Операционное исчисление. Методические указания и задания по выполнению курсовой работы по разделу курса математического анализа

СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО БЮДЖЕТНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА ОБЩЕНАУЧНОЙ ПОДГОТОВКИ

Л.В. ГРИЦЕНКО, Г.С. КОСТЕЦКАЯ

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Методические указания и задания по выполнению курсовой работы

по разделу математического анализа

Ростов-на-Дону

2014

УДК 517.1 (07) ББК 22.161 Е 91

Л.В. Гриценко, Г.С. Костецкая. Операционное исчисление. Методические указания и задания по выполнению курсовой работы по разделу курса математического анализа. – Ростов-на-Дону: СКФ МТУСИ, 2014. – 38 с.

Качественное усвоение курса математики невозможно без регулярной самостоятельной работы студентов. Настоящее пособие предназначено для студентов 1 курса направления подготовки 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», содержит индивидуальные задания для курсовой работы. Приведен образец выполнения курсовой работы и 10 комплектов по 35 индивидуальных заданий. Может быть использовано для проведения практических занятий по математике, самостоятельных работ под руководством преподавателя, для проведения проверочных и контрольных работ.

Печатается в соответствии с решением кафедры общенаучной подготовки СКФ МТУСИ, протокол № 6 от 17 февраля 2014 г.

Рецензент: Радченко Т.Н., кандидат ф.-м. н., доцент кафедры дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

И з д а т е л ь с т в о С К Ф М Т У С И

Сдано в набор 15.03.13. Изд. № 212. Подписано в печать 21.04.14. Зак. № 226. Печ. листов 2,6. Учетно-изд. л.2,1. Печать оперативная. Тир. 50 экз.

Отпечатано в Полиграфическом центре СКФ МТУСИ, Серафимовича, 62.

Содержание

1.Преобразование Лапласа. Справочный материал……………………………....4

2.Образец задания………………………………………………………………......7

3.Образец выполнения задания…………………………………………………....7

4.Варианты заданий……………………………………………………………….20

Литература………………………………………………………………………….38

4

Преобразование Лапласа (справочный материал)

1.1. Понятие оригинала и изображения.

Опр. 1. Оригиналом называется функция действительного переменного t , удовлетворяющая условиям:

1)f (t) 0 при t 0 ;

2)непрерывная или имеет конечное число точек разрыва первого рода

при t 0 ;

3) имеет ограниченный рост, то есть возрастает не быстрее показательной функции: существуют такие постоянные M , s0 0, что

| f (t) | Mes0t

Число s0 называется показателем роста функции f (t) . Для любой ограниченной функции, являющейся оригиналом, можно принять s0 0.

2) Не являются оригиналами 1t , tgt , e t 2 ( 0).

Опр. 2. Изображением оригинала f (t) называется функция комплексного переменного F ( p) , p s i , определяемая равенством

F ( p) e pt f (t)dt

0

Этот интеграл называется интегралом Лапласа. Область существования функции F ( p) совпадает с областью сходимости интеграла Лапласа.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1 (существование). Если функция f (t) является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно в области Re p s s0 , где s0 – показатель роста оригинала.

Тот факт, что f (t) и F ( p) относятся друг к другу как оригинал и изоб-

Приведем еще несколько полезных утверждений, касающихся оригинала и изображения.

Теорема 2 (единственность оригинала). Если в некоторой полуплоско-

сти Re p s0 функция F ( p) является изображением двух оригиналов f1(t) и f2 (t) , то эти оригиналы равны во всех точках, где они непрерывны.

5

Теорема 3. Если F ( p) является изображением некоторого оригинала f (t) , то F ( p) не может быть функцией периодической.

Теорема 4 (аналитичность изображения). Если функция F ( p) является изображением некоторого оригинала f (t) , то в полуплоскости Re p s0 , где s0 – показатель роста f (t) , функция F ( p) аналитическая.

1.2. Основные теоремы операционного исчисления (свойства преобразования Лапласа).

tn f (t) ( 1)n F (n) ( p) .

7. Теорема об интегрировании оригинала

8. Теорема об интегрировании изображения

f(t)

F (s)ds .

t p

7

Решить дифференциальное уравнение и систему дифференциальных уравнений операционным методом.

8)2y y sin 3t , y(0) 2, y (0) 1

x x 2 y 1

9), x(0) 0, y(0) 1

y 3x

10)Записать функцию f (t) с помощью единичной функции аналитическим

выражением и найти изображении или найти изображение периодической

Приведем образец выполнения задания.

1) Найти изображение по оригиналу f (t) 2t3 7sh2t e 6t 8.

Решение. По свойству линейности и таблице изображений имеем

9

Тогда

10

Учтем, что умножение на e6t указывает на необходимость применить теорему смещения ( 6 ):