Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Операционное исчисление. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

919 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

10) f(t)


O	4 5		6		t

-1

2.3. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Во многих приложениях используются оригиналы, которые являются периодическими функциями.

Пусть f (t) – оригинал с периодом Т, образованный повторением

функции f0 (t) (рис. 2.6):

		0,	t 0,
f0			t T ,
	(t) f (t), 0
		0,	t T.

f(t)

	f0(t)
O	τ	2τ	3τ t

Рис. 2.6

f(t)

	f0(t)

O	τ t

Для нахождения изображения F( p)				периодической функции		f (t)
следует:			f0 (t) F0 ( p) ;
1)  найти изображение функции			f0 (t) F0 ( p) ;		F0 ( p)
2)  найти изображение F( p)		по формуле F( p)			F0 ( p)
2)  найти изображение F( p)		по формуле F( p)			1 e Tp .
Пример 2.20
Найти изображение функции, заданной графиком на рис. 2.7.
	f(t)
1
O	1	2	3	4	t
O					t
		Рис. 2.7
Решение
Аналитическое выражение функции				f0 (t) :
f0 (t) t[ (t) (t 1)] t (t) (t 1 1) (t 1)
	t (t) (t 1) (t 1) 1 (t 1) .

Изображение функции

(t) : F ( p)

e p

e p .

(1 e p pe p )

e p 1

Тогда при T 1 будем иметь:

F( p)

1 e p

p2 (e p

Другой способ определения F0 ( p) :

по формуле

F0 ( p) ∫ f (t)e pt dt .

Имеем:

f (t) t,

T 1,

тогда

u t

du dt

F0 ( p) ∫te

dv e

dt v

∫e

1 e p 1 e pt 1

1 e p

e p 1 .

Упражнения для самостоятельной работы

Найти изображения периодических функций, заданных графиками:

f(t)

3)f(t)

1
1


O	1	2	3	4	5	6	7	8	t
-1
-1

4)f(t)

	1
	2
	O	1	1	3	1		2	t
		4	2	4
5)	f(t)
	1
	O		1		1		2	t
6)	f(t)		2
6)	f(t)
	1
			1	2	3		4
	O	1		3	5	7	t
	-1	2		2	2	2
	-1
						34

7) f(t)

1
1

O a a a 2a 5a						a	7a		2a	t
	6	3	2	3	6	a		6	2a

8)f(t)

a 2a

5a 6a 7a

-1

9)  Найтиизображение F( p) оригинала f (t) , периодическипродол-

женного на интервал 0, с периодом T 2 , если

0 t 1,

f (t)

1 t 2.

10)  Найти изображение F( p)

оригинала f (t) , являющегося перио-

дической функцией с периодом T 2 , если

0 t ,

f (t)

t 2 .

3. НАХОЖДЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ

Следующей важной задачей операционного исчисления является нахождение функций-оригиналов по их изображениям. В общем случае эта задача является довольно сложной.

Для того чтобы функция F( p) была изображением функции f (t) , достаточно выполнения следующих условий:

1)	F( p)		– аналитическая функция в полуплоскости Re p s s0 ;
2)	p	lim	F ( p) 0 , если Re p s0 ;
	p

3)  интеграл ∫ F(s i ) dp сходится.

При выполнении указанных условий будут справедливы формулы:

				f (t)e pt dt ,
			F( p) ∫	f (t)e pt dt ,		(20)
			0
	f (t) L 1 F( p)			1	s i
				1	∫ e pt F( p)dp ,	(21)
				2 i	∫ e pt F( p)dp ,	(21)
				2 i	s i
					s i
где p s i ,	i	1	ипутьинтегрирования– любаяпрямая Re p s,

параллельная мнимой оси и лежащая правее прямой Re p s0 .

Формулы (20) и (21) называются соответственно прямым и обрат-

нымпреобразованиямиЛапласа. Формула(21) называетсяформулой обращения.

Операция нахождения оригинала по заданному изображению назы-

вается обратным преобразованием Лапласа и определяется по фор-

муле обращения.

Непосредственное применение формулы обращения затруднительно, так как требует знания методов нахождения интегралов от известных аналитических функций комплексной переменной p s i ,

где . Поэтомудлянахожденияоригиналаприменяютсятеоремы разложения и правила преобразования изображения к виду, по которому можно определить вид оригинала с помощью табл. П2 (см. приложение) и свойств преобразования Лапласа.

3.1.НАХОЖДЕНИЕ ОРИГИНАЛА

СПОМОЩЬЮ ПРИМЕНЕНИЯ ТАБЛИЦЫ

ИСВОЙСТВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Приведем ряд известных приемов нахождения оригинала.

1.  Если изображение отличается от табличного на постоянный множитель, тоегоследуетумножитьиодновременноподелитьнаэтотмножитель, а затем воспользоваться свойством линейности.

2.  Если знаменатель дроби содержит квадратный трехчлен, то в нем выделяется полный квадрат ap2 bp c a( p )2 2 . При этом числитель дроби представляется в виде многочлена от ( p ) .

3.  Если изображение представляет собой правильную рациональную дробь, то следует разложить ее на простейшие дроби и для каждой из полученных дробей найти оригинал.

Пример 3.1

Найти оригинал функции F( p)

( p 2)3

Решение

По теореме дифференцирования изображения tn

имеем

pn 1

t2 .

Тогда по теореме смещения:																	1									1		t2e 2t .
Тогда по теореме смещения:															p 2 3										2			t2e 2t .
															p 2 3										2
Пример 3.2
Найти оригинал функции														1							.
Найти оригинал функции													p( p2 9)								.
													p( p2 9)
Решение
Данное изображение представим в виде
																								3
						1						1 1		3						1		p2					9					1 F( p)		.

			p( p2 9)									p 3	p2 9							3					p							3 p
			p( p2 9)									p 3	p2 9							3					p							3 p
Так как			3				sin 3t , то по теореме интегрирования оригинала:
Так как							sin 3t , то по теореме интегрирования оригинала:
		p2 9
					3						t
	1		p	2		9				1							1										t			1
				2
											∫sin 3 d								cos3												(1 cos3t) .
3						p					∫sin 3 d						9		cos3											9	(1 cos3t) .
3						p		3			0						9										0			9
											0
Таким образом,											1			1		(1 cos3t) .
Таким образом,									p( p2 9)					9		(1 cos3t) .
									p( p2 9)					9
Пример 3.3
Найти оригинал функции														1									.
Найти оригинал функции													p2 ( p2 9)										.
Решение
																															1
Представим изображение в виде																								1								p( p2 9)			F( p)	.
Представим изображение в виде																		p2 ( p2											9)				p		p	.
																		p2 ( p2											9)				p		p

Используя результат предыдущего примера	1	1	(1 cos3t) ,
	p( p2 9)	9

а также теорему об интегрировании оригинала, будем иметь:

					1										t						t
1			p( p2 9)							F	( p)				t						t	1
															∫ f ( )d ∫								(1	cos3 )d
	p2 ( p2				p						p				∫ f ( )d ∫							9	(1	cos3 )d
	p2 ( p2	9)			p						p				0					0		9
					1			sin 3					t				t		sin 3t
					1			sin 3					t				t		sin 3t
													0								.
					9				3								9		27		.
					9				3								9		27
Таким образом,						1						t		sin 3t				.
Таким образом,				p2 ( p2			9)											.
				p2 ( p2			9)				9				27
Пример 3.4
Найти оригинал функции												p				.
Найти оригинал функции									( p2 1)2							.

Решение Представим изображение в виде произведения двух дробей:

( p2 1)2

p2 1

Так как

cost,

sin t ,

то по теореме об умножении

p2 1

изображений

( p2 1)2

		t			1		t	sin t sin (2 t) d
cost sin t ∫sin cos(t )d							∫
		0			2		0

	1		1			t			t

		sin t		cos(2 t)		0				sin t.
	2		2						2

sin t .

( p2 1)2

Пример 3.5

Найти оригинал функции

e p

Решение

Имеем

t . Тогда по теореме запаздывания

e p (t 1) (t 1) .

Пример 3.6

Найти оригинал функции F( p)

p2 4 p 5

Решение

Преобразуем выражение к виду

p 2 2

p 2

p2 4 p 5

( p

2)2 1

( p 2)2

( p

2)2

1 ( p 2)2 1

Так как

cost,

sin t , то по теореме смещения

p2 1

p 2

e 2t cost 2e 2t sin t .

( p 2)2

( p

2)2 1

Таким образом,

e 2t

cost 2e 2t sin t .

p2 4 p

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]