Операционное исчисление. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

B 1 . При p 1,

A 1. Тогда

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

919 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

удовлетворяющую начальным условиям

x(0) x0 ,

y(0) y0 ,

z(0) z0 .

(32)

Совокупность системы линейных дифференциальных уравнений (31) и начальных условий (32) называется задачей Коши для си-

стемы линейных дифференциальных уравнений.

Пусть функции						(t), f2	(t), f3	(t)
	x(t), y(t), z(t), x (t),			y (t), z (t), f1
являются оригиналами. Тогда
x(t) X ( p),	y(t) Y ( p),		z(t) Z ( p),
f1(t) F1( p),	f2 (t) F2 ( p),		f3 (t) F3 ( p),
x (t) pX ( p) x0 ,		y (t) pY ( p) y0 ,			z (t) pZ ( p) z0.

Перейдем в системе (31) к изображениям:

pX ( p) x0 a11X ( p) a12Y ( p) a13Z ( p) F1( p),

pY ( p) y0 a21X ( p) a22Y ( p) a23Z( p) F2 ( p),

pZ ( p) z0 a31X ( p) a32Y ( p) a33Z ( p) F3( p).

Решим полученную систему относительно X ( p), Y ( p), Z( p) . Та-

ким образом, найдем изображения искомых функций, а затем и оригиналы функций x(t), y(t), z(t) .

Пример 4.5

Решить систему линейных дифференциальных уравнений

x x 2 y 2z,

y 2x 7 y 5z,

z 2x 4 y 2z

при начальных условиях x(0) 0, y(0) 3, z(0) 2 .

Решение
Пусть x(t) X ( p),	y(t) Y( p), z(t) Z( p) .
Тогда x (t) pX ,	y (t) pY 3, z (t) pZ 2 .

Переходя к изображениям, приходим к следующей операционной системе:

( p 1) X 2Y 2Z 0,

2X ( p 7)Y 5Z 3,

2X 4Y ( p 2)Z 2.

Системапредставляетсобойсистемуалгебраическихуравнений. Решая эту систему, получаем:

		0		2	2
		3		p 7	5
X ( р)		2		4	p 2			2( p 2)

	p 1			2	2		( p 3)( p 2)( p 1)
		2		p 7	5
	2			4	p 2
				2		A		B	.
			( p 1)( p 3)			p 1		p 3	.
			( p 1)( p 3)			p 1		p 3

A( p 3) B( p 1) 2.

Аналогично:

p 1

3 p2 7 p

Y ( p)

p 2

( p 3)( p 2)( p 1)

p 1

A( p 2)( p 1) B( p 3)( p 1) C( p 3)( p 2) 3 p2 7 p.

При p 1

C 2 . При p 2

B 2 . При p 3

A 3 .

Y ( p)

3e3t 2e2t 2et .

p 2

p 1

p 7

2 p2 2 p 1

Z ( p)

( p

1)( p 2)( p 3)

( p

1)( p 2)( p 3)

p 3

p 1

A( p 2)( p 3) B( p 1)( p 3) C( p 1)( p 2) p2

2 p 1.

p 1 A 1,

p 2 B 1,

p 3 C 1.

Z ( p) 2

2et 2e2t 2e3t .

p 1

p 3

Таким образом, имеем решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям:

y(t)

z(t)

x(t) et e3t ,

2et 2e2t 3e3t ,

2et 2e2t 2e3t ,

т. е. получили решение задачи Коши.

Аналогично решаются методом операционного исчисления линейные системы дифференциальных уравнений высших порядков с двумя или большим числом неизвестных функций.

Операторный способ решения систем дифференциальных уравнений применим к системам порядка выше первого, что очень важно, так как в этом случае применение других способов крайне затруднительно.

Упражнения для самостоятельного решения

Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

x y,

x(0) 1,

y(0) 0;

x y,

x y 7x,

x(0) 2,

y(0) 0;

2x 5y,

10e

x 2x 2 y

x(0) 1, y(0)

2x y

x 2x 3y 5t,

x(0) 0, y(0) 1;

3x 2 y

8et ,

x x y z,

y x y z,

x(0) 1,

y(0) 0,

z(0) 0;

z x y z,

2x x y 3sin t,

x(0) y(0) 0,

x y sin t,

x (0)

x 2x 2 y 4z,

7)   y 2x y 2z,

x(0) 1,

y(0) 1,

z(0) 1;

z 5x 2 y 7z,

x y z 0,

y z 0,

x(0)

2, y(0)

z(0)

;

x z z 0,

x x 2 y 3,

x(0) y(0) 0;

3x y 4x 2 y 0,

(2x

9x) ( y

3y)

x(0) x (0)

10)  

7x) ( y

5y)

(2x

y(0) y (0)

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ

К разделу 2.1. Нахождение изображения с помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы основных преобразований Лапласа

1.				3						6						4		.	2.													.
1.		p 5																.	2.			( p			5)2			2				.
		p 5						p2 9								p						( p			5)2			2
3.						1											p 2						.			4.		3									1				.
3.		( p 2)2 1												( p 2)2 9									.			4.		p2 36								p2 4					.
5.	1									p					. 6.								6( p 2)								.
5.							2( p2 36)								. 6.					(( p 2)2 9)2											.
		2 p					2( p2 36)													(( p 2)2 9)2
7.				1											p 3									.		8. ch t										p			,		sh t
7.		2( p 3)									2(( p 3)2								16)					.		8. ch t							p2			2			,		sh t
	3					1													1
9.																										.
9.	2																									.
	2			( p 2)2								9					( p 2)2 9

10.							p 2														p				2				.
10.			2(( p 2)2									9)																	.
			2(( p 2)2									9)						2(( p 2)2								81)
			1				p		2	4									1			120									96									6
11.			1		ln		p			4			.		12.				1			120									96									6
11.					ln								.		12.												6								5								3
	2								p													( p				2)	6			( p				2)	5			( p				2)	3
	2								p										p			( p				2)				( p				2)				( p				2)

p2 2

( p 2)2

	e	p	p						e 2 p								1		1	e p e 4 p		3
13.		2			.	14.							. 15.											.
							p 1 3											p 2
			p2 4																p			p2 9
16.	arcctg ( p ).					17.		1			ln	p 1			.		18. t sin t				1		.

									2 p p 1												p2 ( p2 1)
19.	et	t 1				1		.		20. t				1		.
				p2 ( p 1)
														p2

К разделу 2.2. Нахождение изображений функций, заданных графиком

1.				1					e p				.				2.				1					1 e p			.	3.	(1 e p )2		.

	p	2							p2 1											p 1						e p		1			p
	p	2			1				p2 1											p 1						e p		1			p
4.	1						1		e p					1			e 2 p						1			e 3 p.
4.	p2								e p					p2			e 2 p									e 3 p.
	p2						p2							p2									p2
	1					1				e p					e p						e 2 p
5.																									.
5.	p					p	2			p2						p					p	2			.
	p					p	2			p2						p					p	2
	3					1	e 3 p					e 4 p e 3 p																(1		e p )(1 e 3 p )(1 e 4 p )
6.																								. 7.										.
6.			2																					. 7.								2		.
	p		2					3																							p	2
	p							3																							p
8.		1				(1 e 4 p )									1		(1		4e 2 p							e 4 p ).
8.	2 p2					(1 e 4 p )										p	(1		4e 2 p							e 4 p ).
	2 p2															p
	2(1				e 2 p )													(e 2 p e 3 p )2
9.											.		10.														.
9.					pe p						.		10.									p					.
					pe p																	p

К разделу 2.3. Нахождение изображений периодических функций

	1 e p										(1 e p )2										1 e p
1.						.			2.								.	3.				.
1.	p2 (1 e p )					.			2.	p2 (1 e 4 p )							.	3.			2 p ch p	.
			p						3 p
			4						3 p
			4							4									p
	2 1 e				1				e										p
	2 1 e				1				e							2 2e			2 pe p
4.												.		5.		2 2e			2 pe p				.
4.		p2 (1 e p )										.		5.									.
		p2 (1 e p )														2 p2 (1 e p )
				p

	4 1 e			2										ap
											1		ch 12						1 e ap
6.								.	7.		1		ch 12		. 8.				1 e ap					.
6.								.	7.						. 8.									.
					p						p			ap				p(1 e 2ap )
	p2 1 e				2								ch 4


9.	1 e p						.		10.		1			2(1 e p )						.
9.	p2 (1						.		10.		p			p2 (1 e p )						.
	p2 (1	e p )									p			p2 (1 e p )

К разделу 3.1. Нахождение оригинала с помощью применения таблицы и свойств преобразования Лапласа

1. 2sin 4t. 2.		2	sh 3t				1	t4.		3.		5	sin 6t 3ch 2t.
1. 2sin 4t. 2.		3	sh 3t					t4.		3.		6	sin 6t 3ch 2t.
		3			8							6
4.	et 4 cos 2(t 4) (t 4).									5. 3e 2t sin 2t e 2t cos 2t.
6.	3e2t cos3t	11		e2t	sin 3t.					7.	1			1	e3t	11	e 4t .
6.	3e2t cos3t	3		e2t	sin 3t.					7.					e3t	28	e 4t .
		3								4		7				28
8.	1 4e 2t cos3t				1	e 2t			sin 3t.
8.	1 4e 2t cos3t					e 2t			sin 3t.
					3


9.		1		e2t		1		e t cos			3t	3 sin 3t .
	12
					12
10.			1	et	1		e 2t		2	te 2t .		11. 2 t 2et tet .
		9			9				3

12.14 121 ch 2t 13 ch t.

13.8 e 2(t 2) et 2 3 (cos (t 2) 3sin (t 2)) (t 2).

5 5

14.13 (cost cos 2t).

15.12 (ch t cost). 16. cos3(t 2) 1,5(t 2)sin 3(t 2) (t 2).

17.13 e2tt sin 3t 16 e2tt cos3t 181 e2t sin 3t.

18.e 2t cos 2t 2e 2t sin 2t et 2e 5t .

19.		9			(t 3)et 3				1			et 3		1		e (t 3) cos 2(t 3)

									16					16
		8							16					16
	5	e	(t 3)			sin 2(t		3)				(t	3).			20.		t	2	cost 1.

	8																	2
	8																	2
						К разделу 3.2. Теоремы разложения
				( 1)n t2n									( 1)n tn								( 1)n 1t2n 1
1.		∑					.	2.			∑						.		3. ∑			.
1.		∑			(2n)! 2		.	2.			∑						.		3. ∑			.
	n 0				(2n)! 2					n 0 (2n					1)!n!					n 1	(2n 2)!(2n 1)!

4.		1		2	et			1		e 2t . 5.					3	et			1	e t			t		e t .
4.	2				et			6		e 2t . 5.					4	et				e t			2		e t .
	2		3					6							4		4						2
6.		1	e t			1	e2t						1	cos 2t			1	sin 2t.					7. e 2t (cost 2sin t).
6.	15		e t			6	e2t					10		cos 2t			5	sin 2t.					7. e 2t (cost 2sin t).
	15					6						10					5
8. et e t cos 2t											3	e t sin 2t.					9.				1	e t				4		e2t			1	cost			7	sin t.
8. et e t cos 2t											2	e t sin 2t.					9.					e t						e2t		10		cost				sin t.
											2						6								15					10		10
10. e t			cos3t						2	e t			sin 3t.			11. t sh t.								12.			1		et (t 1)				1	cost.
10. e t			cos3t					3		e t			sin 3t.			11. t sh t.								12.					et (t 1)					cost.
								3																	2							2

13. 2et 4t 3. 14. 18 cost 18 cos3t.

15.16 12 et 12 e2t 16 e3t .

Кразделу 4.1. Решение дифференциальных уравнений операционным методом

1.y(t) e2t et . 2. y(t) 14 14 t 161 e2t 163 e 2t .


3.	y(t)		1	t3 2	2e t .	4. x(t)		1	1	e2t	1	te2t .
								4	4		2
	3
5.	x(t)	t		sin 2t	cos 2t	1	sin 2t.	6.	x(t) 3et 3 cost sin t.
						2
	4
7.	x(t) 2 cost 3sin t e3t .

	y(t)	20 3	e	t		3t	2cost 3sin t.
8.				2	sin
		3				2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]