на-
чальных условийˆf
(x) в модельных задачах (27.10)-(27.12). В итоге при-
i
ходим к (27.14).
b) Случай кусочно-однородной оси. Пусть неизвестным является
n+1
(x)=
f
i
k=1
θ (x − l
) θ (lk− x) fik(x) −
k−1
первоначальное распределение, порождающее заданное распределение в момент времени t = τ :u
где u
(t, x) - решение сепаратной системы дифференциальных урав-
0m
(τ,x) ,
0
нений
∂
∂t
q
2
∂
−
u0m(t, x)=0, (t, x) ∈ D, m =1, ..., n +1, (27.15)
2
∂x
а также заданное распределение в момент времени t = τ производных
функции u
(τ,x) до порядка q включая: ui(τ,x) ,
0
i
∂
=
u
im
u0m(τ,x) ,i =1, ..., q,
i
∂t
254
при этом выполняются:
начальные условия
(0,x)=fim(x) ,x ∈ In,m=1, ...., n +1 (27.16)
u
im
краевые условия
∂
∂x
i
i
u01(t, x)
x=−∞
=0,
∂
∂x
i
u
0,n+1
i
(t, x)
=0,i=0, ..., q (27.17)
x=+∞
и условия сопряжения
2q−1
&
i=0
i
∂
k
α
m1,i
∂x
i
u0k=
2q−1
&
i=0
i
∂
k
α
m2,i
∂x
i
u
0,k+1
,x= lk,
(27.18)
k =1, ..., n; m =1, ..., 2q.
k
здесь α
; j =1, ..., 2q, s =1, 2,i=0, ..., 2q − 1 -заданные действи-
js,i
тельные числа, при которых выполнено условие неограниченной разрешимости задачи (27.15)-(27.18). Поиск решения приводит к сепаратной
системе интегральных уравнений:
n+1
l
s+1
u
ik
(t, x)=
s=1
H
(t, x, ξ) · fis(ξ) dξ, (27.19)
i,ks
l
s
здесь
∞
i
H
i,ks
(t, x, ξ)=
−∞
−λ
2
ϕk(x, λ) · ϕ
∗
(ξ,λ) e
s
−λ2t
dλ,
i =0, ..., q; k, s =1, ..., n +1,
∗
ϕ, ϕ
- собственные функции соответствующие прямой и двойственной задач Штурма Лиувилля [5], связанной с данной смешанной краевой задачей (27.15)-(27.18). Применение оператора преобразования J
−1
приводит изучаемую задачу к однородному случаю -т.е. к задаче (27.10)(27.12).
По схеме, предложенной при доказательстве теоремы 27.1, устанав-
ливается справедливость следующего результата:
Теорема 27.3 . Если функции u
дой из них выполнено условие
(τ,x) ∈ S/(R) ,i=0, ..., q и для каж-
i
255
τ2λ
e
1+λ
2
q+α/2
F [ui](λ) ∈ L2(R) ,
то система сепаратных интегральных уравнений (27.19) имеет един-
ственное решение
⎛
⎜
⎝
⎞
f
(x)
0
⎟
.
.
⎠
.
f
(x)
q
α
(In) , которое находится по форму-
∈ H
2
ле:
1
2jj!
⎛
⎜
⎝
D
D
j
v0(x)
.
.
.
j
vq(x)
⎞
⎟
(x) , (27.20)
H
⎠
j,n
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
9
∞
π
=
2
j=0
(x)
f
0
.
.
.
(x)
f
q
где
∞
⎞
⎟
⎠
1
2π
=ΓD
(iλ)jFn[vk](λ) dλ, k =0, ..., q,
−∞
⎛
q
J
k=0
k!
k
k
Γ−D
t
2
⎜
2
⎝
u
u
(τ,x)
0
(τ,x)
q
⎞
⎟
.
.
.
⎠
,
j
vk(u)=
D
⎛
v
(τ,x)
0
⎜
.
.
⎝
.
(τ,x)
v
q
F
- преобразование Фурье на кусочно-однородной оси с n точками
n
сопряжения [5].
27.3 Обобщения результатов для q -итерации
дифференциального оператора второго
порядка общего вида.
Рассмотрим интегральное уравнение:
∞
H (τ, x,ξ) · f (ξ) dξ = u (τ, x), (27.21)
−∞
где
∞
H (τ, x,ξ)=
ϕ (x, λ) · ϕ∗(ξ,λ) e
−∞
256
−λ2τ
dλ,
ϕ (x, λ) ,ϕ∗(ξ,λ) -собственные функции прямой и двойственной задач
Штурма-Лиувилля на действительной для оператораL (L- дифференци-
ального оператора второго порядка общего вида).
/
Теорема 27.4 . Если функция u (τ, x) ∈ S
условие
e
τ2λ
1+λ
α/2
2
˜u (τ,λ) ∈ L2(R) ,
(R) и для нее выполнено
где
∞
˜u (τ,λ)=
ϕ∗(ξ,λ) u (τ,ξ) dξ,
−∞
то система сепаратных интегральных уравнений (27.21) имеет един-
α
ственное решение f (x) ∈ H
f (x)=
(In) , которое находится по формуле:
2
9
∞
π
Dn(u)
2
j=0
2jj!
(x) , (27.22)
H
j
где
∞
(u)=
D
n
(x)=
℘
j
(x) -аналог функций Эрмита.
℘
j
−∞
1
2π
−∞
∞
ϕ (x, λ) H
(iλ)j˜u(
τ,λ)dλ.
2
j
√
τλdλ,
Рассмотрим систему сепаратных интегральных уравнений, порождаемую смешанной краевой задачей, аналогичной задаче (27.15)-(27.18) с
2
заменой оператора D
u
на оператор L :
(t, x)=
ik
n+1
s=1
l
s+1
H
(t, x, ξ) · fis(ξ) dξ, (27.23)
i,ks
l
s
где
∞
i
H
ϕ (x, λ) ,ϕ
2
(t, x, ξ)=
i,ks
∗
(ξ,λ) -собственные функции прямой и двойственной задач
−∞
−λ
ϕk(x, λ) · ϕ
∗
(ξ,λ) e
s
−λ2t
dλ,
Штурма-Лиувилля на действительной оси для q итерации оператора L.
257
Теорема 27.5 . Если система функций ˆui(τ,x) ∈ S/(R) ,i =0, ..., q и
выполнено условие
τ2λ
e
1+λ
2
q+α/2
F [ˆui](τ, λ) ∈ L2(R) , ..., i =0, ..., q,
то решение сепаратной системы интегральных уравнений (27.23)
имеет вид:
⎛
⎜
⎝
⎞
ˆ
(x)
f
0
⎟
.
.
⎠
.
ˆ
(x)
f
q
⎛
j
D
⎜
⎝
D
j
ˆv0(τ,0)
ˆvq(τ,0)
∞
=
j=0
⎞
j
.
j !
2
τ
⎟
.
.
⎠
H
x
j
, (27.24)
2√τ
где
⎛
⎜
⎝
ˆv
ˆv
(τ,x)
0
(τ,x)
0
⎞
q
k=0
J
k!
k
t
k
Γ(−L)
⎟
.
.
.
=Γ(L)
⎠
⎛
⎜
⎝
ˆu
ˆu
(τ,x)
0
(τ,x)
0
⎞
⎟
.
.
.
⎠
,
Γ(L) - операторная матрица вида:
причемˆf
Γ(L)=
(x) ∈ H
i
⎛
0
L
⎜
LL
⎜
2
⎜
L
⎜
⎝
... ... ... ... ...
0
LqC
C
q
α
(R) ,i =0, ..., q.
2
00... 0
0
0 ... 0
2LL0... 0
1
q−1C2
L
q
q−2
L
q
... C
⎞
⎟
⎟
⎟
,
⎟
⎠
q
0
L
q
258
Часть V
Корректные алгоритмы теории
распознавания
259
Глава 28
Восстановлениe зависимостей в
классе кусочнополиномиальных функций
28.1 Постановка задачи.
В теории прямых и обратных задач математической физики кусочнооднородных сред, а также задач интерпретации результатов наблюдений
[12] возникает класс кусочно-гладких функций. Рассмотрим однопараметрическое семейство функции f (t, α) , заданных на составном проме-
жутке I
,
n
I
=t : t ∈
n
имеющих предельные значения f (a +0,α) ,f ( b − 0,α),
/
( a +0,α) ,f/(b − 0,α);удовлетворяющих в точках стыка
f
,k=1, ..., n , условиям:
t = l
k
где χ
Пусть в классе f (t, α) ,t ∈ I
зависимость f (t, α
вестны, но известны значения другой функции F (x) , заданной на I
> 0 - заданные постоянные.
k
n+1
(a
U
j=1
f (a
− 0,α)=f (ak+0,α) ,
k
χ
f/(ak− 0,α)=f/(ak+0,α) ,
k
)=f (t) [12] и пусть значения функции f (t) неиз-
0
) ,a= a0≥ 0,a
j−1,aj
надо восстановить функциональную
n
260
= b<∞;
n+1
(28.1)
,
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]