Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
где
F (λ)=Δ
имеет решение Ψ(ς)=Ψ
−1
(ς) в классе неубывающих и ограниченных
(ω)
(|λ|)
−iλς
e
dΨ0(ς), (6.17)
n
R
функций.
Доказательство. Образуем гармоническую функцию
∞
n
Γ
( x, y)=
u
0
2
P (x − ς,y; ω) dΨ0(ς) . (6.18)
n
2
π
−∞
Так как в рассматриваемом случае dΨ
P (x − ς,y; ω) ≥ 0, (x, y) ∈ D, ς ∈ R
то имеем также u
(x, y) ≥ 0.
0
(ς) ≥ 0 и
0
n
,
Далее, по теоремам 6.4 и 6.5 существует неубывающая ограниченная
функция Ψ
(θ) такая, что
(ω)
( x, y)=
u
0
∞
n
Γ
2
P (x − ς,y) dΨ
n
2
π
−∞
(ς) . (6.19)
(ω)
Имея ввиду разложения (6.18),(6.19) и формулу для образа Фурье
−|λ|y
F [P (x − ς,y; ω)] = e
q (|λ|) e
найдем, что при любом λ ∈ R
−|λ|ye−iλς
e
n
R
dΨ
(ω)
Применив равенство q (|λ|)=Δ
−iλς
,F[P (x − ς, y)] = e
n
выполняется равенство:
(ς)=
−|λ|y
e
q (|λ|) e
n
R
−1
(|λ|) , доказательство закончим.
−iλς
−|λ|ye−iλς
dΨ0(ς).
,
Теорема 6.5 Пусть функция ω (x) ∈ Ω , ω (0) = 0 , ω (x) ↑ ω (∞) при
x ↑∞ не убывает на [0, ∞) ; Ψ
n
изменения на R
, тогда проблема функциональных множителей
(ς) - ограниченная функция конечного
0
91
F (λ)=
где
˜
F (λ)=Δ(|λ|)
имеет решение Ψ(ς)=Ψ
n
изменения на R
.
˜
(ς) в классе ограниченных функций конечного
(ω)
−iλς
e
dΨ(ς) ,
n
R
−iλς
e
dΨ0(ς), (6.20)
n
R
Доказательство. Образуем гармоническую функцию класса U
∞
n
Γ
( x, y)=
˜u
0
2
P (x − ς,y) dΨ0(ς) . (6.21)
n
2
π
−∞
Тогда, согласно теореме 6.5, имеем также ˜u
теоремы 6.4 , следует существование функции Ψ(ς)=˜Ψ
(x, y) ∈ U
0
. Отсюда, в силу
(ω)
(ς) конечного
(ω)
изменения на M такой, что
∞
n
Γ
(x, y)=
˜u
0
2
P (x − ς,y; ω) d˜Ψ
n
2
π
−∞
(ς) . (6.22)
(ω)
Имея в виду разложения (6.19),(6.20) и формулу для образа Фурье
−|λ|y
F [P (x − ς,y; ω)] = e
q (|λ|) e
найдем, что при любом λ ∈ R
−|λ|ye−iλς
e
n
R
dΨ0(ς)=
−iλς
,F[P (x − ς, y)] = e
n
выполняется равенство:
−|λ|y
e
q (|λ|) e
n
R
−iλς
−|λ|ye−iλς
dΨ
(ς). (6.23)
(ω)
,
Отсюда так же, как и при доказательстве теоремы 6.6, получаем утверждение теоремы.
92
Глава 7
Интегральные преобразования
Фурье с неразделенными
переменными на компактах из
n
R
7.1 Постановка задачи
В литературе хорошо известна связь между функцией Грина и соответствующей собственной функцией [31]. Мы предлагаем более прямой подход по применению функции Грина в теории интегральных преобразований. Приведем два примера. Первый связан с интегральной формулой
Пуассона для круга, имеющей вид
2π
1
iϕ
)=
u(re
Разложение ядра Пуассона в ряд по степеням r имеет вид
1 − 2r cos(ϕ − θ)+r
Конечным интегральным преобразованием периодической на отрезке
[0, 2π] функции f (ϕ) назовем
1 − r
2π
1 − 2r cos(θ − ϕ)+r
0
2
=1+2
2
1 − r
∞
k=1
2
f(θ)dθ
2
rncos k(ϕ − θ).
93
2π
ˆ
(ϕ)=
f
k
1
cos k(θ − ϕ)f(θ)dθ.
2π
0
Для обратного преобразования Фурье на отрезке [0, 2π] имеем выра-
жение
∞
k
k=1
ˆ
r
.
f
k
f(ϕ)=ˆf
+ lim
0
r→1
2
Рассматривая интегральную формулу Пуассона для полуплоскости,
получаем соответствующий континуальный аналог: интегральным преобразованием Фурье на действительной оси функции f (x) назовем
∞
ˆ
f(x, λ)=
1
cos λ(x − ξ)f (ξ)dξ.
π
−∞
Для обратного преобразования Фурье на действительной оси имеем
выражение
∞
−λy
ˆ
e
f(x) = lim
y→0
f(x, λ)dλ.
0
Пусть V − ограниченная звездообразная относительно начала коор-
n
динат область из R
, граница которой S- регулярная по Ляпунову по-
верхность [17]. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа:
Δu =0,x ≡ (x
u(x)=f(ξ),ξ ∈ S, (7.2)
lim
x→ξ
, ..., xn) ∈ V (7.1)
1
для произвольной непрерывной на поверхности S функции f = f (ξ).
Метод функций Грина [17] позволяет выразить решение задачи Дирихле
(7.1),(7.2) в форме поверхностного интеграла
u(x)=
G(x, ξ)f(ξ)dSξ, (7.3)
S
где G(x, ξ) - функция Грина.
94
Заметим, что область V допускает параметризацию
V = {x : x = rη; η ∈ S, 0 ≤ r<1}.
При этом оператор Лапласа запишется в виде:
1
1
здесь Δ
Δu ≡
η
- оператор Лапласа на поверхности S, а
η
∂
2
n−1
r
∂r
2
= η
η
n−1
(r
2
+ ... + η
1
∂u
∂r
1
Δηu, (7.4)
)+
2
r
2
.
n
Рассмотрим функцию Грина G(rη, ξ). Как известно, эта функция
вещественно- аналитична по всем своим аргументам [17], в частности,
она аналитична по r. Запишем разложение функции Грина в степенной
ряд по переменной r:
∞
G(rη, ξ)=
Gk(η, ξ)rk. (7.5)
k=0
В соответствии с интегральной формулой (7.3) имеем теорему разложения.
Теорема 7.1 Пусть функция f = f(η) определена и непрерывна на по-
верхности S, тогда для каждой точки η ∈ S, справедлива формула разложения
f(η) = lim
r→1
∞
k=1
k
r
Gk(η, ξ)f(ξ)dSξ. (7.6)
S
Интегральное тождество (7.6) позволяет ввести прямое и обратное конечные интегральные преобразования Фурье на поверхности S.
7.2 Прямое и обратное преобразования Фу-
рье на S
Определение 7.1. Конечным интегральным преобразованием Фурье на
поверхности S непрерывной функции f (ξ) назовем
[f](η)=
F
k
Gk(η, ξ)f(ξ)dSξ≡ˆfk(η). (7.7)
S
95
Обратным интегральным преобразованием Фурье на поверхности S назовем выражение
∞
r→1
k=1
k
ˆ
f
r
(η) ≡ f (η). (7.8)
k
−1
[ˆfk](η) = lim
F
k
Формулу (7.8) можно рассматривать, как формулу обобщенного суммирования Пуассона на поверхности S.
Теорема 7.2 Если функция f = f (η) дважды непрерывно дифференци-
руема на поверхности S, то справедливо тождество
[ξ2Δξ(f)](η)=−k(k + n − 2)ˆfk(η). (7.9)
F
k
Доказательство. Пусть функция u = u(rη) служит решением задачи
Дирихле (7.1),(7.2), т.е.
u(rη)=
Нетрудно заметить, что функция v(rη)=η
G(rη, ξ)f (ξ)dSξ. (7.10)
S
2
Δη[u](rη) является решением
задачи Дирихле
Δv =0,x ≡ (x
v(x)=ξ2Δξ[f](ξ),ξ ∈ S.
lim
x→ξ
, ..., xn) ∈ V
1
Другими словами, выполняется тождество:
2
Δη[u](rη)=
η
G(rη, ξ)ξ2Δξ[f](ξ)dSξ. (7.11)
S
Вместе с тем, из интегрального представления (7.10) следует равенство
2
Δη[u](rη)=
η
η2Δη[G](rη, ξ)f (ξ)dSξ. (7.12)
S
Воспользовавшись гармоничностью функции u, имеем равенство
96
η2Δη[u](rη)=−
r
n−3
∂
∂r
(r
n−1
∂u
∂r
).
1
Приравняем правые части в формулах (7.11) и (7.12):
G(rη, ξ)ξ2Δξ[f](ξ)dSξ= −
S
1
n−3
∂
∂r
r
r
S
n−1
∂G
(rη, ξ)f (ξ)dS
∂r
.
ξ
Применив разложение функции Грина в ряд (7.5),получаем требуемое
тождество.
3
Пример 7.1. Пусть поверхность S есть единичная сфера из R
. Опе-
ратор Лапласа на сфере принимает вид
Δu =
1
sin θ∂∂θ
sin θ
∂u
∂θ
+
1
sin2θ
∂
∂ϕ
2
u
,
2
где (θ, ϕ) - сферические координаты. Функция Грина задачи Дирихле
для шара имеет вид
2
1 − r
,
3
/
2
здесь η, ξ = η
G (rη, ξ)=
+ η2ξ2+ η3ξ3. Ее разложение в ряд Тейлора записы-
1ξ1
1
4π
(1 − 2r η, ξ + r2)
вается в форме [17]
1
4π
при этом P
2
1 − r
3
/
(1 − 2r η, ξ + r2)
(η, ξ) - полиномы Лежандра [17].
k
2
∞
1
=
4π
(2k +1) Pk(η, ξ) , (7.13)
k=0
Конечным интегральным преобразованием Фурье на сфере S непрерывной функции f (ξ) назовем
[f](η)=
F
k
(2k +1)
4π
Pk(η, ξ) f (ξ)dSξ≡ˆfk(η). (7.14)
S
Обратным интегральным преобразованием Фурье на сфере S назовем
выражение
−1
[ˆfk](η) = lim
F
k
r→1
∞
k=1
k
ˆ
f
r
(η) ≡ f (η). (7.15)
k
97
Основное тождество интегрального преобразования оператора Лапласа
на сфере имеет вид
(f)](η)=−k(k +1)ˆfk(η).
F
k[Δξ
98
Глава 8
Преобразования Фурье с
неразделенными переменными
на некомпактных поверхностях.
8.1 Постановка задачи
Будем считать, что неограниченная область V из R
границу S, если
V ='(x
где ρ - функция класса C
регулярная по Ляпунову поверхность [17]. Рассмотрим задачу Дирихле
для уравнения Лапласа:
для произвольной непрерывной на поверхности S функции f = f (ξ, η) ,
удовлетворяющей условиям регулярности на бесконечности:
, ..., xn,y) ∈ R
1
S ='(x, y) ∈ R
Δu =0, (x, y) ≡ (x
lim
u(x, y)=f(ξ, η), (ξ, η) ≡ (ξ1, ..., ξn,η) ∈ S, (8.2)
(x,y)→S
n+1
: y>ρ(x1, ..., xn) ,x ∈ R
1(Rn
) . Поверхность
n+1
99
: y = ρ (x)(−
, ..., xn,y) ∈ V (8.1)
1
n+1
имеет гладкую
(
n
f → 0,r→∞rn|gradf| <c, r→∞r = ξ2+ η
2
(8.3)
где c- некоторая постоянная. В случае известной функция Грина
G(x, y;ξ,η) [17] решение задачи Дирихле (8.1),(8.2) можно выразить в
форме поверхностного интеграла
u(x, y)=
G(x, y;ξ,η)f(ξ, η)dS
S
, (8.4)
ξ,η
Заметим, что областьV допускает параметризацию
V ={(x ,y ):(x ,y)=(p,q + τ ), (p, q) ∈ S, τ > 0}. (8.5)
При этом оператор Лапласа запишется в виде:
2
u
∂
+Δ
u, (8.6)
p,q
здесь Δ
Δu ≡
- оператор Лапласа на поверхности S.
p,q
∂τ
2
Рассмотрим функцию Грина G(p, q + τ ; ξ, η). Как известно, эта функ-
ция вещественно- аналитична по всем своим аргументам [17], в частности, она аналитична по τ. Запишем представление функции Грина в виде
интеграла Лапласа:
∞
−λτG∗
Здесь G
G(p, q + τ ; ξ, η)=
∗
(p, q;ξ,η;λ) - оригинал Лапласа функции G(p, q + τ ; ξ, η). В со-
e
0
(p, q;ξ,η;λ) dλ, (8.7)
ответствии с интегральной формулой (8.4) имеем теорему разложения.
Теорема 8.1 Пусть функция f = f(ξ,η) определена и непрерывна на
поверхности S, тогда для каждой точки (p, q) ∈ S, справедлива формула
разложения
f(p, q) = lim
τ→0
0
e
−λτ
⎝
G∗(p, q;ξ,η;λ)f(ξ,η)dS
S
⎛
∞
⎞
⎠
dλ. (8.8)
ξ,η
Интегральное тождество (8.8) позволяет ввести прямое и обратное интегральные преобразования Фурье на некомпактной поверхности S.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]