Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Операционное исчисление. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

919 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

1 lim be pb p b

1	1	lim
p2
	p b

t 1 . p2

b	1	1	.
(e pb )	p2
		p2

1.2. СВОЙСТВА ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ

Свойства преобразования Лапласа обладают симметрией: каждому свойству, сформулированному для оригинала, соответствует аналогичное свойство для изображения.

1  (свойство линейности). Если Fk ( p) fk (t),		k 1, 2, ..., n , то
n	n
∑ ck fk (t)	∑ ck Fk ( p) ,	(3)
k 1	k 1

где ck – любые действительные или комплексные числа, т. е.:

1)  при умножении оригинала на постоянную величину его изображение умножается на ту же величину;

2)  изображение суммы функций равно сумме изображений этих функций.

2  (теорема смещения). Если f (t) F( p) , то для любого комплексного числа имеем

e t f (t) F( p ),	Re p s	Re ,	(4)
	0

т. е. умножение оригинала на функцию e t влечет за собой смещение независимой переменной р в его изображении на величину .

3  (теорема подобия). Если f (t) F( p) и 0 , то

f ( t)	1		p	,	(5)
		F

т. е. умножениеаргументаоригиналаналюбоедействительноечисло приводит к делению изображения на это число.

4  (теорема о дифференцировании изображения). Если f (t) F( p) ,

то
( 1)n	d nF( p)	tn f (t) ,	(6)
	dpn

т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на t .

5  (теорема о дифференцировании оригинала). Если

f (t) F( p) ,

то

f (t) pF( p) f (0),

f (t) p2F( p) pf (0) f (0),

(7)

..................................................

(n)

(t) p

F( p) p

n 1

f (0) p

n 2

f (0)

... f

(n 1)

(0).

Если f (0) f (0) ... f (n 1) (0) 0 , то	f (n) (t) pnF( p) .
В этом случае дифференцированию оригинала соответствует опера-
ция умножения его изображения на переменную р.			f (t) F( p) .
6  (теорема запаздывания). Рассмотрим оригинал
f (t ),	t ,	где	0 .
Определим функцию g(t)	t ,
0,
Графики функций f (t) (рис. 1.5) и g(t) (рис. 1.6) имеют одинако-
вый вид, но график функции g(t) сдвинут на единиц вправо.
f(t)			g(t)








O	t	O τ	t
Рис. 1.5			Рис. 1.6

Следовательно, функции f (t) и g(t) описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией g(t) , начинается с опозда-

нием на время .

Запаздывающую функцию g(t) можно записать с помощью функции Хевисайда:

g(t) (t ) f (t ) .

Теорема. Если f (t) F( p) , то для 0

f (t ) e p F( p) ,

(8)

т. е. запаздывание оригинала на время приводит к умножению изоб-

ражения оригинала без запаздывания на e p .

Свойствозапаздыванияудобноприменятьприотысканииизображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; и функций, описывающих импульсные процессы.

Сверткой двух функций f1(t) и f2 (t) , обозначаемой называется функция, определяемая равенством


f1(t) f2 (t) ∫	f1( ) f2 (t )d .

f1(t) f2 (t) ,

(9)

Если f1(t), f2 (t) – оригиналы, т. е. f1( ) 0		при t , тоих свертка
представима в следующем виде:
t	t
f1(t) f2 (t) ∫ f1( ) f2 (t )d ∫ f1(t ) f2 ( )d .			(10)
0	0
Свертка двух оригиналов является оригиналом. Для нее справед-
ливы следующие свойства:
1)   f1 f2 f2 f1 (коммутативность);
2)  ( f1 f2 ) f3 f1 ( f2 f3 )	(ассоциативность);
3)  (c1 f1 c2 f2 ) f3 c1( f1 f3 ) c2 ( f2 f3)		(линейность).

7  (теорема Бореля, или теорема свертывания). Если	f1(t) F1( p) ,
f2 (t) F2 ( p) , то
f1(t) f2 (t) F1( p)F2 ( p) .	(11)

Формула(11) называетсяформулойумноженияизображений. Она часто применяется для восстановления оригинала по его изображению.

8  (теорема об интегрировании оригинала). Если f (t) F( p) , то

t		F( p)
∫	f ( )d		,	(12)
		p
0

т. е. интегрирование интеграла в пределах от 0 до t соответствует делению изображения на переменную р.

9  (теорема об интегрировании изображения). Если								f (t) F( p)

и интеграл ∫ F(z)dz сходится, то
p
	f (t)
	f (t)			∫ F(z)dz.				(13)
				∫ F(z)dz.				(13)
		t		p
				p
Деление оригинала на t		соответствует интегрированию изображе-
ния в пределах от p до .
10  (теорема об изображении периодической функции). Пусть
f (t) – периодическая функция периода T и							f (t) F( p) .
Если F0 ( p) – изображение				функции			f (t)( (t) (t T )) , т. е.
T
F0 ( p) ∫ f (t)e pt dt , то
0
F( p)			F0 ( p)			Re p 0 .
					,			(14)
			1 e pT		,			(14)

С целью проверки правильности вычислений в операционном исчислении часто используют предельные соотношения.

11  (теоремаопредельныхсоотношениях). Если f (t) ,
11  (теоремаопредельныхсоотношениях). Если f (t) ,		f (t) – ори-
гиналы и f (t) F( p) , то
lim pF( p) lim f (t) ,		(15)
p 0	t
lim pF( p)	lim f (t) f (0) .	(16)
Re p	t 0

Соотношения (15) и (16) называются предельными соотношени-

ями связи между изображением и оригиналом.

12.  При решении ряда практических задач используется формула

Дюамеля

t
pF1( p)F2 ( p) f1(t) f2 (0) ∫ f1( ) f2 (t )d ,	(17)
0

где f1(t) – непрерывная функция; f2 (t) имеет непрерывную производ-

ную; F1( p) f1(t), F2 ( p) f2 (t) .

Перечисленные выше свойства представлены в табл. П1 (см. приложение).

2. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПО ОРИГИНАЛУ

2.1. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ СВОЙСТВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

И ТАБЛИЦЫ ОСНОВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА

Для нахождения изображения требуется применить свойства преобразования Лапласа. Полученные решения примеров позволят сформировать таблицу преобразования Лапласа, которую можно использовать далее применительно к функции или ее составляющим при решении примеров и задач. Фрагмент более полных таблиц преобразования Лапласа приводится в табл. П2 (см. приложение).

Пример 2.1
Найти изображение функции	f (t) 3 2e t .
Решение
Перепишем функцию в виде	f (t) 3 2e t 3 1 2 e t .

Найдем изображения, используя примеры из раздела 1.1:

1	1	,	e t	1		.
1	p	,	e t	p	1	.
	p			p	1
Тогда по свойству линейности будем иметь						F p	3	2	.
Тогда по свойству линейности будем иметь						F p	p	p 1	.
							p	p 1

Пример 2.2

Найти изображение функции

f (t) cost .

Решение

По формуле Эйлера находим

f (t) cost

eit e it

. Тогда по свой-

ству линейности

F( p)

;

cost

p i

Пример 2.3

Найти изображение функции

f (t) sin t .

Решение

По формуле Эйлера находим

f (t) sin t

eit e it

. Тогда по свой-

ству линейности

F( p)

;

sin t

p2 1

Пример 2.4

Найти изображение функции

f (t) cos t .

Решение

По теореме подобия

cos t

Пример 2.5

Найти изображение функции

f (t) sin t .

Решение

По теореме подобия

sin t

Пример 2.6

Найти изображение функций

(t) e t cos t,

(t) e t sin t .

Решение

Таккак cos t

sin t

, топотеоремесмещения

p2 2

будем иметь:

e t cos t

e t sin t

( p

)2 2

( p

Пример 2.7

Найти изображение функции

f (t) tn .

Решение

Так как 1 1p , по правилу дифференцирования изображения на-

ходим:

2 d 2

, t

( 1)

dp2

,..., tn

1 !

n 1

Пример 2.8
Найти изображение оригинала										f (t) tne t .
Решение
Из теоремы смещения следует, что														tne t										n!						.
Из теоремы смещения следует, что														tne t						( p			)n 1							.
																				( p			)n 1
Пример 2.9
Найти изображение оригиналов f1(t) t sin t,																										f2 (t) t cos t .
Решение
Зная изображения		cos t							p				,		sin t															,		из теоремы
Зная изображения		cos t					p2		2				,		sin t							p2			2					,		из теоремы
о дифференцировании изображения получаем:
t sin t					d													2 p
					d													2 p									;
								2				2						2					2		2		;
					dp		p	2				2				( p		2					2	)	2
					dp		p									( p								)
t cos t	d			p						p	2				2			2 p			2						p		2			2
	d			p						p								2 p									p								.
			2			2								2			2		2									2			2			2	.
		p	2			2					( p			2			2	)	2						( p			2			2		)	2
	dp	p									( p							)							( p								)

Пример 2.10

Найти изображение функции f (t) cos(t 5) (t 5) cos(t 5) .

Решение
Имеем:	cost		p	. Тогда по теореме запаздывания при 5

	e 5 p p		p2 1
cos(t 5)		.
	p2 1

Пример 2.11

Найти изображение функции

sin t

Решение

Зная, что

sin t

, по свойству интегрирования изображения

получим

p2 1

sin t

∫

arctg z

arctg p arcctg p .

z2 1

Пример 2.12

Найти изображение интеграла ∫ f (t)d от функции f (t) cost .

Решение

Имеем:

cost

, по

правилу

интегрирования оригинала

p2 1

∫cos d

p( p2 1)

p2 1

Пример 2.13

	t
Найти изображение оригинала ∫(e 5z ch 2z e3z sin 4z)dz .
0
Решение
Найдем изображение оригинала		f (t) e 5t ch 2t e3t sin 4t . Из свой-
ства линейности и теорем подобия и смещения получаем
e 5t ch 2t e3t sin 4t		p 5		4		.
	( p	5)2		( p 3)2
			4		16

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]