Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
u|
= f (y)
x=0
и условиям сопряжения
−)=u (y, li+) ,
u (y, l
i
/
k
u
(y, li−)=u
x
i
/
(y, li+) ,i=1, ..., n.
x
Применение оператора Γ · L приводит поставленную задачу к зада-
че Дирихле для однородной полуплоскости. В итоге для решения u =
u (y, x) будем иметь:
u (y, x)=
∞
1
L−1· Γ
π
−∞
−1
x2+(y − η)
x
f (η) dη.
2
Следствие 19.2. Формула Пуассона с одной прямой сопряжения x =
l принимает вид:
u (y, x)=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
2k
k+1
∞
&
1−k
1+k
j=0
1−k
−
1+k
∞
&
j=0
2l(j+1)−x
·
(2l(j+1)−x)2+(y−η)
j
1−k
1+k
j
1
π
−∞
∞
1
π
(x+2lj)2+(y−η)
−∞
∞
x+2lj
(x+2lj)2+(y−η)
f (η) dη, 0 <x<l,y∈ R;
2
x+2lj
2
f (η) dη, l < x, y ∈ R.
2
−
201
Глава 20
Операторный метод для
функций
кусочно-аналитических в круге
20.1 Операторы Γiи их свойства .
Рассмотрим следующие операторы: для функции f = f (z), ограниченной и гармонической в круге B= {z : |z|≤r
[f]=χB(z) f (z)+χB(z) hifz · r
Γ
i
(z) - характеристическая функция множества B, r0,r1,r2, ..., rn,r
χ
B
- точки на [0, 1] , такие, что
1 = r
0>r1>r2
> ... > rn>r
Оператор, обратный к Γ
, действует на функцию g, ограниченную и
i
n+1
=0;
аналитическую в круге B по правилу:
∞
[g]=
(−1)khkgz · r
k=0
, ..., Γnобозначим символом Γ, Γ ≡ Γn·
1
−1
Γ
i
Произведение операторов Γ
.
... · Γ
1
Из формулы (20.1) получим выражение для обратного оператора Γ
:
} положим:
0
2
,i=1, ..., n, 0 <h
i
r
r
i+1
i
≤
r
0
,i=1, ..., n − 1.
r
i
2k
. (20.2)
i
< 1, (20.1)
i
n+1
−1
202
∞
Γ−1[g]=
(−1)khkgz · r
k=0
2k
k
k
= h
1
· ... ·h
,h
20.2 Операторы сглаживания Li.
k
n
,r2k=
n
5
i=1
2k
i
r
.
i
Пусть функция f = f (z) аналитическая в кусочно-однородном круге B
:
B
причем на окружностях сопряжения выполнены условия сопряжения:
k
f = f (z) извне и изнутри круга |z| <r
живания для линии сопряжения |η| = r
n
+
=
Bj,Bj= { z : r
U
n
j=0
−
(η)=f+(η)+kif+(η),Reη= li,i=1, ..., n,
f
- действительное f−(η) ,f+(η) - предельные значения функции
i
L
[u]=χ
i
−
(z)f (z) − kif
E
i
< |z| <rj},j =0, ..., n,
j+1
, соответственно. Оператор сгла-
i
определим равенством:
i
z · r
|z|
!
2
i
2
+
(z) f (z) , (20.3)
+ χ
E
i
где
+
= {z : |z| <ri},E
E
i
Оператор, обратный к оператору L
[g]=χ
L
i
Примем обозначения: L ≡ L
−
(z)g (z)+kig
E
i
n
−
= {z : |z| >ri}.
i
, имеет вид:
i
z · r
|z|
!
2
i
+ χ
2
· ... · L1,L−1= L
+
(z) g (z); (20.4)
E
i
−1
1
· ... · L
−1
n
.
Приведем важнейшие свойства операторов сглаживания.
+
1. Оператор L функции f, кусочно-аналитической в B
, сопоставляет
n
функциюˆf = L [f] , аналитическую в единичном круге.
2. Справедливо равенство
ReL [f ]=ReΓ[f ] ,|η| =1,
при этом в выражении для оператора Γ положено h
= −ki,i=1, ..., n.
i
+
n
203
20.3 Формула Шварца для функций
кусочно-аналитических в круге.
Формула Шварца в случае кусочно-однородного круга решает следующую задачу: найти функцию f = f (z) аналитическую в кусочно-однородном
круге B
виям сопряжения:
для кусочно-однородного круга:
окружностью сопряжения {z : |z| = r} ;0 <r<1 :
+
по граничному значению ее действительной части и по усло-
n
−
(η)=f+(η)+kif+(η), |η| = ri,i=1, ..., n .
f
Применение оператора Γ · L позволяет получить формулу Шварца
f (z)=L
−1
· Γ
−1
1
πi
C
C = {η : |η| =1},z ∈ B
1
Ref (t) dt −
η−z
+
.
n
n
6
(1 − ki) f (0),
i=1
Следствие 20.1. Выпишем в явном виде формулу Шварца с одной
f (z)=
⎧
⎪
⎪
−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
r<|z| < 1;
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
n
6
(1 − ki)f (0) +
i=1
n
6
−
i=1
|z| <r.
∞
&
j
k
j=0
(1 − ki)f (0) +
204
C
∞
&
j=0
η−zr
k
1
−
2j
η−
1
j
1
2π
2j
η−zr
C
1
πi
k
z
2j+2
r
2
|z|
Ref (η) dη,
Ref (η) dη;
Глава 21
Метод операторов
преобразования в задачах
математической физики
однородных сред
21.1 Третья краевая задача со сдвигом для
однородного полупространства.
Пусть функция ˆu =ˆu (x, y) гармонична в полупространстве R
надлежит классу
+
α
R
H
2
с граничным условием
где h
гиперплоскости y =0. Непосредственная проверка показывает, что реше-
ние поставленной задачи существует, единственно, принадлежит классу
α+1
H
2
,α≥ 2. Рассмотрим уравнение Лапласа
m+1
Δu =0, (x, y) ∈ R
h
u (x, 0) + h2u (x, l)+
1
<h2< 0 постоянные, ˆu (x, 0) - след функции ˆu =ˆu (x, y) на
1
+
R
,α≥ 2, и имеет вид:
m+1
∂
∂y
205
+
m+1
u (x, 0) = ˆu (x, 0) ,l>0,
+
m+1
и при-
∞
u =
где P (x − ξ, y) - ядро Пуассона для полупространства, L
преобразования из H
−1
[ˆu]=−
L
Заметим, что L
−1
L−1[P (x − ξ, y)] ˆu (ξ, 0) dξ,
−∞
−1
α+1
α
в H
2
, действующий по правилу L−1:ˆu → u,
2
∞
∞
j=0
j
j
h
ε
2
j!
h1ε
e
ˆu (x, y +2lj + ε) dε.
0
- оператор
- оператор, обратный к оператору L = h1+h2Γ+
∂
∂y
где Γ - оператор сдвига: Γ[u] ≡ u (x, y + l) .
21.2 Задача Дирихле для однородной поло-
сы.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в полосе:
m
Δu =0,x∈ R
с граничными условиями
u (x, 0) = ˆu (x, 0) ,
u (x, l)=0,
, 0 <y<l,
,
где ˆu (x, 0) - след на гиперплоскости y =0функции ˆu =ˆu (x, y) .
Функция ˆu =ˆu (x, y) гармоническая в R
m ≥ 2 и1+|x|
2
+ y
2
β
ˆu ∈ H
+
α
R
2
2
+
: ˆu ∈ H
m+1
при m =2, для некоторого β>0.
+
α
R
m+1
2
Оператор преобразования J :ˆu → u задается формулой:
∞
J [ˆu]=
ˆu (x, y +2l · j) − ˆu (x, 2l − y +2l · j).
j=0
Следовательно, для решения задачи Дирихле в полосе имеем:
u (x, y)=
J [P (x − ξ, y)] · ˆu (ξ, 0) dξ,
m
R
206
,α ≥ 2,
где P (x − ξ, y) - ядро Пуассона для полупространства. Суммируя в
полученной формуле ядро, найдем многомерный аналог формулы Палатини для полосы [18]:
u (x, y)=
Pm(|x − ξ|,y) · ˆu (ξ,0) dξ,
m
R
где
1
∂y
∂
m−1
m−1
1 − ε
0
+
.
2
m−3
2
2
·P1(ε |x − ξ| ,y)dε,
m−1
(|x − ξ|,y)=
P
m
2
m−2
(−1)
m+1
π
m−1
2
Γ
2
P1- ядро Пуассона для полосы в R
21.3 Условия периодичности для однородной
полосы.
Рассмотрим задачу Дирихле для функции u = u (x, y), гармонической в
m
полосе Π={ (x, y):x ∈ R
, 0 <y<l} :
Δu =0, (x, y) ∈ Π
с неоднородными граничными условиями
u (x, 0) = u (x, l)+ˆu (x, 0) ,
/
(x, 0) = u/(x, l) ,
u
+
здесь функция ˆu =ˆu (x, y), гармоническая в R
2 ,m≥ 2 и1+|x|
рого β>0. Оператор преобразования J :ˆu → u определяем равенством:
J [ˆu]=
∞
1
2
ˆu (x, y + l · j) − ˆu (x, l − y + l · j).
j=0
2
+ y
2
β
ˆu ∈ H
+
α
R
,α ≥ 2 при m =2, для некото-
2
2
m+1
, ˆu ∈ H
+
α
R
2
m+1
,α≥
В итоге для решения краевой задачи с условиями периодичности получаем формулу:
u (x, y)=
J [P (x − ξ, y)] · ˆu (ξ, 0) dξ,
m
R
207
где P (x − ξ, y) - ядро Пуассона для полупространства.
21.4 Теплопроводность в ограниченном
стержне.
Рассмотрим смешанную краевую задачу для функции u = u (t, x) в области { (t, x):t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l }, удовлетворяющей уравнению:
= a
∂2u
2
, { (t, x):t>0, 0 <x<l}
2
∂x
∂u
∂t
начальному условию
u (0,x)=0,
граничным условиям
u (t, 0) = ˆu (t, 0) ,
∂
hu (t, l)+
u (t, l)=0.
∂x
Пусть функция ˆu =ˆu (t, x) определена в области { (t, x):t ≥ 0,x≥ 0 }
и удовлетворяет уравнению
= a
∂2ˆu
2
, { (t, x):t>0 ,x >0 }
2
∂x
∂ˆu
∂t
и начальному условию
ˆu (0,x)=0.
Для каждого значения t функция ˆu (t, x) предполагается такой, что
для некоторого фиксированного β>0 выполнено
−βx
e
причем e
ˆu ∈ H
α
(x ≥ 0) ,α≥ 2,
2
−βx
ˆu имеет в классе H
α
(x ≥ 0) рост не выше степенного, т.е.
2
для некоторых c, k выполняется неравенство:
∞
−2βx
e
|ˆu (t, x)|2dx ≤ ctk.
0
Оператор преобразования J :ˆu → u определяется формулой:
u =
208
⎛
∞
∞
⎝
j=0
(x)=e
L
j
Применив оператор преобразования J :ˆu → u, для неизвестной
e
0
(j +1)!
j
d
x
dx
j
ˆu (t, 2l − x +2lj) −
−xxn
e
- полиномы Чебышева-Лаггера [19].
(2hε)
L
j+1
−hε
L
(2hε)
j
ˆu (t, x +2lj)dε
j !
структуры температурного поля u = u (t, x) найдем выражение:
u = J [ˆu (t, x)] ,
где ˆu =ˆu (t, x) выражается формулой [18]:
t
ˆu (t, x)=
x
2a√π
0
ˆu (τ,0)
(t − τ )
3/2
−
e
2
x
4a2(t−τ)
dτ.
⎞
⎠
,
209
Глава 22
Метод операторов
преобразования в задачах
математической физики
кусочно-однородных сред
22.1 Кусочно-однородное пространство
Примем обозначение
I
=y : y ∈
n+1
числа 0=l
m
× I
В R
n+1
Δu
n+1
U
j=0
0<l1<l2
(l
) ,l−1= −∞,l
j−1,lj
= ∞,lj<l
n+1
< ... < lnтакие, что li− l0≤ l
рассмотрим сепаратную систему уравнений Лапласа:
=0, (x, y) ∈ Rm× (l
i
) ,i=0, 1, ..., n +1
i−1,li
по условиям сопряжения на гиперплоскости y = l
u0(x, l0) − u1(x, l0)=ˆu (x, l0) ,
∂
k
u0(x, l0)=
0
∂y
∂
u1(x, l0)
∂y
по условиям сопряжения на гиперплоскостях y = l
210
0
i+1
i
j+1
− li,.
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]