Операционное исчисление. Учебно-методическое пособие

10.

y(t) et

t3,

11.

x(t) 1

1

e t

1

et

2

2

e 1 1

1

e (t 1)

1

et 1

(t 1).

2

2

12.

x(t) sin 3t

t 1

1

sin

3(t 1)

(t 1)

27

9

2

(t 2)

2

sin 3(t 2)

t 2

27

9

t 3

1

sin

3(t

3) (t 3).

27

9

t

cost,

6t

(cost sin t),

2t

,

1.

x(t) e

2.

x(t) 2e

3.

x(t) e

y(t) 4e 6t sin t.

y(t) et sin t.

y(t) 3e2t .

13

9

t

1

t

3

5t

x(t)

2t

e

e

e

,

4.

5

4

2

20

12

y(t) 3t

.

5

1

t

1

2t

1

2t

x(t)

e

e

e

,

3

6

2

x(t) t cost,

1

t

1

1

2t

2t

5.

y(t)

e

e

e

,

6.

3

6

2

y(t) t sin t.

z(t)

1

e

2t

1

e

t

.

3

3

x(t) 6et e2t 4e3t ,

x(t) 2et ,

t

3t

1

t

t

7.

y(t)

3e

2e

,

8.

y(t)

e

2te

,

2

z(t) 6et e2t 6e3t .

5

z(t)

et

2tet .

2

x(t)

1

e

t

2

cos 2t

1

sin 2t,

1

6e

2t

5e

3t

,

3

3

3

9.

x(t)

10.

2 3e2t 5e3t .

2

2

1

y(t)

t

y(t)

e

cos

2t

sin 2t.

3

3

3

Таблица П1

Основные теоремы операционного исчисления

№

Оригинал f (t)

Изображение F( p)

п/п

1

Свойство линейности

n

n

ck const

∑ ck Fk ( p)

∑ ck fk (t),

k 1

k 1

2

Теорема смещения

F( p )

e t f (t)

3

Теорема подобия

1

p

f ( t)

( 0)

F

4

Дифференцирование изображения

( 1)n d n F( p)

tn f (t)

dpn

5

Дифференцирование оригинала

pF( p) f (0)

f (t)

f (t)

p2 F( p) pf (0) f (0)

f (n) (t)

pn F( p) pn 1 f (0)

pn 2 f (0) ... f (n 1) (0)

6

Теорема запаздывания

e p F( p)

f (t )

( 0)

7

Теорема умножения (Бореля)

t

F1( p) F2 ( p)

f1(t) f2 (t) ∫ f1( ) f2 (t )d

0

Окончание табл. П1

№

Оригинал f (t)

Изображение F( p)

п/п

8

Интегрирование оригинала

F( p)

t

∫ f ( )d , если

f (t)

– оригинал

p

0

9

Интегрирование изображения

f (t)

∫

F (z)dz , если

∫ F (z)dz сходится

p

p

t

10

Формула Дюамеля

pF1( p)F2 ( p)

f

(t) f

(0)

t

f ( ) f (t )d

2

∫

1

1

2

0

11

Изображение периодической

1

T

e pt f (t)dt

функции

f (t) , если

∫

1 e pT

f (t T ) f (t), T 0

0

Таблица П2

Таблица основных преобразований Лапласа

№

f (t)

F( p)

п/п

1

1(t)

1

p

2

C (const)

C

p

3

t

1

p2

Продолжение табл. П2

№

f (t)

F( p)

п/п

4

tn

n!

pn 1

5

e t

1

p

6

tne t

n!

( p )n 1

7

sin t

p2 2

8

cos t

p

p2 2

9

t sin t

2 p

( p2 2 )2

10

t cos t

p2 2

( p2 2 )2

11

e t

sin t

( p )2 2

12

e t cos t

p

( p )2 2

13

1

t

1

e a

1 ap

a

14

1

(eat 1)

1

a

p( p a)