Операционное исчисление. Методические указания и задания по выполнению курсовой работы по разделу курса математического анализа

Найдем

F1( p).

По таблице изображений

sin 2t

2

, тогда по теореме

p

2

4

дифференцирования изображения (n 2)

2

1

2

2

2

2

2

t

sin 2t ( 1)

2 p

4

2 p

4

2 p

2

4

p

2

2

2

p

p

4

p2 p 4 2 p

4

4

p

2

2

p

2

4

4

4

4

p2 4 p2 4 4 p2

4 4 3 p

2

F ( p)

12 p2 16

p2 4 43

p2

4 3

1

p2 4 3

Найдем F2 ( p) по таблице изображений

F2 ( p) cos3t

p

p2 9

Окончательно F ( p)

12 p2 16

p

12 p3 16 p

9 .

p2

4 2

p2

9

p2 4 2

p2

Ответ: F ( p)

12 p3

16 p

p2

4 2

p2

9 .

5) Найти оригинал F ( p)

7

2 p

.

p3

p2

16

Решение. По теореме линейности и таблице изображений имеем

7

2 p

7

2!

2

p

7

t2

2

sin 4t cos 4t

p2

42

p2 42

p3

p2 16

2! p2 1

2

4

Ответ: F ( p)

7

t

2

1

sin 4t cos 4t .

2

2

6) Найти оригинал по известному изображению

F ( p)

p2 6 p 3

p p2 4 p 5 .

p2 6 p 3

A

Bp C

p p2 4 p 5

p

p2 4 p 5

p2

1 A B

B 1 A

2

5

p1

6 4A C C 6 4 A 6

12

18

5

5

p0

3 5A

A

3

5

3

p2 6 p 3

2

p 9

5

Таким образом

p p2 4 p 5

p

5

p2

4 p 5

2

p 9

2

p 9

2 ( p 2) 7

5

p2 4 p 5

5

( p 2)2 1

5 ( p 2)2 1

2

p

2

7

( )

5

2

1

( p 2)

2

( p 2)

1

Из таблицы изображений и теоремы смещения при 2 получим

p

cost

p 2

e 2t cost

( p 2)2

p2 1

1

1

sin t

1

e 2t sin t

p2

( p 2)2

1

1

На основании теоремы линейности найдем оригинал второго слагаемого

( )

2

e 2t cost 7e 2t sin t

2

e 2t cost 7sin t

5

5

f (t)

3

2

e 2t cost 7sin t .

5

5

Ответ: f (t)

3

2

e 2t cost 7sin t .

5

5

7) Найти оригинал по известному изображению

F ( p)

(3 p 5)e 2 p

p2 12 p 27

Решение.

Наличие множителя e 2 p указывает на применение теоремы

запаздывания: F ( p) e p f (t ) f (t) .

1

1

У нас

F1( p)

3 p 5

, 2.

p2

12 p

27

Найдем сначала f1(t) . Для этого преобразуем F1( p), выделив в знамена-

теле полный квадрат

F ( p)

3 p 5

3 p 5

3( p 6) 18 5

1

p2 12 p 27

( p 6)2 36 27

( p 6)2 9

3( p 6) 13

3

p 6

13

3

( )

( p 6)

2

9

( p 6)

2

3

2

3

( p

6)

2

2

3

p

ch3t

p 6

e6t

ch3t

p

2

2

( p

6)

2

2

3

3

3

sh3t

3

e6t

sh3t

p

2

2

6)

2

2

( p

3

3

Используя теорему линейности, окончательно получим

( )3 e

6t

ch3t

13

e

6t

sh3t

3

Ответ: f (t) 3e

6t

ch3t

13

e

6t

sh3t .

3

8) Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения

операционным методом.

2y y sin 3t ,

y(0) 2,

y (0) 1

Решение. а) Перейдем в обеих частях равенства к изображениям, учиты-

вая теорему о дифференцировании оригинала и таблицу изображений:

y(t) Y ( p) ;

y (t) pY ( p) y(0) pY ( p) 2;

sin 3t

3

p2

9

Получим алгебраическое уравнение для Y ( p) :

2 p2Y ( p) 2 p 1 pY ( p) 2

3

p

2

9

2 p2Y ( p) 4 p 2 pY ( p)

2

3

p2 9

Y ( p) 2 p2 p

3

4 p 2

2

p

9

Y ( p) p 2 p 1

3 (4 p 2) p2 9

p2 9

Y ( p)

4 p3 2 p2

36 p 21

p(2 p

1) p2 9

б) Разложим дробь на простейшие

4 p3 2 p2 36 p 21

A

B

Mp N

p(2 p 1) p2 9

p

2 p 1

p2

9

4 p3 2 p2 36 p 21 A(2 p 1) p2 9

Bp p2 9

Mp N (2 p 1) p

Определим коэффициенты

A,

B , M ,

N , придавая p значения, равные кор-

ням знаменателя

7

p 0

21 9A A

3

1

1

1

1

1

1

1

1

37

p

4

2

36

21 B

9

18 21 B

2

8

4

2

2

4

2 2

8