Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Операционное исчисление. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

919 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

4.1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами

	a y(n) a		y(n 1) ... a			n	y f (t)		(29)
	0	1				n
и начальные условия:
y(0)	y ,	y (0)	y	,...,	y(n 1) (0)			y(n 1) .	(30)
	0			0				0

Определение. Совокупность, состоящая из дифференциального уравнения (29) и начальных условий (30), называется задачей Коши для дифференциального уравнения (29).

Будем считать, что функция f (t) и решение y(t) дифференциаль-

ного уравнения вместе с производными до n -го порядка включительно являются оригиналами и y(t) Y ( p), f (t) F( p) .

Тогда согласно правилу дифференцирования оригинала:

y pY ( p) y0 ,
y p2Y ( p) py	y
0	0
....................................
y(n) pnY ( p) pn 1y			pn 2 y ...	y(n 1).
		0	0	0
		51

Подставим изображения производных в уравнение (29): a0 pnY ( p) pn 1y0 pn 2 y0 ... y0(n 1)

a1 pn 1Y ( p) pn 2 y0 pn 3 y0 ... y0(n 2) ...

an 1 pY ( p) y0 anY ( p) F( p).

Тогда дифференциальному уравнению с начальными условиями будет соответствовать операторное уравнение

a0 pn a1 pn 1 ... an Y ( p) F ( p) n 1( p) ,

где

n 1( p) a0 pn 1y0 pn 2 y0 ... y0(n 1)

a1 pn 2 y0 pn 3 y0 ... y0(n 2) ...

an 2 py0 y0 an 1y0

–многочлен степени не выше n 1 относительно р.

Если обозначить	n	( p) a	pn a pn 1	... a	n	, то операторное
уравнение примет вид	n	0	1		n
уравнение примет вид

n ( p)Y ( p) F( p) n 1( p) .

Изэтогоуравненияможноопределитьизображениерешениядифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

Y ( p) F( p) n 1( p) .n ( p) n ( p)

Решением исходного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях будет оригинал y(t) , найденный по данному изоб-

ражению.

Пример 4.1
Найти решение дифференциального уравнения			y 6 y 9 y 2 ,
удовлетворяющее начальным условиям y(0) 1,		y (0) 2 .
Решение
Полагая y(t) Y ( p) , находим изображения:
y (t) pY ( p) 1,	y (t) p2Y ( p) 1 p 2,		2	2	.

				p

Подставив найденное изображение в исходное уравнение, получим операторное алгебраическое уравнение:

p2Y ( p) p 2 6 pY ( p) 6 9Y ( p) 2p ;

( p2 6 p 9)Y ( p) 2p p 4 ,

откуда найдем изображение решения:

Y ( p)	2				p 4						A			B						C				p 3	1
Y ( p)	p( p 3)2			( p 3)2									p 3				( p 3)2							( p 3)2	( p	3)2
	p( p 3)2			( p 3)2							p		p 3				( p 3)2							( p 3)2	( p	3)2
		2	1		2		1				2		1						1					1
							p 3				3 ( p 3)2								p		3		( p 3)2
		9 p 9					p 3				3 ( p 3)2								p		3		( p 3)2
								2	1		7		1			1		1				.
																3 ( p 3)2						.
						9			p 9 p 3							3 ( p 3)2
Тогда решение дифференциального уравнения:
								y(t)				2		7	e3t			1		te3t .
								y(t)							e3t					te3t .
										9			9					3

В случае нулевых начальных условий:

y(0) y (0) y (0) ... y(n 1) (0) 0

операторное уравнение примет упрощенный вид

n ( p)Y ( p) F( p) ,

как и изображение решения

Y ( p) F( p) .n ( p)

Пример 4.2

Найти решение дифференциального уравнения y 2 y 5y cost , удовлетворяющего начальным условиям y(0) y (0) 0 .

Решение Пусть y(t) Y ( p) .

			2		p
Тогда y	pY ( p),	y		cost p2 1 .
			p Y ( p),

Подставив изображение в исходное уравнение, получим операторное уравнение:

									p2Y 2 pY 5Y											p		,
									p2Y 2 pY 5Y									p2 1				,
									( p2		2 p 5)Y ( p)										p		,
									( p2		2 p 5)Y ( p)								p				,
																			p		2 1
откуда находим изображение:
		Y ( p)								p						Ap C								Mp N
		Y ( p)			( p2 1)( p2						2 p 5)												p	2 2 p					5
					( p2 1)( p2						2 p 5)					p2 1							p	2 2 p					5
2			1			2				5
		p						p				1		p			1				1					2		p 2,5
	10	p		10			10	p		10		1		p			1				1					2		p 2,5
	p2 1					p2 2 p 5						5 p2			1		10 p2 1								10 ( p 1)2 4
			1 p						1	1			1		p 1							3					2

			5 p2 1						10 p2 1				5 ( p 1)2								4		20 ( p 1)2 4

исоответствующийэтомуизображениюоригинал, которыйявляетсярешением дифференциального уравнения с начальными условиями, т. е. задачи Коши:

y(t)

cost

sin t

e t cos 2t

e t sin 2t .

Пример 4.3

Найти решение дифференциального уравнения y y f (t) ,

удо-

влетворяющее начальным условиям y(0) y (0) 0 . Функция

f (t)

изображена на рис. 4.1.

f(t)

cos t

Рис. 4.1

Решение

Полагая y(t) Y ( p) , находим изображение

y p2Y.

Найдем аналитическое выражение оригинала f (t) :

f(t) cost (t) (t ) cost (t) cost (t )

cost (t) cos(t ) (t ).

Тогда f (t)	p	p	e p .
	p2 1	p2 1

Дифференциальное уравнение в операторном виде:

( p2 1)Y ( p)

e p ,

откуданаходимизображениерешения Y ( p)

e p.

( p2 1)2

Так как

, то по теореме Бореля будем иметь

( p2 1)2

p2 1 p2 1

cost sin t .

p2 1 p2

Найдем свертку функций:

cost sin t ∫cos sin (t )d ∫cos (sin t cos cost sin )d

sin t∫cos2

d cost∫sin cos d

sin t t

∫(1 cos 2 )d cost∫sin d(sin )

sin t

sin2

sin 2

cost

sin t

sin2 t cost

sin 2t

sin t.

Таким образом,

sin t .

( p2 1)2

Тогда решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям, будет иметь вид

y(t) 2t sin t t 2 sin (t ) (t ) .

Длятого, чтобынайтиобщеерешениедифференциального урав-

нения указанным способом, достаточно задать начальные условия в виде

y(0) C ,	y (0) C	2	, ...,	y(n 1) (0) C	k	,
1		2			k

где Ck (k 1, 2, ..., n) – произвольные постоянные.

Пример 4.4

Найти общее решение дифференциального уравнения y 4y e t .

Решение

Зададим начальные условия в виде y(0) C1, y (0) C2 , где C1, C2 – произвольные постоянные.

Пусть y(t) Y ( p) . Находим							изображения:								y p2Y pC				C	2	,
	1																	1		2
e t	1	.
e t	p 1	.
	p 1
Операторное уравнение: p2Y pC C												4Y			1		.
Операторное уравнение: p2Y pC C												4Y			p 1		.
								1	2						p 1
Решимегоотносительно изображениярешениядифференциального
уравнения:
			Y ( p2 4) pC C									1	,
			Y ( p2 4) pC C										,
							1		2			p 1
												p 1
		Y ( p) C1			p	C2		1						1
		Y ( p) C1		p2	4	C2	p2 4				( p 1)( p2 4)
		C		p		C2	2					1				.
		C	p2		4					( p		1)( p2				.
		1	p2		4	2 p2 4				( p		1)( p2			4)

Для первых двух слагаемых будем иметь:

C	p	C ch 2t,	C2	2		C2	sh 2t .
			2 p2 4
1 p2 4		1			2

Найдем оригинал для последнего слагаемого, представив его в виде суммы рациональных дробей:

1	A	Bp C	.
( p 1)( p2 4)	p 1
		p2 4

Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:

A( p2 4) B( p2 p) C( p 1) 1.

p2				A B 0,
p1				B C 0,

p0				4A C 1,

A B,	A	1		,
		3

C B,	C	1		,
		3

3B 1,	B		1	.
		3

Тогда
	1				1 1					1		p 1					1	1						1 p				1	2	.

	( p 1)( p2		4)		3 p 1															p 1
	( p 1)( p2		4)		3 p 1					3 p2 4						3				p 1				3 p2 4				6 p2 4
	Таким образом,
													1
									( p 1)( p2							4)
									( p 1)( p2							4)
		1		1	1 p						1		2						1		e t		1		ch 2t	1	sh 2t.

		3 p 1			3 p2			4				6 p2				4							3			6
		3 p 1			3 p2			4				6 p2				4		3					3			6
	Решение дифференциального уравнения тогда будет иметь вид
				y(t)		1	e t		C					1	ch 2t							C2		1	sh 2t .
				y(t)			e t		C						ch 2t										sh 2t .
					3						1
					3									3						2				6

Или окончательно решение можно записать в виде: y(t) 13 e t C1 ch 2t C2 sh 2t .

Упражнения для самостоятельного решения

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетво-

ряющее заданным начальным условиям:
1)   y 3y 2 y 0,			y(0) 0,		y (0) 1 ;
2)   y 4 y t 1,		y(0) y (0) 0 ;
3)   y y t2 2t,			y(0) 4, y (0) 2 ;
4)  x 2x e2t ,		x(0) x (0) 0 ;
5)  x 4x cos 2t,			x(0) 1, x (0) 1;
6)  x x 2sin t 0,			x(0) 1,		x (0) 2 ;
7)  x x 2 10e3t ,			x(0) 2,		x (0) 6 ;
8)   y y y 2sin t 3cost,					y(0) 2,	y (0) 3 ;
9)   y y e2t ,		y(0) y (0) y (0) 0 ;
10)   y y 3(2 t2 ) 0,				y(0) y (0) y (0) 1;
11)  x x f (t),		x(0) x (0) 0 , где f (t) изображена на рис. 4.2.
			f(t)
1				e-t

	O			1			t

Рис. 4.2

12)  x 9x f (t),

x(0) 0,

x (0) 1, где f (t) изображена на

рис. 4.3.

f(t)

Рис. 4.3

Найти общее решение дифференциальных уравнений: 13)   y 4 y 3y et (t2 3t 1) ;

14)   y(4) y(3) cost ;

15)   y y 4 y 4 y (t 2)e 2t .

4.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентаминичемпринципиально неотличаетсяотрешения одного дифференциального уравнения. Здесь также оригиналы функции следует заменить их изображениями. Тогда каждое дифференциальное уравнение заменится соответствующим операторным и получится система линейных алгебраических уравнений относительно изображений. Решив эту систему, находят изображения искомых функций, а затем переходят к их оригиналам.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений:

x (t) a		x(t) a	y(t) a	z(t) f (t),
	11	12	13	1

					(31)
y (t) a21x(t) a22 y(t) a23z(t) f2 (t),					(31)


z (t) a31x(t) a32 y(t) a33z(t) f3(t),

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]