Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Операционное исчисление. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

919 Кб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________________

Е. А. ЛЕВИНА

ОПЕРАЦИОННОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

Учебно-методическое пособие

НОВОСИБИРСК

2023

УДК 517.445(075.8) Л363

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доцент Ю. М. Вахромеев д-р физ.-мат. наук, профессор В. В. Филатов

Работа подготовлена на кафедре инженерной математики НГТУ

иутверждена Редакционно-издательским советом университета

вкачестве учебно-методического пособия

для студентов всех факультетов и всех форм обучения

Левина Е. А.

Л363 Операционное исчисление: учебно-методическое пособие / Е. А. Левина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2023. – 84 с.

ISBN 978-5-7782-4930-1

Настоящее пособие содержит теоретические основы и примеры типовых задач с подробно разобранными решениями по операционному исчислению раздела высшей математики. В конце каждого раздела предложен набор упражнений для самостоятельной работы студентов. Ко всем предлагаемым упражнениям приводятся ответы. Рекомендовано студентам специальностей 13.03.02 – «Электроэнергетика и электроэнергетика», 15.03.04 – «Автоматизация технологических процессов и производств», изучающих операционное исчисление в качестве лучшего усвоения материала и отработки навыков решения задач. Может быть также использовано преподавателями на практических занятиях.

	УДК 517.445(075.8)
ISBN 978-5-7782-4930-1	© Левина Е. А., 2023
	© Новосибирский государственный
	технический университет, 2023

ВВЕДЕНИЕ

Операционное исчисление, известное также как операционный анализ, является частью математического анализа, которая изучает свойства преобразования Лапласа и его применение к решению различного типазадачанализа, главнымобразомзадачсначальнымиусловиямидля обыкновенных дифференциальных уравнений.

Преобразование Лапласа представляет собой определенный закон соответствия между функциями. Такие соответствия между множествами функций называются операторами. Оператор – математическое понятие, означающее в самом общем смысле соответствие между элементами двух множеств X и Y. Ключевым элементом операционного исчисления является рассмотрение дифференцирования как операто-

ра p dtd , действующего на функции. Идея метода заключается в том,

что из области функции действительных переменных решение переносится в область функции комплексного переменного р и при этом задачи анализа, в частности дифференциальные уравнения, преобразуются в алгебраические задачи, обычно в задачу решения полиномиального уравнения. Результат, полученный при решении полиномиального уравнения, переводится в область действительного переменного с помощью функции и таблиц.

Идея представления процессов исчисления, дифференцирования и интегрирования в виде операторов имеет долгую историю. Первые сведения об операционном (символическом) исчислении встречаются в работах Лейбница (1646–1717), Эйлера (1707–1783), Лагранжа (1736– 1813), Лапласа (1749–1827), Фурье (1768–1830), Коши (1789–1857).

Была создана целая серия более или менее остроумных систем символическихисчислений. Однакотолькоанглийскомуинженеру-электрику Оливеру Хевисайду (1850–1925) удалось создать такую систему, которая, постоянно совершенствуясь, смогла развиться в исчисление, ставшее рабочим инструментом физиков и инженеров самых различных

специальностей. Поэтому создание операционного исчисления обычно связывают с его именем.

О значении операционного исчисления английский математик Э.Т. Уиттнер писал: «…мы должны считать операционное исчисление наряду с открытиями Пуанкаре автоморфных функций и открытиями Риччи тензорного исчисления тремя наиболее важными успехами математики за последнюю четверть XIX века».

Выдающийся советский ученый в области теории колебаний и автоматического управления А.А. Андронов (1901–1952) говорил, что операционноеисчислениеестьазбукасовременнойавтоматикиителемеханики.

Быстроразвивающаясятехникаставит конкретныезадачииожидает на них быстрого ответа. Методы операционного исчисления являются удобными и достаточно мощными средствами для решения многих задач, которые находят многочисленные приложения. Операционное (символическое) исчисление применяется не только для решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, но и для решения уравнений с частными производными, дифференциально-разностных уравнений и линейных интегральных уравнений, к которым приводят задачи по переходным процессам линейных физических систем электротехники, радиотехники, импульсной техники, теории автоматического регулирования, теплопроводности, горной техники, телемеханики, теории следящих систем. В самой математике, кроме решения дифференциальных уравнений и систем, операционное исчисление находит применение в теории специальных функций, при вычислении интегралов, суммированиифункциональныхрядов, атакжевнекоторых проблемах теории чисел.

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО СВОЙСТВА

1.1. ОРИГИНАЛ И ИЗОБРАЖЕНИЕ

Оригиналом называют функцию f (t) действительной переменной

t , удовлетворяющую следующим условиям: 1)   f (t) 0 при t 0 ;

2)  при t 0 функция f (t) на любом конечном участке оси t имеет

не более чем конечное число точек разрыва первого рода, т. е. она интегрируема на любом конечном интервале оси t;

3)  функция f (t) возрастает не быстрее чем некоторая показательнаяфункция, т. е. существуюттакиечислаM > 0, s > 0, чтодлявсех t 0

выполняется неравенство	f (t)	Mest .

Точная нижняя грань	s0 всех точек s, для которых выполняется

неравенство f t Mest , называетсяпоказателемростафункции f (t).

	Совокупность всех оригиналов			f (t) называется пространством
оригиналов.
	Пример 1.1
	Все ограниченные функции –			оригиналы, для них s0 0 и
	f (t)	M.
	f (t)	M.
	Пример 1.2
	Все степенные функции f (t) t			( 0) – оригиналы, так как лю-
бая степенная функция растет медленнее, чем показательная et :
		lim	t	0 .
		lim		0 .
		t et
			5

Пример 1.3

Функции	f (t) tg t,	f (t) t ( 0)	не являются оригиналами, по-
скольку имеют разрывы второго рода.
Пример 1.4
Функция	t2	– не оригинал,	так как при t она растет
	f (t) e

быстрее, чем et .

Пример 1.5

Оригиналом является единичная функция или функция Хеви-

сайда (рис. 1.1):

t 1,	t 0;	(1)
0,	t 0.

Рис. 1.1

Если функция f (t) удовлетворяет условиям 2 и 3 определения, но не удовлетворяет условию 1 (т. е. она не является функцией-ориги-

налом, рис. 1.2), то для функции	f (t),		t 0	(рис. 1.3)
	(t) f (t)	0,	t 0

выполнимы все условия функции-оригинала.

f(t)

η(t)f(t)

O	t	O	t
	Рис. 1.2		Рис. 1.3

В дальнейшем для простоты записи будем, как правило, опускать множитель (t) .

Наличие условия 1 в определении оригинала объясняется тем, что в операционном исчислении часто встречаются задачи, приводящие к отысканию решений дифференциальных уравнений, которые удовлетворяютначальнымусловиям. Поэтомуприрешениитакихзадачсовершеннобезразлично, как ведутсебяискомыефункциидоначальногомомента, который всегда можно принять за момент t = 0, причем f (0) бу-

дем понимать как f (0 0) , т. е.	f (0) lim f (t) .
			t 0 0
Свойства оригиналов
1.  Если f (t) оригинал, то	f t		– оригинал с тем же показателем
1.  Если f (t) оригинал, то	f t		– оригинал с тем же показателем
роста s0 .
2.  Если f1(t), f2 (t), ..., fn (t)	–	оригиналы		с показателями роста
			n
s01, s02 , ..., s0n , то функция	f (t) ∑ ci fi (t) ,			где ci – постоянные

i 1

(i 1, ..., n) , также является оригиналом с показателем роста, равным наибольшему из чисел s01, s02 , ..., s0n .

3.  Если f (t)		– оригинал с показателем роста s0 , то оригиналами
являются также:
а)	f1(t) f ( t) с показателем роста s0 ;
б)	f2 (t) e t	f (t) , R или C,

показатель роста равен s0 Re ,	s0 Re 0,
0,	s0 Re 0;

в)	f3		0,	t ( 0)		с показателем роста s0 ;
в)	f3		(t)		t	с показателем роста s0 ;
			f (t ),		t
г)	f	4	(t) t f (t)	( 0) с показателем роста s .
		4		f (t)		0
4.  Если функция				f (t)	– оригинал с показателем роста s0 , то функ-
			t
ция (t) ∫ f (u)du				– непрерывный оригинал на интервале 0 t
			0
с показателем роста s0 .							ком-
Изображением оригинала f (t) называется функция F( p)							ком-
плексного переменного p s i , определяемая интегралом

				F( p) L f (t) ∫ f (t)e pt dt.			(2)
						0
Этот интеграл называется интегралом Лапласа.
Операцию перехода от оригинала f (t) к изображению F( p)							назы-

вают преобразованием Лапласа от функции f (t) .

Для преобразования Лапласа используют различные обозначения, например f (t) F( p), F( p) f (t), что означает: оригиналу f (t) соот-

ветствует изображение F( p) и изображению F( p) соответствует оригинал f (t) . Используются также обозначения: F( p) L f (t) , f (t) L 1 F( p) .

Область существования функции F( p) определяется областью схо-

димости интеграла Лапласа. Имеет место следующее утверждение. Если f (t) – оригинал, то интеграл Лапласа сходится абсолютно

в области Re p s s0 . Внутри этой области, т. е. на любом замкнутом подмножестве: Re p s a s0 интеграл сходится равномерно и определяет аналитическую функцию F( p) (рис. 1.4).

Rep>S0








O S0	S	t
	Рис. 1.4

Замечания

1.  Утверждение аналогично свойствам степенных рядов, сходящихся в круге и равномерно сходящихся внутри этого круга, где сумма ряда является аналитической функцией.

2.  Свойство аналитичности изображения имеет важное значение в теории и практике применения преобразования Лапласа, так как позволяетиспользоватьвпространствеизображенийметодытеорийаналитических функций, в частности разложения функций в ряды и теорию вычетов.

3.  Совокупность всех изображений F( p) называется простран-

ством изображений.

Пример 1.6

t 0,

НайтиизображениеединичнойфункцииХевисайда

(t)

t 0.

Решение

lim

F( p) ∫ e pt dt

∫e pt dt

lim

e pt

lim (e pb 1)

p b

так как

e pb

e sbe i b

e sb

cos b isin b

e sb

cos2 b sin2 b e sb 0,

b ,

s 0.

(t)

(Re p 0) ,

или

Пример 1.7

Найти изображение функции

f (t) eat

(a C) .

Решение

F( p) ∫ eate pt dt lim

∫e ( p a)t dt lim

e ( p a)t

b p a

p a b

lim

(Re p Re a).

p a

eat

p a

Пример 1.8
Найти изображение функции					f (t) t .
Решение
	pt		b	pt			u t
F( p) ∫ te	pt	dt lim	∫te	pt	dt			pt
F( p) ∫ te		dt lim	∫te		dt		e	pt	dt
0		b	0			dv	e		dt

du dt
1
1			pt
v		e
v	p	e

e pt

e pb 0

e pb

lim

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]