Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
Часть IV
Операторный метод в задачах
анализа и математической
физики
Глава 18
Разложение оператора
преобразования в произведение
граничного оператора и
оператора сглаживания
18.1 Операторы Γi, порождаемые граничны-
ми условиями, и их свойства.
Пусть функция y = f (x) определена и ограничена на действительной
полуоси x ≥ l
i =1, ..., n ;0<h
где θ - единичная функция Хевисайда, l
такие, что
l
0<l1<l2
В дальнейшем, не уменьшая общности рассуждений, будем считать,
=0.
что l
0
Оператор, обратный к Γ
по правилу:
x ≥ l
0
. Введем серию граничных операторов Γi:
0
[f]=θ (x − l0) f (x)+θ (x − l0) hif (x +2li) ,, (18.1)
Γ
i
< 1
i
, ..., lnточки на полуоси
1,l2
< ... < ln; li− l0≤ l
, действует на функцию g, ограниченную на
i
− li,i=1, ..., n − 1.
i+1
192
∞
[g]=
(−1)khkg (x +2li· k) . (18.2)
k=0
, имеет вид:
i
, ..., Γnобозначим символом Γ, Γ ≡ Γn·
1
−1
Γ
i
Оператор, сопряженный к Γ
∗
[g]=θ (x) g (x)+hθ (x − 2li) g (x − 2li) . (18.3)
Γ
i
Произведение операторов Γ
.
... · Γ
1
Из формулы (18.1) получим выражение для обратного оператора Γ
:
Оператор, сопряженный к Γ ≡ Γ
· ... · Γ1, имеет вид Γ∗=Γ
n
18.2 Операторы сглаживания Li.
∗
· ... · Γ
1
−1
∗
.
n
Пусть функция y = f (x) задана на действительной кусочно- однородной
полуоси I
+
, непрерывно-дифференцируема на I
n
+
, причем в точках стыка
n
выполнены условия сопряжения:
−)=f (li+) ,
f (l
i
k
f/(li−)=f/(li+) ,i=1, ..., n .
i
Оператор сглаживания в точке l
L
[f]=θ (x) θ (li− x)kif (x)+
i
определим равенством:
i
1 − k
i
− x)+ θ (x − li)
f (2l
2
i
k
+1
i
f (x) .
2
(18.4)
Операторы, обратный и сопряженный к L
, имеют соответственно
i
вид:
−1
[g]=θ (x) θ (li− x)
L
i
+θ (x − l
∗
L
i
+θ (x − l
2
)
g (x)
i
ki+1
[g]=θ (x) θ (li− x) kig (x)+
) θ (2li− x)
i
+θ (x − 2l
1
k
i
g (x) −
1+k
2
)
i
1−k
i
g (2li− x)+
1+k
i
i
g (x)+
k
i
1−k
i
g (2li− x)+
2
+1
g (x) . (18.6)
2
, (18.5)
193
Произведение операторов L1, ..., Lnобозначим через L, L ≡ Ln·...·L1.
Обратный и сопряженный к оператору L имеют вид L
и L∗= L
∗
· ... · L
1
∗
, соответственно.
n
−1
= L
−1
1
·... ·L
−1
n
Приведем важнейшие свойства операторов сглаживания.
1. Оператор L функции f, кусочно-непрерывно дифференцируемой
+
, сопоставляет функцию L [f ] , непрерывно-дифференцируемую на
на I
n
полуоси.
2. Если в выражении для оператора Γ положить h
то справедливо равенство L [f ]|
x=0
=Γ[f]|
x=0
.
1−k
i
=
i
,i=1, ..., n,
1+k
i
18.3 Применение операторов преобразования
в теории интегральных преобразований.
2
Теорема разложения по собственным функциям оператора Фурье −
для кусочно-однородного полупространства формулируется следующим
образом.
Теорема 18.1 . Если функция y = f (x) определена на I
+
, кусочно-
n
непрерывна, абсолютно интегрируема и имеет ограниченную вариацию
+
, то для каждого x ∈ I
на I
n
+
справедливо интегральное представление
n
d
dx
2
f (x)=
∞
2
L−1· Γ−1[sin λx]
π
0
⎛
∞
⎝
L∗· Γ∗[sin λξ]f (ξ) dξ
0
⎞
⎠
dλ. (18.7)
Доказательство. В силу построения операторов L и Γ функция Γ ·L [f ]
удовлетворяет условиям теоремы разложения для sin- преобразования
Фурье. Тогда
Γ · L [f](x)=
∞
2
π
0
sin λx
⎛
⎝
∞
0
Действуя обратным оператором L
sin λξ Γ · L [f ](ξ) dξ
−1
· Γ−1на обе части записанного
⎞
⎠
dλ.
представления в соответствии с определением сопряженных операторов
∗
и Γ∗установим требуемый результат.
L
194
Теорема разложения позволяет определить прямой и обратный операторы Фурье на действительной кусочно-однородной полуоси по правилам:
∞
ˆ
f (λ)=
f (x)=
L∗· Γ∗[sin λξ]f (ξ) dξ, (18.8)
0
∞
2
L−1· Γ−1[sin λx]ˆf (λ) dλ. (18.9)
π
0
Замечание18.1. Установленные нами интегральные преобразования
(18.8)-(18.9) получены ранее методом δ - образных последовательностей
в работе [20], однако в ней не была выявлена внутренняя структура ядра.
18.4 Операторы L и Γ для кусочно-
однородного пространства.
Пусть функция y = f (x) определена на кусочно-однородной оси In,
=x : x ∈
I
n
Введем серию операторов сглаживания L
[f]=θ (li− x)kif (x)+
L
i
n+1
U
j=0
(l
j−1,lj
) ,l−1= −∞,l
1 − k
i
f (2l
2
n+1
i
− x)+ θ (x − li)
i
= ∞,l
:
j−1<lj
k
+1
i
2
,.
f (x) ,
где функция y = f (x) удовлетворяет условиям сопряжения в точках
стыка интервалов
−)=f (li+) ,
f (l
k
Свойства операторов L
1. Каждая из функций g
точке l
.
i
2. Каждая из функций g
i
f/(li−)=f/(li+) ,i=0, ..., n .
i
:
i
= Li[f] - непрерывно- дифференцируема в
i
= Li[f] в точках lj,j > i удовлетворяет
i
(18.10)
условиям сопряжения (18.10).
3. Оператор, обратный к L
f (x) ≡ L
−1
i
[g]=
, имеет вид:
i
195
1
= θ (li− x)
k
g (x) −
i
4. Оператор, сопряженный к L
∗
[g]=θ (li− x) kig (x)+θ (x − li)
L
i
1 − k
i
g (2li− x)+ θ (x − li)
1+k
i
, определяется равенством:
i
1+k
2
Введем также серию граничных операторов
=
Γ
i
i
g (x)+
ki+1
1 − k
2
2
i
g (x) .
g (2l
− x).
i
θ (l − x)(g (x)+h
1 − k
1+k
[p]=
i
,i=0, 1, ..., n.
i
∞
j=0
=
h
i
Операторы, обратный и сопряженный к граничным Γ
−1
Γ
i
∗
[f]=f (x)+hih0θ (x − 2li)(f (2li− x)+f (2li+ x)) ,
Γ
i
· g (2li− x)) + θ (x)(g (x)+hih0· g (2li+ x)) g (x) .
ih0
, имеют вид:
i
j
(−1)jh
j
h
· (θ (−x) p (2li· j − x)+θ (x) p (x +2li· j))
0
i
соответственно.
Определим, наконец, операторы L ≡ L
которых будем иметь:
L
−1
= L
−1
1
·... ·L
−1
; L∗= L
n
∗
·... ·L
1
∗
n
· ... · L1и Γ ≡ Γn· ... · Γ1, для
n
∗
; Γ∗=Γ
·... ·Γ
1
∗
; Γ−1=Γ
n
−1
1
·... ·Γ
−1
n
Теорема 18.2 . Если функция f удовлетворяет в точках стыка
, ..., lnусловиям сопряжения (18.10), то функцияˆf = L0· Γ · L [f ]
l
0,l1
непрерывна во всех точках стыка l
− l0≤ l
l
i
− li,i=1, ..., n − 1.
i+1
0<l1<l2
Как и в случае полупространства с помощью оператора L
< ... < lnтаких, что
·Γ ·L можно
0
решить следующие задачи:
1. Получить теорему разложения для кусочно-однородного простран-
ства;
2. Ввести интегральные преобразования Фурье для кусочно- однород-
ного пространства.
3. Получить аналоги классических формул математической физики:
формулы Кирхгофа в теории уравнений гиперболического типа, формулы Пуассона в теории уравнений параболического типа.
Приведем теорему разложения:
.
196
Теорема 18.3 . Если функция y = f (x) определена на In, кусочнонепрерывна, абсолютно интегрируема и имеет ограниченную вариацию
, то для каждого x ∈ Inсправедливо интегральное представление
на I
n
f (x)=
2π
1
−∞
∞
L−1· Γ−1· L
−1
0
⎛
∞
iλx
e
⎝
L∗· Γ∗· L
−∞
e
−iλξ
f (ξ) dξ
∗
0
⎞
⎠
dλ.
(18.10)
Доказательство. Из конструкции операторов L и Γ следует, что функ-
ция L
·Γ · L [f] удовлетворяет условиям теоремы разложения для клас-
0
сического преобразования Фурье. Тогда
⎛
∞
1
iλx
· Γ · L [f ](x)=
L
0
2π
−∞
⎝
e
Действуя обратным оператором L
∞
−∞
−1·Γ−1
iλx
e
L0· Γ · L [f ](ξ) dξ
−1
·L
на обе части записанного
0
⎞
⎠
dλ.
представления в соответствии с определением сопряженных операторов
∗
и Γ∗, установим требуемый результат.
L
Теорема разложения позволяет определить прямой и обратный опе-
раторы Фурье на действительной кусочно-однородной оси по правилам:
∞
ˆ
f (λ)=
f (x)=
2π
−∞
∞
1
0
L∗· Γ∗· L
L−1· Γ−1· L
∗
−iλξ
e
0
f (ξ) dξ, (18.11)
−1
iλx
ˆ
e
0
f (λ) dλ. (18.12)
197
Глава 19
Операторный метод для
функций
кусочно-аналитических в
правой полуплоскости
19.1 Операторы Γiи их свойства.
Пусть функция f = f (z) определена и ограничена в полуплоскости
Rez ≥ l
такие, что l
дальнейшем, не уменьшая общности рассуждений, будем считать, что
l
0
ограниченную и аналитическую в полуплоскости x ≥ l
. Введем оператор Γi:
0
Γ
[f]=θ (x − l0) f (z)+θ (x − l0) hif (z +2li) ,i=1, ..., n, 0 <hi< 1,
i
(19.1)
где θ - единичная функция Хевисайда, l
0<l1<l2
=0. Оператор, обратный к оператору Γi, действует на функцию g
Оператор, сопряженный к оператору Γ
< ... < ln; li− l0≤ l
∞
[g]=
(−1)khkg (z +2li· k) . (19.2)
k=0
−1
Γ
i
, ..., lnточки на полуоси
1,l2
− li,i =1, ..., n − 1. В
i+1
, по правилу:
0
, имеет вид:
i
∗
[g]=θ (x) g (z)+hθ (x − 2li) g (z − 2li) . (19.3)
Γ
i
198
Произведение операторов Γ1, ..., Γnобозначим символом Γ, Γ ≡ Γn·
.
... · Γ
1
Из формулы (19.1) получим выражение для обратного оператора Γ
:
−1
∞
[g]=
(−1)khkg (z +2l · k) ,hk= h
k=0
−1
Γ
Оператор, сопряженный к Γ ≡ Γ
k
1
· ... ·h
· ... · Γ1, имеет вид Γ∗=Γ
n
k
n
,l·k =
n
i=1
∗
1
li· ki.
· ... · Γ
19.2 Операторы сглаживания Li.
Пусть функция f = f (z) задана в кусочно-однородной полуплоскости I
кусочно-аналитическая на I
условие:
−
(η)=f+(η)+kif+(η),Reη= li,
f
k
- действительное, |ki| < 1. Оператор сглаживания на прямой Rez =
i
определим равенством:
l
i
[f]=θ (x) θ (li− x)f (z) − ki· f (2li− z)+ θ (x − li) f (z). (19.4)
L
i
Оператор, обратный к L
−1
L
[g]=θ (x) θ (li− x)g (z) − ki· g (2li− z)+ θ (x − li) g (z) . (19.5)
i
+
, причем на прямых сопряжения выполнено
n
, имеет вид:
i
∗
.
n
+
n
Произведение операторов L
Оператор, обратный к оператору L, имеет вид L
, ..., Lnобозначим через L, L ≡ Ln·...·L1.
1
−1
= L
−1
1
Приведем важнейшие свойства операторов сглаживания.
1. Оператор L функции f, кусочно-аналитической в I
функциюˆf = L [f] , аналитическую в полуплоскости x ≥ l
2. Справедливо равенство
ReL [f ]
при этом в выражении для оператора Γ положено h
x=0
= Re Γ[f ]
x=0
,
= −ki,i=1, ..., n.
i
199
−1
· ... · L
+
, сопоставляет
n
.
0
.
n
19.3 Формула Шварца для кусочно-
однородного полупространства.
Формула Шварца в случае кусочно-однородного полупростраства решает следующую задачу: найти функцию f = f (z) , аналитическую в
кусочно-однородной полуплоскости {z = x + iy : x ∈ I
ничному значению действительной части Ref и условиям сопряжения
−
(η)=f+(η)+kif+(η),Reη= li,i=1, ..., n.
f
Применение оператора Γ · L, сводит поставленную задачу к соответ-
ствующей задаче для однородной полуплоскости, таким образом, формула Шварца для кусочно-однородной полуплоскости будет иметь вид:
f (z)=
πi
∞
1
−∞
L−1· Γ
−1
1
Ref (t) dt + iC,
t − z
где С- действительная константа.
Следствие 19.1. Выпишем в явном виде формулу Шварца с одной
линией сопряжения:
+
,y ∈ R }, по гра-
n
f (z)=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
∞
&
j=0
∞
&
j=0
k
k
∞
∞
1
t−z−2lj
1
Ref (t) dt + iC,
t−z−2lj
− k ·
t+z−2(l+1)j
0 <x<l,y∈ R
1
j
πi
−∞
1
j
πi
−∞
1
Ref (t) dt +(1− k) C, ;
l<x,y∈ R.
19.4 Формула Пуассона для кусочно-
однородного полупространства.
Задача Дирихле в случае кусочно-однородного полупростраства ставится следующим образом: найти решение u = u (y, x) уравнения Лапласа
2
2
u
u
∂
∂
∂x
+
2
∂y
2
=0,x∈ I
удовлетворяющее граничному условию
200
+
,y ∈ R,
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]