Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
Nki=
k
β
1i
k
β
2i
k
α
1i
,T
k
α
2i
Матричнозначную функцию ϕ
(x, p)=e
ϕ
1
δ
=
ki
δ
определим равенством:
1
A
k
γ
1i
k
γ
2i
−1
(x−l1)√p
1
k
1i
,k=
k
2i
;
1,n; i = 1, 2.
другие матричнозначные функции ϕ
,k= 2,n+1определяются после-
k
довательно по индукции с помощью условия:
k
+ γ
α
m2
k
=
α
m1
+ γ
k
m1
d
p
dx
Считая известной матрицу ϕ
ϕ
=
k+1
Аналогично, матричнозначная функция ψ
(x, p)=e
ψ
n+1
ψ
,...,ψ1определяются последовательно по индукции с помощью
n,ψn−1
условия:
chA
−A
=
−1
k+1
−1
n+1
(x −lk)√p
(x−lk)√p
k
α
m1
k
α
m2
Считая известной матрицу ψ
ψ
=
k
chA
−1
(x −lk)√p
k
d
k
p
m2
dx
k
+β
m1
, для матрицы ϕ
k
A
+ δ
k+1
+β
k
m1
shA
k
+ δ
m2
p
ϕk,x= lk,k= 1,n . (1.8)
−1
(x−lk)√p
k+1
√
p
n+1
, другие матричнозначные функции
d
k
+ γ
p
m1
dx
d
k
+ γ
p
m2
dx
,k= 1,n; m = 1, 2.
x = l
k
, для матрицы ψkполучим выражение
k+1
AkshA
+β
+β
−1
(x−lk)√p
k
√
p
k
m1
k
m2
+ δ
+ δ
k
p
ϕ
=
m2
k+1
получим выражение
k+1
k2
−1
M
ϕ
k1
ϕ
M
k(lk
/
k
определяется условием
k
p
ψk=
m1
k
p
m2
M
k1
, (1.9)
ψ
k+1
−1
M
k2
ψ
k+1(lk
/
ψ
k+1
(lk)
(lk)
)
)
.
.
Далее, матрицы Ω
(ξ,√p)=
Ω
k
-размера 2r × 2r определены соотношениями:
k
√
ξ,
ϕ
ϕ
pψ
k
√
/
ξ,
pψ
k
√
ξ,
p
k
√
/
ξ,
k
,k=
p
1,n+1.
11
Лемма 1.1 Определители det Ωk,k= 1,n+1 не зависят от пере-
менной x. Если матрицы N
,Tki,k= 1,n; i = 1, 2 - положительно
ki
определенные, т.е.
∗
ω
и, если det M
Nkiω>0,ω∗Tkiω>0,ω∈ R
≡ Cki=0, то выполнено условие неограниченной разре-
ki
n
,k= 1,n; i = 1, 2
∗
шимости задачи:
для p = σ + iτ c Rep = σ ≥ σ
det Ω
,Jmp = τ ∈ (−∞, ∞),
0
=0,k= 1,n+1. (1.10)
k
Лемма 1.2 .Ограниченное на множестве I
стемы (1.5)-(1.7) имеет вид
∗
(p, x)=
U
j
l
m+1
n
=
m=0
⎛⎝
·
здесь через H
:
H
j,s
∗
H
l
m
γ
γ
(p, x, ξ)¯f
j,m+1
/
m
11
m
21
f
m
/
f
m
(lm)+δ
(lm)+δ
m
11
m
21
m, j =
∗
обозначены образы матричнозначных функций влияния
j,s
(ξ) dξ + ϕj(EO)
m+1
−1
=Ω
P
m
m
fm(lm)−γ
fm(lm)−γ
1,n; P0=0,P
−1
M
·
m1
/
m
f
m+1
12
/
m
f
m+1
22
n+1
при k<s
∗
= ϕk(x, p)(EO)Ω
H
k,s
−1
s
(ξ,p)
O
,l
E
k−1
решение сепаратной си-
n
n+1
Pm− ψj(OE)
)
⎞⎠
)
m=0
m=j
(lm)+δ
(lm)+δ
m
f
12
m
f
22
m+1(lm
m+1(lm
=0,
<x<lk,l
<ξ<ls,
s−1
j−1
Pm,
(1.11)
,
при k>s
∗
= −ψk(x, p)(OE)Ω
H
k,s
−1
s
(ξ,p)
O
,l
<x<lk,l
E
k−1
s−1
<ξ<ls,
12
при k = s
H
∗
k,k
⎧
⎪
⎪
(x, p)(EO)Ω
ϕ
⎨
k
=
⎪
⎪
⎩
(x, p)(OE)Ω
−ψ
k
−1
k
(ξ,p)
−1
k
(ξ,p)
O
,l
<x<ξ<lk,
E
k−1
O
,l
<ξ<x<lk.
E
k−1
Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся в выполнении каждого из условий (1.5)- (1.7). Приступим к определению функций
влияния H
∗
.Конструкция образов Лапласа функций влияния H
j,s
j,s
∗
тако-
ва, что их особыми точками являются точки ветвления p =0и p = ∞.
В силу леммы Жордана и теоремы Коши [29] находим, что
(t, x, ξ)=−
H
ks
∞
1
ϕk(x, λ)(EO)Ω
πi
0
k, s =
−1
s
1,n+1.
(ξ,λ)
O
−λ2t
e
E
λdλ, (1.12)
Возвращаясь в формулах (1.11) к оригиналам, получим решение задачи
(1.1)-(1.4) в виде:
⎛
⎝
n
m=0
−1
m
l
m+1
l
m
m
12
m
22
(ξ,λ)
ϕk(x, λ) ϕ
−1
(lm,λ) M
m
/
f
(lm)+δ
m+1
/
f
(lm)+δ
m+1
O
E
∗
(ξ,λ)f
m+1
−1
(λ) · (1.13)
m1
m
f
m+1(lm
12
m
f
m+1(lm
22
−2
A
,m= 1,n+1.
m
m+1
(ξ) dξ+
)
⎞⎠⎞⎠
)
e
−λ2t
λdλ,
⎛⎝
·
где
U
m
γ
11
m
γ
21
(t, x)=−
k
+
/
f
(lm)+δ
m
/
f
(lm)+δ
m
∗
(ξ,λ)=(EO)Ω
ϕ
m
∞
1
πi
−∞
n
ϕk(x, λ)(EO)Ω
m=1
m
fm(lm)−γ
11
m
fm(lm)−γ
21
13
1.2 Прямая и двойственная задачи Штурма-
Лиувилля для оператора Фурье в I
n
Рассмотрим краевую задачу Штурма-Лиувилля
(x, λ)=
y
m
=
x = l
⎛
⎜
⎝
2
d
+ A
2
dx
k
α
m1
k
α
m2
, y1|
k
y
(x, λ)
1m
.
.
.
(x, λ)
y
rm
−2
m
− λ2γ
− λ2γ
2
λ
m1
⎞
⎟
⎠
(x, λ)=0,m= 1,n+1, (1.14)
y
m
k
k
m2
x=−∞
, y
d
+β
dx
d
+β
dx
< ∞, y
=y
m
k
m1
− λ2δ
k
m2
2
1m
− λ2δ
k
m1
k
m2
|
n+1
x=∞
+ ... + y
y
=
k
y
k+1
< ∞,
2
,m= 1,n+1.
rm
,
Пусть при некотором λ, рассматриваемая краевая задача имеет нетривиальное решение
n+1
y (x,λ)=
θ (x − l
k=2
) θ (lk− x) yk(x, λ)+ θ (l1− x) y1(x, λ)(x,λ).
k−1
В этом случае число λ называется собственным значением, а соответствующее решение y (x, λ) - собственной вектор- функцией.
Теорема 1.1 . Спектр задачи (1.14) непрерывен и заполняет всю ось
(−∞, ∞). Задача Штурма- Лиувилля r раз вырождена, т.е. каждому
собственному значению λ соответствует ровно r линейно независи-
j
мых собственных вектор- функций y
(x, λ)=
⎛
⎜
⎝
ϕ
1j
.
.
.
ϕ
rj
(x, λ)
(x, λ)
⎞
⎟
⎠
,j =
1,r.
Рассмотрим двойственную краевую задачу Штурма-Лиувилля
y
∗
m
(ξ,λ)
2
d
+ A
2
dx
−2
m
2
λ
=0,m=
1,n+1,
14
=y
∗
, −
y
k
∗
, −
k+1
1,n+1, y
k =
dξ
k
d
∗
y
k
dξ
d
∗
y
k+1
∗
1
β
β
11
12
β
β
|
k
− δ
− δ
k
− δ
21
k
− δ
22
ξ=−∞
k
11
k
12
λ2α
λ2α
k
λ2α
21
k
λ2α
22
< ∞,
k
− γ
11
k
− γ
12
k
− γ
21
k
− γ
22
y
∗
n+1
−1
k
2
λ
11
k
λ
12
k
λ
21
k
λ
22
= (1.15)
2
−1
2
,ξ = lk,
2
< ∞.
ξ=∞
Решение рассматриваемой краевой задачи будем записывать в виде
n+1
∗
y
(ξ,λ)=
k=2
y
y
m
∗
m
θ (ξ − l
∗
(ξ,λ)=
=(y
) θ (lk− ξ) y
k−1
∗
y
(ξ,λ) ··· y
m1
∗
)2+ ... +(y
1m
∗
(ξ,λ)+θ (l1− ξ) y
k
(ξ,λ)
∗
mr
∗
)2,m= 1,n+1.
rm
∗
(ξ,λ),
1
,
Теорема 1.2 . Спектр задачи (1.15) непрерывен и заполняет всю ось
(−∞, ∞). Задача Штурма-Лиувилля r раз вырождена, т.е. каждому
собственному значению λ соответствует ровно r линейно независимых
собственных строк- функций
∗j
(ξ,λ)=
y
∗
ϕ
(ξ,λ) ··· ϕ
j1
∗
jr
(ξ,λ)
,j =
1,r.
1.3 Теоремы разложения по собственным функ-
циям оператора Фурье в I
n
В силу начальных условий из (1.13) получаем интегральное представление:
⎛⎝
·
f
γ
γ
(x)=−
j
/
k
f
11
k
/
k
f
21
k
(lk)+δ
(lk)+δ
∞
1
ϕj(x, λ)
πi
−∞
n
+
k=1
k
fk(lk)−γ
11
k
fk(lk)−γ
21
⎛
⎝
(E 0) Ω
k=0
−1
k1
k
12
k
22
n
/
f
k+1
/
f
k+1
l
k+1
∗
ϕ
k+1
l
k
(lk,λ) M
(lk)+δ
(lk)+δ
(ξ,λ) f
−1
(λ)·
k1
k
f
12
k
f
22
k+1
k+1(lk
k+1(lk
(ξ) dξ+
)
⎞⎠⎞⎠
)
λdλ,
(1.16)
15
j = 1,n+1.
Интегральное представление (1.16) приводит к интегральному представлению меры Дирака [65]
∞
δ (x − ξ) E = −
k
k
γ
δ
21
·
21
k
k
γ
δ
22
22
1
πi
λϕ (x, λ)ϕ∗(ξ,λ)+
−∞
δ
+
/
δ
+
(ξ − lk)
(ξ − lk)
−
n
(EO)Ω
k=1
k
γ
11
k
γ
12
k
δ
11
k
δ
12
(ξ − lk)
δ
−
/
(ξ − lk)
δ
−
−1
(lk,λ) M
k1
−1
k1
(λ)·
(1.17)
λdλ,
где
n+1
∗
(ξ,λ)=
ϕ
k=2
θ (ξ − l
) θ (lk− ξ) ϕ
k−1
∗
(ξ,λ)+θ (l1− ξ) ϕ
k
∗
(ξ,λ).
1
Справедливы утверждения.
Теорема 1.3 . Если вектор- функция f(x) определена, кусочно- непре-
рывна, абсолютно суммируема и имеет ограниченную вариацию на I
то для каждого x ∈ I
1
[f (x −0) + f (x +0)]=−
2
справедливо интегральное представление
n
∞
1
λϕ (x, λ)ˆf (λ) dλ, (1.18)
πi
−∞
,
n
где
⎛⎝⎛⎝
·
ˆ
f (λ)=
γ
γ
k
11
k
21
/
f
k
/
f
k
∞
ϕ∗(ξ,λ) f (ξ) dξ +
−∞
(lk)+δ
(lk)+δ
k
fk(lk)
11
k
fk(lk)
21
⎞⎠
n
(EO)Ω
k=1
⎛⎝
γ
−
γ
−1
(lk,λ) M
k1
/
k
f
(lk)+δ
12
k+1
/
k
f
(lk)+δ
22
k+1
k
12
k
22
−1
k1
f
k+1(lk
f
k+1(lk
(λ)·
)
)
⎞⎠⎞⎠
.
Теорема разложения в терминах спектральной функции формулируется
следующим образом.
16
Теорема 1.4 .Если вектор-функцияˆf =ˆf (λ) определена, кусочно- непрерывна, абсолютно суммируемая и имеет ограниченную вариацию
на (-∞, ∞), то для x ∈ (−∞, ∞) справедливо интегральное представление:
⎛
+∞
1
ˆ
f (λ −0) +ˆf (λ +0) = −
2
−1
(λ) ·
·M
k1
⎛⎝
−
k
γ
12
k
γ
22
⎛⎝⎛⎝
/
f
k+1
/
f
k+1
1
⎝
πi
−∞
k
γ
11
k
γ
21
(lk)+δ
(lk)+δ
ϕ∗(x, λ) f (x) dx +
/
f
k
/
f
k
k
12
k
22
(lk)+δ
(lk)+δ
f
k+1(lk
f
k+1(lk
k
fk(lk)
11
k
fk(lk)
21
)
⎞⎠⎞⎠⎞⎠
)
⎞⎠
k=1
dλ,
n
(EO)Ω
−
−1
(lk,λ) ·
k1
где
f (x)=
+∞
ϕ (x, β)ˆf (β) βdβ.
−∞
Доказательство. Введем пару матричнозначных решений задачи ШтурмаЛиувилля (1.14):
n+1
(c, s)=
θ (x − lm) θ (l
m=2
− x)(cm,sm)+θ (l1− x)(c1,s1) ,
m
+1
удовлетворяющих начальным условиям
c
c
Матрицы m
(λ) и m2(λ) определим из условий:
1
+ m1(λ) s1= ϕ1; c
c
1
Выберем два числа N
l
1
∗
ϕ
(x, λ) ϕ1(x, β)dx +
1
N
2
) s1(l1)
1(l1
/
(l1) s
1
1>lnиN2<l1(N2
=
/
(l1)
1
n+1
n−1
m=1
EE
iλE −iλE
+ m2(λ) s
<0). Изучим выражение
l
m+1
∗
ϕ
(x, λ) ϕ
m+1
l
m
n+1
.
= ψ
m+1
.
n+1
(x, β)dx+
17
N
1
∗
+
ϕ
(x, λ) ϕ
n+1
l
n
n+1
(x, β)dx.
Непосредственным вычислением правой части с использованием свойств
∗
и ϕ
матричнозначных функций ϕ
1
∗
ϕ
(x, λ) ϕk(x, β)=
k
λ2− β
d
2
dx
найдем:
k
k
∗
ϕ
k
(x, λ) ·
dϕ
(x, β)
k
dx
∗
(x, λ)
dϕ
k
−
dx
ϕ
k
(x, β);
тогда выполнено равенство
N
1
ϕ∗(x, λ) ϕ(x, β)dx =
N
2
+
λ2− β
= −
λ2− β
1
1
∗
(N2,λ)
ϕ
1
2
∗
(N1,λ)
ϕ
n+1
2
dϕ
dϕ
n+1(N1
1(N2
dx
dx
,β)
,β)
∗
(N2,λ)
dϕ
1
−
−
dϕ
∗
n+1
dx
(N1,λ)
dx
ϕ
1(N2
ϕ
,β)+
n+1(N1
,β).
(1.20)
Все остальные слагаемые исчезли вследствие условий сопряжения из
(1.14). Изучим оба слагаемых в формуле (1.20).
Непосредственным вычислением для первого слагаемого в формуле
(1.20) найдем
∗
ϕ
1
(N2,λ)
dϕ
1(N2
dx
=(E 0) Ω
,β)
−1
1
−
(λ)
dϕ
∗
(N2,λ)
1
dx
ϕ
1(N2
/
ϕ
(N2,β)
1
Функции c, s определены таким образом, что
∗
dϕ
dϕ
1
∗
ϕ
−
1
dx
dx
1
ϕ
E0
=
1
(x, β)
·ˆΩ
1
EE
(λ) m2(λ)
m
1
EE
(β) m2(β)
m
1
18
ϕ
,β)
,β)=
1(N2
.
−1
−1
ˆ
Ω
(x, λ) ·
1
E
, (1.21)
0
где
ˆ
=
Ω
j
c
jsj
/
c
j
1,n+1.
,j=
/
s
j
Заметим, что условие (1.10) позволяет утверждать, что
=0,λ∈ (−∞, ∞).
det
EE
(λ) m2(λ)
m
1
Непосредственным вычислением установим тождество:
−1
ˆ
Ω
(N2,λ)ˆΩ1(N2,β)=
1
!
2
−
!
.
2
= −
−
A
0 −iA
2iλ
A
2iλ
1
1
−1
−iA
(λ −β) e
1
−1
(λ + β) e
−iA
1
0 −iA
iA
−iA
−1
1
(λ−β)N
−1
(λ−β)N
1
−1
(λ −β) e
2
1
0
2
0
−1
(λ + β) e
1
−iA
iA
−1
1
−1
1
(λ+β)N
(λ−β)N
(1.22)
На основании леммы Римана [60], слагаемое в формуле (1.20) соответствующее первому слагаемому в формуле (1.22) имеет пределом при
→∞число нуль . Изучим слагаемое в формуле (1.20) отвечающее
N
2
второму слагаемому в (1.22). Прежде преобразуем это слагаемое:
(λ−β)N
−1
(λ−β) N2−E
1
λ−β
!
2
⎞
⎠
=
2
!
+
+
(λ −β)
EO
OE
. (1.23)
+
=
−i sin A
0
λ−β
⎛
⎝
cos A
0
−1
(λ−β) N
1
−1
−iA
1
e
λ−β
0
−1
(λ−β) N2−E
1
λ−β
2
(λ−β)N
0
i sin A
2
0
e
−1
(λ−β) N
1
λ−β
−1
iA
1
0
cos A
λ−β
Совершенно аналогично разложим второе слагаемое в формуле (1.20) на
три слагаемых. В итоге правая часть формулы (1.20) представлена как
сумма шести слагаемых.
19
Так как функцияˆf =ˆf (λ) непрерывная, абсолютно интегрируемая
на (-∞, ∞), то леммы Римана и Дирихле [60] позволяет сделать вывод о
том, что вклад первого и четвертого слагаемых равен нулю.
Далее вклад в величину предела второго и пятого слагаемых в формуле (1.20) равенˆf (β) ,β∈ (−∞, ∞) .Для того, чтобы подсчитать ве-
личину вклада в предел третьего и шестого слагаемых, воспользуемся
равенством [29]:
c
d
λ −β
ˆ
f (λ)
dλ ≡ T
(β) ,β∈ [c, d] .
ˆ
f
lim
N→∞
d
1 −cos A−1(λ −β) N
c
λ −β
ˆ
f (λ) dλ = v.p.
Заключаем, что общий вклад указанных слагаемых в величину предела
в (1.20) равен:
(β)+
1
EE
(β) m2(β)
m
2
1
1
T
−
ˆ
f
2
−1
EE
m
(β) m2(β)
1
T
(β)=0.
ˆ
f
Теорема доказана.
1.4 Основное тождество интегрального пре-
образования
оператора Фурье в I
Интегральное представление меры Дирака (1.17) порождает прямое F
обратное F
деления по правилам:
F
n
⎛⎝
·
−1
преобразования типа Фурье на декартовой оси с n- точками
n
[f](λ) ≡ˆf (λ)=
/
m
f
(lm)+δ
γ
m
11
/
m
f
(lm)+δ
γ
m
21
−1
ˆ
F
f (x) ≡ f (x)=−
n
∞
ϕ∗(ξ,λ)f (ξ) dξ +
−∞
m
fm(lm)−γ
11
m
fm(lm)−γ
21
n
n
n
(EO)Ω
m=1
/
m
f
(lk)+δ
m+1
12
/
m
f
(lk)+δ
m+1
22
∞
1
λϕ (x, λ)ˆf (λ) dλ. (1.25)
πi
−∞
m
12
m
22
−1
m
f
m+1(lk
f
m+1(lk
(lm,λ) M
)
⎞⎠
)
−1
(λ)·
m1
, (1.24)
и
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]