Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
связанной с искомой операторным уравнением:
Af (t)=F (x) . (28.2)
Пусть в результате измерений получены значения функции F (x) :
= F (xj)+ξ,j =1, ..., i, (28.3)
y
j
ξ - аддитивная помеха,
2
Mξ =0,Mξ
не зависящая от x. Точки x
равномерной плотностью на кусочно-однородном отрезке I
= σ2< ∞,
определяются случайно и независимо с
j
. Таким об-
n
разом, по результатам измерений (28.3) необходимо восстановить функцию f (t)=f (t, α
) в классе функций f (t, α) . При этом допускается, что
0
задача (28.2) может быть некорректной.
Проблема поиска корректных алгоритмов, распознающих данную выборку без ошибок, в общем виде решена Журавлевым Ю.И. [14]. В этом
разделе рассмотрен стохастический вариант задачи восстановления функциональных зависимостей [12], аппаратом служит метод операторов преобразования [5] .
28.2 Операторы преобразования в классе
кусочно-полиномиальных функций.
Пусть функция˜f =˜f (t) определена на отрезке [a, b] и пусть˜f (t) ,˜f/(t) ∈
[a, b] , с нормой
L
2
2
отрезке I
Обозначим через ˜v
b
2
˜
f
˜
f
=
(t) dt, а функция f = f (t) определена на кусочно-однородном
a
,f(t) ,f/(t) ∈ L2[In] с нормой f2=
n
(t) - собственные функции оператора Фурье −
j
&
n+1
k=1
a
k+1
a
k
f2(t) dt.
d
dt
на отрезке [a, b] с условиями периодичности, т.е. ˜vj(t) - решение задачи Штурма-Лиувилля:
2
d
vj(t)=j2vj(t);
−
2
dt
v
(a)=vj(b) ,
j
261
2
2
а через v
(t) - собственные функции, λj- собственные значения опе-
j
ратора Фурье −
ности:
/
v
(a)=v
j
2
d
на составном промежутке Inс условиями периодич-
2
dt
2
d
vj(t)=λjvj(t);
−
2
dt
(a)=vj(b) ,
v
j
/
j
(b) ,
/
(a)=v
v
j
и условиями сопряжения в точках стыка t = a
− 0) = vj(ak+0),
v
j(ak
/
(ak− 0) = ˜v
v
j
Обозначим через˜A
стеме собственных функций ˜v
ствует функция f ∈ L
коэффициенты ряда Фурье функции˜f (t) по си-
j
2[In
(t) . По теореме Рисса-Фишера [16] суще-
j
] , удовлетворяющая условию:
/
(b) ,
j
/
(ak+0).
j
,k =1, .., n :
k
vj(t) f (t) dx =˜cj,j =1, 2, .... (28.4)
I
n
Оператор P, ставящий в соответствие функции˜f функцию f ( P :
˜
f → f ) назовем оператором преобразования.
Замечание. Если функция˜f дважды непрерывно дифференцируема
на отрезке [a, b] и удовлетворяет условиям периодичности:
˜
f (a)=˜f (b) ,
/
˜
(a)=˜f/(b) ,
f
то оператор преобразования P определяется формулой:
262
∞
f (t)=
Пусть теперь заданы коэффициенты A
по системе собственных функций v
ществует функция˜f ∈ L
[a, b] , удовлетворяющая условию:
2
l
vj(t)˜cj. (28.5)
j=1
ряда Фурье функции f (t)
j
(t) . По теореме Рисса-Фишера су-
j
˜vj(t)˜f (t) dt = cj,j =1, 2, .... (28.6)
l
0
−1
В результате задан оператор P
−1
f функцию˜f ( P
: f →˜f ). Операторы P и P−1- взаимно обратные.
Определим оператор P
P
∗
, сопряженный к оператору P, равенством:
d
dt
, ставящий в соответствие функции
˜
f =
d
∗
˜
P
f , (28.7)
dt
где
/
˜
f
∈ L2[l0,l] .
Отметим следующее свойство операторов преобразования P.
Теорема 28.1 . Оператор преобразования P осуществляет непрерыв-
ное отображение из L
[a, b] в L2[In] .
2
Доказательство. Запишем равенство Парсеваля для функций f и˜f :
b
2
˜
f
a
f2(t) dt =
I
n
(t) dt =
∞
j=1
∞
j=1
2
˜c
,
j
2
c
.
j
Из определения оператора преобразования P следует, что
=˜cj,
c
j
и, поэтому,
263
b
2
˜
(t) dt =
f
a
Таким образом, если последовательность˜f
то соответствующая последовательность f
f2(t) dt.
I
n
сходится к нулю в L2[a, b] ,
j
сходится к нулю в L2[In] .
j
28.3 Обобщенные сплайны.
Пусть отрезок [a, b] , на котором ведется восстановление зависимости разбит на части:
] , [a1,a2] , ..., [aN,b] ,b= a
[a
0,a1
Определим следующий класс функций V
межутков [a
] , [a1,a2] , ..., [aN,b] функция V
0,a1
m
N
торым полиномом степени m и удовлетворяет в точках стыка a = a
.
n+1
(t, α) : на каждом из про-
m
(t, α) совпадает с неко-
N
,k =
k
1, ..., N условиям сопряжения вида:
2j
d
m
V
(ak− 0,α)=
2j
N
dt
2j+1
d
m
V
χ
k
2j+1
dt
(ak− 0,α)=
N
2j
d
m
V
(ak+0,α) ,j =0, 1, 2, ...,
2j
N
dt
2j+1
d
m
V
2j+1
dt
(ak+0,α) ,j =0, 1,2, ...,
N
m
,
2
m−1
2
,
а также условиям периодичности:
j
d
m
V
(a, α)=
j
N
dt
m
Сплайны V
(t, α) в отличие от классических сплайнов степени m,
N
сопряженных в точках a
j
d
m
V
(a, α) ,j =0, 1, 2,..., m.
j
N
dt
, ..., aN[12], имеют разрывные производные
1,a2
нечетного порядка, и поэтому их использование более естественно в задачах анализа и математической физики кусочно-однородных сред.
m
Для построения сплайнов V
(t, α) введем в рассмотрение систему
N
фундаментальных сплайнов. Для кубических сплайнов с N сопряжениями вводится N +4 фундаментальных сплайна
(t) ,μ2(t) , ..., μ
μ
1
N+4
(t) .
Фундаментальные сплайны однозначно определяются условиями
264
μ1(ai)=0,μ
/
(a0)=1,μ
1
/
(a
)=0 (i =1, 2, ..., N +1),
N+1
1
μ
2(ai
)=0,μ
(ak)=δ
μ
r
/
(a0)=0,μ
2
k,r−3
/
(a
N+1
2
/
,μ
(a0)=0,μ
r
)=1 (i =1, 2, ..., N +1)
/
(a
)=0,
N+1
r
(r =3, ..., N +4;k =0, 1, ..., N +1),
здесь δ
- символ Кронекера. Поскольку любой сплайн V
ij
ностью определяется N +2 значениями в узлах a
(i =0, 1, ..., N +1) и
i
3
(t, α) пол-
N
значениями первой производной на концах отрезка, то имеет место равенство
3
V
N
(t, α)=
j=0
3
V
N
(aj,α) μ
j+3
(t)+V
N
3
(t, α)
/
μ1(t)+V
a
3
N
(t, α)
/
μ2(t) .
b
N+1
Таким образом, если будут найдены конкретные выражения для системы фундаментальных сплайнов μ
возможным представить класс сплайнов V
(t) ,μ2(t) , ..., μ
1
3
(t, α) в параметрическом ви-
N
(t) , то окажется
N+4
де
N+4
3
V
(t, α)=
N
Пусть m
лах a
(a
i+1
равномерной сетки с шагом Δ,
i+1,ai
− ai=Δ). Так как вторая производная полинома третьей степени-
- значения второй производной сплайна V
i+1,mi
линейная функция, то для t ∈ [a
i=1
] справедливо
i,ai+1
αiμi(t) .
3
(t, α) в уз-
N
где
3
(x, α)//= m
V
N
= V
m
i+1
3
(a
i+1
N
x − a
i
Δ
+ m
i+1
,α) ,mi= V
265
a
i+1
i
3
(ai,α) .
N
Δ
− x
,
Проинтегрировав дважды эту функцию с учетом непрерывности сплайна на концах отрезка , получим, что кубический сплайн на отрезке описывается формулой
3
V
(t, α)=
N
+(6V
1
m
i+1
6Δ
3
(ai,α) − Δ2mi)(a
N
3
+6V
(a
i+1,ai
N
(t − ai)3+ mi(a
− t)+
i+1
) − Δ2m
i
(t − a
i+1
i
− t)3+
)] .
На всем отрезке [a, b] полученная функция непрерывна, но ее первая
производная может не удовлетворять условиям сопряжения. Чтобы избежать этого, выберем величины из условий сопряжения, т.е. из условия
d
3
V
(a
χ
i
N
dt
i+1
− 0) =
d
dt
3
V
(ai+0),
N
т.е.
χ
i
= −
Δ
3
Δ
3
m
m
i
i+1
Δ
+
m
i+1
3
Δ
m
−
3
i+2
3
V
(a
,α) − V
i+1
N
+
3
(a
V
i+2
N
+
Δ
,α) − V
Δ
3
N
(ai,α)
3
(a
N
i+1
,α)
=
.
Таким образом, для определения N +2 значений получено N линейных уравнений. Еще два уравнения дают краевые условия
d
/
a
dt
V
N
3
(b − 0) = V
/
b
dt
d
V
N
3
(a +0)=V
откуда получаем
m
N+1
2m
+2m
+ m2=
1
N+2
3
6
(a1,α) − V
V
N
Δ
6
=
Δ
V
/
−
V
b
3
(a0,α)
N
Δ
3
(a
,α) − V
N+1
N
Δ
− V
3
(aN,α)
N
/
,
b
.
В матричной форме записи система имеет вид
∗
= D,
CM
C =
266
⎛
21 00... ... ... ... ... ...
⎜
/2 χ1+1 1/20... ... ... ... ... ...
χ
1
⎜
⎜
0 χ
⎜
⎜
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
⎜
⎜
... ... ... ... ... 0 χ
⎜
⎝
... ... ... ... ... ... 0 χ
/2 χ2+1 1/20... ... ... ... ...
2
N−1
/2 χ
+1 1/20
N−1
/2 χN+1 1/2
N
... ... ... ... ... ... ... 012
m
1
.
.
.
m
N+2
3
(a1,α) − V
N
3
V
/
N
−
3
N
... d
1
⎞
⎟
⎠
(a
(a
⎛
⎜
∗
=
M
⎝
V
6
d
=
1
Δ
6
=
d
N+2
3
3
Δ
V
(a
,α) − (1 + χi) V
i+2
N
2
=
d
i
Для построения фундаментальных сплайнов μ
представить вектор D =
Δ
V
b
d
,D =
3
N
Δ
,α) − V
N+1
,α)+χiV
i+1
N+2
⎛
⎜
⎝
(a0,α)
Δ
T
как произведение вектора V
⎞
d
1
⎟
.
.
,
⎠
.
d
N+2
/
3
N
N
− V
3
,
a
(aN,α)
,
(ai,α),i=2, ..., N +1.
(t) , ..., μ
1
N+4
(t) удобно
определяющих значений Vi=
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
T
i
d
dt
3
(a0,α),V
V
N
3
(a0,α) ,V
N
3
(a1,α) , ..., V
N
3
(a
,α) ,
N+1
N
dt
d
3
(a
V
N+1
N
на матрицу B, которая имеет вид
B =
⎛
6
−
⎜
0
⎜
⎜
... ... ... ... ... ...
⎜
⎝
... ...
6
−
Δ
Δ
3
2
Δ
... ... ...
6
2
3(χ1+1)
−
2
Δ
2
Δ
3
2
Δ
0 ... ...
3χ
1
2
Δ
3(χN+1)
−
2
Δ
6
2
Δ
3χ
−
0 ...
N
2
Δ
6
2
Δ
⎞
⎟
⎟
⎟
.
⎟
⎠
0
6
Δ
Определяющими значениями фундаментальных сплайнов являются
∗
единичные векторы V
, у которых единице равна координата с номером
i
267
,α)
∗
фундаментального сплайна. Упорядочим фундаментальные сплайны таким образом, чтобы матрица определяющих значений стала единичной.
Т.е. принято такое упорядочение
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
μ
1μ3
... μ
N+4μ2
10... 00
01... 00
... ... ... ... ...
00... 10
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
00... 01
Матрица M значений вторых производных N +4фундаментальных
сплайнов
⎞
⎠
M =
⎛
m
1,1
⎝
... ... ...
m
N+2,1
... m
... m
N+2,N+4
1,N+4
определяется как решение матричного уравнения
CM = B.
Зная матрицу M, легко вычислить значения фундаментальных сплайнов. Они вычисляются по формулам: для t ∈ [a
− t)
6Δ
t − a
Δ
3
i
+δ
+ m
i+1,j−2
i,j−3
+δ
i+1,j−3
μ
(t)=m
j
− m
i,j−2
i+1,j−2
Δ
(a
i+1
2
6
i,ai+1
(t − ai)
6Δ
− m
] ,
3
+(28.8)
2
Δ
i,j−2
6
a
i+1
Δ
Матрицу M можно вычислить аналитически:
− t
.
−1
M = C
B.
Для этого достаточно найти матрицу C
Обозначим через D
определитель матрицы :
n
268
−1
.
⎛
21 00... ... ... ...
⎜
χ
/2 χ1+1 1/20... ... ... ...
1
⎜
⎜
0 χ
⎜
⎜
... ... ... ... ... ... ... ...
⎜
⎝
... ... ... ... 0 χ
... ... ... ... ... 0 χ
/2 χ2+1 1/20 ... ... ...
2
N−2
/2 χ
+1 1/2
N−2
/2 χ
N−1
N−1
+1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Раскладывая этот определитель по алгебраическим дополнениям элементов последнего столбца, получим рекуррентную формулу для вычисления определителя
χ
D
=(χ
n
n−1
Используя определители D
−1
. Получаем
C
(−1)
−1
c
=
ij
−1
c
ij
=
−1
c
1j
−1
c
N+2,j
j−i
2
(−1)
2
=
i−j
(−1)
=
+1)D
i+j
D
i+j
D
1+j
j−2
2
(−1)
N+1−j
2
n−1
i−1DN+2−j
D
j−1DN+2−i
D
N+j
n−1
−
, вычислим элементы обратной матрицы
n
2
D
n−2,D1
=2,D0=1:
(1 <i≤ j ≤ N +2).
N+2
(1 ≤ j ≤ i<N+2)
N+2
D
N+2−j
D
N+2
D
D
(1 <j≤N +2). (28.9)
j−1
(1 ≤ j<N+2).
N+2
Итак, для того чтобы найти систему обобщенных кубических фундаментальных сплайнов с N сопряжениями, надо:
вычислить величины D
по формулам (28.9) получить матрицу C
вычислить матрицу размера (N +2)×(N +4)по формуле M = C
;
n
−1
размера ;
−1
B;
по формулам (28.8) получить фундаментальные сплайны.
3
Задача восстановления регрессии в классе сплайнов V
в определении функции V
3
(t, αM) из V
N
3
(t, α) , минимизирующей эмпи-
N
(t, α) состоит
N
рический риск:
269
l
Ie(α)=
1
l
i=1
3
y
− V
i
N
(xi,α)
2
. (28.10)
Учитывая разложение сплайна по системе фундаментальных сплайнов, перепишем формулу (28.10) в виде:
(α)=
1
l
i=1
I
e
Минимум эмпирического риска I
мулам [12]: вектор параметров α
T
=Ψ
α
e
N+4
где Y- вектор значений y
=
Ψ
N+4
,...,yl;Ψ
1
⎛
ψ
1(x1
⎝
... ... ...
ψ
1(xN+4
l
M
Ψ
p
y
−
i
e
=α
N+4
αjμj(ti)
j=1
(α) вычисляется по известным фор-
M
, ..., α
1
−1
Ψ
- матрица,
N+4
) ... ψ
) ... ψ
N+4(xN+4
M
N+4
T
Y,
N+4
N+4(x1
!
2
. (28.11)
T
равен
⎞
)
⎠
.
)
Таким образом, после того как фундаментальная система сплайнов
построена, вычисление сплайна минимизирующего эмпирический риск,
проводится по классической схеме определения коэффициентов линейной по параметрам α регрессии. Алгоритм упорядоченной минимизации
риска в классе обобщенных кубических сплайнов проводится по разработанной в монографии [12] схеме.
28.4 Обобщeнные сплайны для кусочно-
однородной полуоси.
Пусть действительная полуось [a, ∞) , на которой ведется восстановление зависимости, разбита на часть [a
лим следующий класс функций V
m
лов функция V
−x
pm(x) и удовлетворяет в точках стыка t = ak,k =1, ..., N условиям
e
(x, α) совпадает с некоторым обобщенным полиномом
N
m
N
сопряжения вида:
270
] , [a1,a2] , ..., [aN, ∞) . Опреде-
0,a1
(x, α) : на каждом из подынтерва-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]