Операционное исчисление. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Найти оригинал для изображения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

919 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Пример 3.7

Найти оригинал функции

( p 1)( p 2)

Решение

Перепишем выражение в виде

( p 1)( p 2)

p 1

p 2

Имеем:

et f (t),

e2t

(t),

(t)

2e2t .

p 1

По формуле Дюамеля

pF1( p)F2 ( p) f1(t) f2 (0) ∫ f1( ) f2 (t )d

будем иметь:

ete0 ∫e e2(t )d

( p 1)( p

d et 2e2t

2e2t et .

et 2∫e2t

2e2t et .

( p 1)( p 2)

На практике при нахождении оригинала по его изображению часто пользуются теоремой о разложении правильных рациональных дробей

F( p) Pm ( p) в сумму простейших рациональных дробей, как это де-

Qn ( p)

лалиприинтегрированиирациональныхфункций. Изображениевтаком случае можно разложить в сумму простейших рациональных дробей следующих типов:

;

II.

k 2;

( p )k

III.

Bp C

, b2 4c 0;

IV.

Bp C

p2 bp c

( p2

bp c)k

Для нахождения оригиналов, соответствующих дробям I – III типа, используют следующие формулы:

Ae t

(для дроби типа I);

(22)

tk 1e t

(для дроби типа II);

(23)

( p )k

(k 1)!

Bp C

p2 bp c

Bp C

B( p ) C B

( p )2 2

(C B )

( p )2 2

Bp C

Be t cos t

C B

e t sin t

(для дроби типа III). (24)

p2 bp c

Оригинал, соответствующий дроби типа IV, весьма громоздкий, поэтомумыегонеприводим. Внекоторыхслучаяхонможетбытьполучен более простым путем, с использованием свойств оригиналов и их изображений.

Пример 3.8
Найти оригинал по изображению F( p)	3p 2
		.
	p( p 1)( p 3)

Решение

Функция F( p) разложима в сумму простейших дробей вида

F( p)	3p 2	A	B	C	.
	p( p 1)( p 3)	p	p 1	p 3

Дроби в правой части последнего равенства приводим к общему знаменателю:

	A( p 1)( p 3) Bp( p 3) Cp( p 1)																							3p 2				.
					p( p 1)( p 3)																	p( p 1)( p					3)	.
					p( p 1)( p 3)																	p( p 1)( p					3)
Приравниваем числители:
		A( p 1)( p 3) Bp( p 3) Cp( p 1) 3p 2 .
При p 0			имеем уравнение 3A 2																	A			2	, при p 1 – уравне-
При p 0			имеем уравнение 3A 2																	A				, при p 1 – уравне-
				1																	3								11
ние 4B 1			B	1	, при		p 3				– уравнение 12C 11 C																		11	.
ние 4B 1			B		, при		p 3				– уравнение 12C 11 C																		12	.
			4					2	1		1			1			11				1								12
Следовательно, F( p)								2	1		1			1			11				1			.

											4 p 1						12			p 3
								3 p			4 p 1						12			p 3
По формуле (22) находим оригинал:
						f	(t)			2		1	et			11		e 3t .
						f	(t)						et					e 3t .
							3				4				12
Пример 3.9
															F( p)								p 3
Найти оригинал по изображению																										.
Найти оригинал по изображению																				p4 5 p2 4						.
Решение
Данное изображение представимо в виде
			p 3							p 3									Ap B						Cp D		.
		p4 5 p2					( p2 4)( p2																		p2 1		.
		p4 5 p2			4		( p2 4)( p2							1)					p2 4						p2 1

Приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в правой части равенства и приравняв числители, получим тождество

(Ap B)( p2 1) (Cp D)( p2 4) p 3 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p в обеих частях тождества, получаем систему уравнений

A C 0,

B D 0,

B 1,

откуда

A 4C 1,

D 1.

B 4D 3,

Таким образом,

F( p)

3 p 1

1 2

3 p2 4

2 p2 4

3 p2 1

p2 4

p2 1

Используя формулы из табл. П2 преобразования Лапласа (см. приложение), найдем оригинал:

f (t) 13 cos 2t 12 sin 2t 13 cost sin t .

Упражнения для самостоятельного решения

Найти оригинал по заданному изображению:

1)  F( p)	8	;
1)  F( p)		;
	p2 16
2)  F( p)	2		3	;
2)  F( p)	p2 9		p5	;
	p2 9		p5

3)  F( p)

4)  F( p)

5)  F( p)

6)  F( p)

7)  F( p)

8)  F( p)

9)  F( p)

10)  F( p)

11)  F( p)

12)  F( p)

13)  F( p)

14)  F( p)

15)  F( p)

16)  F( p)

;

p2 36

p2 4

( p 1)e 4 p

;

( p 1)2 4

4 p

;

p2 4 p 8

3p 5

;

p2 4 p 13

2 p 3

;

p3 p2

12 p

3p2 3p 13

;

p( p2 4 p

13)

;

p3 8

;

( p 2)2 ( p

;

p2 ( p 1)2

;

p5 5 p3

4 p

6 p2e 2 p

;

( p 2)( p

1)( p2

;

( p2 1)( p2

p ; p4 1

p3e 2 p ;

( p2 9)2

17)  F( p)

18)  F( p)

19)  F( p)

20)  F( p)

	2 p 1
				;
( p2 4 p 13)2				;
	15 p2 3p 34						;
( p2 4 p 8)( p2					6 p 5)		;
( p2 4 p 8)( p2					6 p 5)
	(5 p 4)e 3 p					;
						;
( p 1)2 ( p2 2 p 5)
	1		.
p3	( p2		.
p3	( p2	1)

3.2. ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ

Перваятеоремаразложения. Еслифункция F( p) аналитичнавнекоторойокрестностибесконечноудаленнойточкииееразложениевряд

по степеням 1p имеет вид

				an
F( p) ∑				an		,
F( p) ∑						,
	n 0 p				n 1
	n 0 p
то функция
		t	n
f (t) ∑ an		t			(t	0)	(25)
f (t) ∑ an		n!			(t	0)	(25)
n 0		n!

является оригиналом, соответствующим изображению F( p) .

Задача нахождения оригинала при выполнении условий теоремы сводится к нахождению коэффициентов разложения функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 3.10

Решение

Используем разложение

ez ∑

Для этого изображения получаем

n 0 n!

F( p)

e p2

∑

p2nn!

p n 0

n 0 n! p2n 1

Тогда в соответствии с теоремой разложения по формуле (25)

t2n

f (t) ∑

(2n)!

n 0 n!

Вторая теорема разложения. Если изображение

F( p)

A( p)

яв-

B( p)

ляется дробно-рациональной функцией (дробь правильная и несократимая); A( p), B( p) – многочленыотр; p1, p2 , ..., pn – полюсыэтойфункции (простые или кратные), тогда оригинал дроби имеет вид

pkt

f (t) ∑ res

F( pk )

(26)

k 1

Если корни

p1,

p2 , ..., pn знаменателя

B( p)

имеют кратности

m1, m2 , ..., mn соответственно, то

res F( p )e pkt

lim

d mk 1

( p p )mk e pt

A( p)

. (27)

(mk 1)! p pk dpmk 1

B( p)

Если корни p1, p2 , ..., pn знаменателя B( p)					простые, то
	A( p)	n	A( p )		p	t
F( p)		f (t) ∑	k		p	t	.	(28)
					e k
	B( p)		B ( p	)	e k
		k 1	k

Пример 3.11

Найти оригинал для изображения F( p)	1		.
	p2 ( p2
		1)

Решение

Знаменатель B( p) p2 ( p2 1) имеет один действительный корень

p1 0 кратности m1			2 и два простых комплексных корня			p2,3 i ,
так как	1		1	,	p1 0 – полюс второго порядка;
	p2 ( p2		p2 ( p i)( p i)
p2,3 i		1)
	– полюсы первого порядка.
Находим:

res F( p)e

Тогда

e pt

te pt

( p2 1)

2 pe pt

p 0

lim

1! p 0

p 0

( p

res F( p)e pt

p i

lim

e pt

eit

ieit

;

1 2i

p i p

2 ( p i)

res F( p)e pt

p i lim

e pt

e it

ie it

1( 2i)

p i p2 ( p i)

f (t) t	ieit	ie it	t	i2 (eit e it )	t sin t .
	2	2		2i

t 0 t; 1

Пример 3.12
Найти оригинал для изображения F( p)	p 1
		.
	p( p 1)( p 2)

Решение
Корнимногочлена B( p) p( p 1)( p 2)		– простыеи p1 0,	p2 1,
p3 2 .
Находим:
A( p) p 1,	A(0) 1, A(1) 2,	A( 2) 1;

B( p) p( p 1)( p 2) p3 p2 2 p;

B ( p) 3p2 2 p 2, B (0) 2, B (1) 3, B ( 2) 6;

A(0)

res F( p)e

p 0

;

B (0)

res F( p)e

p 1

A(1)

;

B (1)

res F( p)e

p 2

A( 2)

B ( 2)

Тогда f (t) 12 23 et 16 e 2t .

Упражнения для самостоятельного решения

Найти оригинал по заданному изображению, используя теоремы разложения:

1)  F( p) 1p cos 1p ;

2)  F( p) 1p sin 1p ;

3)  F( p) 1 cos 1 ; p2 p

15)  F( p)

14)  F( p)

13)  F( p)

12)  F( p)

11)  F( p)

10)  F( p)

4)  F( p)

5)  F( p)

6)  F( p)

7)  F( p)

8)  F( p)

9)  F( p)

p 1

;

p( p 1)( p 2)

p2 p 1

;

( p 1)( p 1)2

;

( p 1)( p 2)( p2

;

p2 4 p 5

5 p

;

( p 1)( p2

2 p

;

( p 1)( p 2)( p2

p 3

;

p2 2 p 10

;

p2 ( p2

;

( p 1)2 ( p2 1)

4 p p2

;

p3 p2

;

( p2 1)( p2

p4 6 p3

11p2

6 p

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]