Операционное исчисление. Учебно-методическое пособие

Тогда, согласно правилу интегрирования оригинала, имеем

Пример 2.14

Найти свертку оригиналов cos3t и sin t , а также изображение свертки.

Решение Согласно определению свертки имеем

Этот же результат можно получить с помощью теоремы Бореля.

21

22

14)   f (t) 12 (t 2)2 e (t 2) (t 2) ;

15)   f (t) e2t (t 1) (t 4)sin 3(t 4) ; 16)   f (t) e t sint t ;

Найти свертку оригиналов и соответствующее ей изображение:

2.2. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ГРАФИКОМ

При решении практических задач оригинал часто может быть задан графиком, например, входной сигнал, действующий на систему автоматического регулирования. Наиболее распространенными типовыми входными сигналами являются ступенчатый, импульсный, линейный, экспоненциальный, гармонический. Сигнал, имеющийсложнуюформу, можно разложить на сумму типовых воздействий. В общем случае это

23

представляет собой сложную задачу. Однако такого рода функции имеют широкое распространение во многих областях науки и техники, особенновтеориирегулирования, теорииавтоматики, радиоиэлектротехники.

При отыскании изображения в этом случае применяется теорема запаздывания, которая является весьма эффективным средством для нахождения изображений функций, имеющих различные аналитическиевыражениянаразныхучастках заданного промежутка, вчастности для разрывных функций.

Для этого рекомендуется сначала записать аналитическое выражение оригинала с помощью единичной ступенчатой функции Хевисайда [см. формулу (1)], привести полученное выражение к виду, удобному для применения таблицы и свойств преобразования Лапласа.

где – точка приложения, называемая обобщенной единичной функцией. График этой функции аналогичен графику единичной функции (t) , но смещен вдоль оси Ot вправо на величину (рис. 2.1).

η(t-τ)

24

Аналитическое выражение для функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями, удобно записывать следующим образом:

i 1

где i – точки, при переходе через которые функция меняет свое аналитическое выражение.

Пример 2.16

Решение

Данная функция описывает единичный импульс (рис. 2.2), который можно рассматривать как разность оригиналов единичной функции (t) [формула (1)] и обобщенной единичной функции (t )

[формула (18)], где 3 .

f(t)

Рис. 2.2

Поэтому

f (t) (t) (t 3) 1p 1p e 3 p F( p) .

25

Пример 2.17

Найти изображение функции, заданной графиком, показанным на рис. 2.3.

f(t)

1

Рис. 2.3

Решение Запишем аналитическое выражение оригинала:

f (t) (1 t) (t 1) (t 1) (t 1) .

Пример 2.18

Найти изображение функции, заданной графиком, показанным на рис. 2.4.

26

Решение Аналитическое выражение оригинала:

f (t) (1 t) (t) (t 1) 1 (t) t (t) (t 1) (t 1) .

Тогда по свойству линейности и теореме запаздывания имеем:

Пример 2.19

Найти изображение функции, заданной графиком на рис. 2.5.

Рис. 2.5

Решение

По формуле (19) запишем аналитическое выражение оригинала: f1(t) t 1, f2 (t) 3 t . Тогда

f(t) (t 1) (t 1) (t 2) (3 t) (t 2) (t 3)

(t 1) (t 1) ( t 1 3 t) (t 2) (t 3) (t 3)

(t 1) (t 1) 2(t 2) (t 2) (t 3) (t 3).

По свойству линейности и теореме запаздывания:

27

Упражнения для самостоятельного решения

Найти изображения функций, заданных графиками:

1) f(t)

3) f(t)

28

2 1

9) f(t)

4

2

30