Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
σ0+iN
= lim
N→∞
1
2πi
σ0−iN
e
pt
˜
H
m+1,m+1
(p, x, ξ) dp. (2.14)
Применив лемму Дирихле [65], теорему Коши [29] и формулу разложения для классического преобразования Фурье [60], для интеграла в
правой части формулы (2.14) будем иметь:
e
f
−λ2t
˜
m+1
l
m+1
l
m
i2dλ
(ξ)=
e
−∞
−1
A
m+1
∞
A
m+1
xλi
λ
−1
A
xλie−A
m+1
e
(ξ) ,ξ∈ [lm,l
f
m+1
0,ξ/∈ [l
−1
−A
m+1
e
−1
m+1
m,lm+1
ξλiA−2
ξλiA−1
m+1
] .
m+1
m+1
˜
f
]
f
m+1
m+1
(ξ) dξ =
(ξ) dξ,
m+1
∞
1
−λ2t
e
1
4πi
i2λdλ
∞
0
4πi
0
=
где
Считая, для сокращения записей, все собственные числа матрицы A
простыми, по формуле Фурье для всего пространства R [60] находим, что
для вектор- функции f (ξ), удовлетворяющей условию теоремы справед-
ливо представление
lim
t→0
2π
∞
1
−λ2t
e
−∞
dλ
−∞
∞
−1
A
m+1
e
xλie−A
−1
m+1
ξλiA−1
m+1
ˆ
f
m+1
(ξ) dξ =
=˜f
m+1
(x)=f
(x) ,x∈ (lm,l
m+1
) ,m= 0,n.
m+1
Внеинтегральные члены в представлении (2.13) имеют своим пределом
нуль. Таким образом,
l
σ0+i∞
m+1
σ0−i∞
∗
eptH
m+1,m+1
l
m
(p, x, ξ) dpA
<x<l
l
m
l
m+1
l
m
−2
f
(ξ) dξ = f
m+1
m+1
m+1
f
(ξ) dξ при m = 0,nгаранти-
m+1
m+1
(x).
1
lim
t→0
2πi
Абсолютная сходимость интегралов
рует равномерную сходимость внутреннего интеграла в формуле (2.14),
что в свою очередь позволяет перенести предел под знак интеграла.
31
Докажем, что все остальные интегралы в формуле (2.13) имеют пределом 0. Для этого воспользуемся описанным выше методом. Для изображений функций влияния при 1 ≤ j<m+1 имеем асимптотику:
H
∗
j,m+1
(p, x, ξ) ∼
l
j−1
1
qj(x−lj)
e
2
<x<lj,lm<ξ<l
−1
q
j
−qj(ξ−lm)
e
m+1
≡˜H
.
j,m+1
;
Аналогично, при j>m+1:
H
∗
j,m+1
(p, x, ξ) ∼
l
j−1
1
−qj(x−lj)
e
2
<x<lj,lm<ξ<l
−1
q
(ξ−lm)
m+1
q
e
j
m+1
.
≡˜H
j,m+1
;
В случае j<m+1имеем:
lim
N→∞
1
2πi
σ0+iN
σ0−iN
eptH
∗
(p, x, ξ) dp = lim
j,m+1
N→∞
1
2πi
σ0+iN
σ0−iN
pt
˜
H
e
j,m+1
(p, x, ξ) dp.
По лемме Дирихле и теореме Коши [29] для соответствующего слагаемого в правой части формулы (2.13) получим:
∞
1
4πi
0
e
−λ2t
2
i
λ
Для сокращения письма считаем все собственные числа матриц A
λdλ
−∞
∞
e
A
−1
(x−lj) λi
j
Aje
−A
−1
m+1
(ξ−lm) λiA−2
m+1
ˆ
f
m+1
(ξ) dξ.
j,Am+1
простыми. Применим формулы Фурье для всего пространства [60] к элементу
матрицы
e
где a
− k-е собственное число матрицы Aj,
k,j
− i-е собственное число матрицы A
a
i,m+1
ˆ
f
(ξ) ,q − компонента вектораˆf (ξ) ,k= 1,r, i= 1,r, q = 1,r.
q
В силу определения функцииˆf
∞
1
lim
t→0
2πi
0
−1
A
j
e
a
e
(x−lj) λi
−λ2t
−1
(x−lj) λi
k,j
dλ
−∞
Aje
∞
e
a
−A
−1
k,j
−a
e
−1
m+1
(x−lj) λ
−1
(ξ−lm) λi
i,m+1
(ξ−lm) λiA−2
(ξ) ,имеем:
q
−1
−a
i,m+1
e
ˆ
f
(ξ) ,
q
f
m+1
m+1
(ξ−lm) λi
ˆ
m+1
;
(ξ) ,
ˆ
(ξ) dξ =0,
f
q
32
x ∈ (l
) ,j = 1,m+1.
j−1,lj
Последнее равенство позволяет заключить, что для x ∈ (l
ξ ∈ (l
) соответствующий предел в представлении (2.13) равен ну-
m,lm+1
лю:
l
σ0+i∞
m+1
σ0−i∞
∗
eptH
l
m
j,m+1
(p, x, ξ) dpA
−2
m+1
f
(ξ) dξ =0 .
m+1
lim
t→0
1
2πi
j−1,lj
) ,
Равномерная сходимость внутреннего интеграла гарантирована в виду
l
m+1
f
абсолютной сходимости
l
m
(ξ) dξ при m = 1,n.
m+1
Таким образом, в формуле (2.13) можно перейти к пределу под знаком интеграла. Вновь применив лемму Дирихле [65], теорему Коши [29]
делаем вывод о равенстве:
+γ
·
f (x)=−
0
f1(l0)+δ
11
k
γ
21
k
γ
22
∞
1
u (x, λ)
πi
0
/
0
f
(l0)+
1
11
k
δ
21
k
δ
22
f
k+1(lk
/
f
k+1
(lk)
k=1
−
)
⎛
⎝
n
0
ϕ
1
∞
u∗(ξ,λ) · f (ξ) dξ+
l
0
(λ) ,0ψ1(λ)Ω
k
γ
11
k
γ
12
k
δ
11
k
δ
12
−1
(lk,λ) M
k
f
k(lk
/
(lk)
f
k
)
k1
−1
(λ) ·
λdλ.
Теорема доказана.
Приведем формулировку теоремы разложения в терминах спектральной функции.
Теорема 2.4 .Пусть вектор- функцияˆf =ˆf (λ) определена на множестве [0, ∞), кусочно- непрерывная, абсолютно интегрируемая и имеет
ограниченную вариацию на [0, ∞). Тогда для λ ∈ [0, ∞) справедливо интегральное представление:
1
ˆ
f (β − 0) +ˆf (β +0) = −
2
πi
⎛
1
⎝
lim
N→∞
N
u∗(x, β)f (x) dx+
l
0
33
n
k=1
−
∞
0
ϕ
(β) ,0ψ1(β)Ω
1
k
k
δ
γ
11
11
k
k
γ
δ
12
12
−1
(lk,β) M
k
f
k(lk
/
(lk)
f
k
)
u (x, λ)ˆf (λ) λdλ (2.16)
0
+γ
·
0
f1(l0)+δ
11
k
γ
δ
21
k
γ
δ
22
k
21
k
22
0
11
/
f
(l0)+
1
f
k+1(lk
/
f
k+1
f (x)=
)
(lk)
Доказательство. Из леммы 2.1 следуют два тождества:
−1
(β) ·
k1
, (2.15)
1
λ2− β
2
·u
∗
u
k
=
∗
1
(x, λ)
0
ϕ
1
d
dx
0
u1(l0,β)+δ
11
d
uk(x, β) −
dx
u
1(l0
(l0,λ)
= γ
(λ) ,0ψ1(λ)Ω
,β) −
−1
k
Таким образом, получаем равенство:
N
u∗udx +γ
l
0
·
=
λ2− β
0
u1(l0,β)+δ
11
=
2
k
δ
21
k
δ
22
1
λ2− β
0
ϕ1,0ψ
2
1
u
k+1(lk
/
u
k+1
0
ϕ1,0ψ
Ω
k
γ
21
k
γ
22
1
(lk,β)
−1
n+1
0
11
1
/
u
(l0,β)+
1
−
,β)
−1
Ω
n+1
(N,λ)Ω
d
∗
u
(l0,λ) u1(l0,β)=
1
dx
/
0
u
(l0,β) ,
1
11
d
∗
u
(x, λ) uk(x, β)=
k
dx
u
n
k=1
k
γ
11
k
γ
12
(N,β)
k
/
u
k
k
δ
11
k
δ
12
u
n+1
/
u
n+1
(x, λ)
(N,λ)
n+1
(x, β)
(x, β)
0
ϕ1,0ψ
(N,β)
(N,β)
⎛
ϕ
⎜
⎝
−0ψ1(β)
. (2.17)
−1
(λ) M
Ω
1
k
,β)
u
k(lk
/
(lk,β)
u
k
=
0
−1
(β)
1
−1
−1
k1
⎞
⎟
. (2.18)
⎠
(λ) ·
=
34
Для произвольных положительных чисел c,d и произвольной ограниченной суммируемой на [c, d] вектор- функцииˆf =ˆf(λ) найдем значение
выражения
⎛
d
N
−1
k
γ
γ
k
11
k
12
0
11
(λ) M
k
δ
11
k
δ
12
u1(l0,β)+δ
−1
(λ) ·
k1
u
(β)
k
/
u
(β)
k
⎝
λ
u∗(x, λ) u (x, β) dx +γ
l
0
n
+
k=1
k
δ
21
k
δ
22
u
(β)
k+1
/
u
(β)
k+1
0
ϕ1,0ψ
−
Ω
1
0
u
11
/
1
(l0,β)+
ˆ
f (λ) dλ.
πi
·
1
lim
N→∞
γ
γ
c
k
21
k
22
Если вектор- функцияˆf (λ) непрерывна, ограниченной вариации, абсо-
лютно интегрируема на [c,d], то ввиду (2.18) вычисляемый предел будет
равен:
ˆ
f (β) ,β∈ [c, d] ,
0,β/∈ [c, d] .
Если же вектор- функцияˆf =ˆf(λ) обладает указанными выше свой-
ствами на всей полуоси [0,∞), то:
1
ˆ
f (β − 0) +ˆf (β +0) = −
2
+γ
·
0
f1(l0)+δ
11
k
γ
21
k
γ
22
0
f
11
k
δ
21
k
δ
22
/
(l0)+
1
f
k+1(lk
/
f
k+1
(lk)
k=1
−
)
1
πi
n
0
ϕ
1
⎛
⎝
(β) ,0ψ1(β)Ω
k
γ
11
k
γ
12
lim
N→∞
δ
δ
N
u∗(x, β)f (x) dx+
l
0
−1
k
k
11
k
12
f
k(lk
f
k
/
(lk,β) M
)
(lk)
−1
(β) ·
k1
. (2.19)
Доказательство теоремы завершено.
35
2.3 Прямое F
интегральные преобразования Фурье на
действительной полуоси с n точками сопряжения
и обратное F
n+
−1
матричные
n+
Установленные теоремы разложения позволяют ввести прямое Fn+и обратное F
−1
матричные интегральные преобразования Фурье на действи-
n+
тельной полуоси с n точками сопряжения:
∞
·
F
n+
k
γ
21
k
γ
22
[f](λ)=
+
k=1
k
δ
21
k
δ
22
−1
ˆ
f (x)=−
F
n+
u∗(ξ,λ)f (ξ) dξ +γ
l
0
n
0
ϕ
(λ) ,0ψ1(λ)Ω
1
−
k+1(lk
/
(lk)
k+1
)
∞
1
πi
0
f
f
0
f1(l0)+δ
11
−1
k
k
γ
11
k
γ
12
(lk,λ) M
k
δ
11
k
δ
12
−1
k1
λu (x, λ)ˆf (λ) dλ ≡ f (x) , (2.21)
f
f
(λ) ·
k(lk
/
(lk)
k
0
11
f
)
/
(l0)+
1
≡ˆf (λ) ,
(2.20)
где
n
f (x)=
θ (lk− x) θ (x − l
k=1
) fk(x)+θ (x − ln) f
k−1
n+1
(x).
2.4 Основное тождество интегрального пре-
образования
оператора Фурье в I
+
n
Теорема 2.5 .Если вектор- функция
n
f (x)=
θ (x − l
k=1
) θ (lk− x)fk(x)+θ (x − ln) f
k−1
36
n+1
(x),
трижды непрерывно дифференцируемая на множестве I
+
, обладающая
n
вместе со своими производными до третьего порядка включительно
предельными значениями
(m)
(l
f
k
) = lim
k−1
x→l
k−1
+0
(m)
f
(x) ,m=0, 1, 2, 3; k = 1,n+1
k
удовлетворяет краевому условию на бесконечности
lim
x→∞
∗
u
(x, λ)
d
f (x) −
dx
d
∗
(x, λ) f (x)=0
u
dx
то имеет место основное тождество интегрального преобразования
дифференциального оператора B:
[B (f)] (λ)=−λ
F
n+
//
0
где
−γ
"
·
−
11
B =
2
A
f
(l0)+δ
1
1
k
k
α
β
21
21
k
k
β
α
22
22
k
α
β
11
k
β
α
12
n
j=1
k
11
k
12
A
2
j
0
A
11
f
f
f
f
θ (x − l
Доказательство.ДляF
[B (f)] (λ)=
F
n+
//
0
+γ
2
A
f
(l0)+δ
1
11
1
0
2
A
f
11
1
2
ˆ
f (λ) −'β
///
2
f
(l0)(−
1
1
−
)
k+1(lk
/
(lk)
k+1
−
)
k(lk
/
(lk)
k
) θ (lj− x)
j−1
[B (f)] (λ) имеем:
n+
∞
l
0
k=1
1
///
(l0)−
γ
γ
γ
γ
n
k=1
k
21
k
22
k
11
k
12
d
dx
0
11
2
f1(l0)+α
0
ϕ
,0ψ
1
k
δ
21
k
δ
22
k
δ
11
k
δ
12
+ θ (x −ln)
2
0
f
11
−1
Ω
k
1
2
A
k+1
2
A
k+1
2
f
A
k
2
A
f
k
u∗(ξ,λ)A2f//(ξ) dξ+
n
0
ϕ
(λ) ,0ψ1(λ)Ω
1
−1
k
/
(l0)−
1
(lk,λ) M
//
f
(lk)
k+1
///
f
(lk)
k+1
//
(lk)
k
///
(lk)
k
2
d
2
A
n+1
2
dx
(lk,λ) M
−1
(λ) ·
k1
!!
!!%
.
−1
k1
−
.
(2.22)
(λ) ·
37
"
k
γ
·
11
k
γ
12
k
δ
11
k
δ
12
//
2
A
f
k
k
///
2
f
A
k
k
(lk)
(lk)
!
k
γ
21
−
k
γ
22
k
δ
21
k
δ
22
//
2
A
f
k+1
k+1
///
2
f
A
k+1
k+1
(lk)
(lk)
!%
.
Вычисляя почленным интегрированием выражение в правой части, для
[B (f)] (λ) будем иметь:
F
n+
∞
1(l0
1
)
//
1
!
+ γ
1
)
−
)
2
)+α
−1
Ω
k
− M
(l0)+δ
−
0
2
λ
11
−1
Ω
k
−
u∗(ξ,λ)f (λ) dλ−
l
0
0
2
λ
11
−1
(λ) ·
k1
f
k+1(lk
/
(lk)
f
k+1
///
f
(l0)+
1
(lk,λ) M
k
δ
21
k
δ
22
0
+ δ
11
(lk,λ) M
k2
0
2
A
11
1
−1
k
k
γ
21
k
γ
22
f
)+α
1(l0
(lk,λ) M
γ
γ
k
γ
11
k
γ
12
−1
(λ) ·
k1
k
21
k
22
k
δ
21
k
δ
22
k
δ
11
k
δ
12
f
)
k1
0
11
/
(l0) +
1
−1
·
2
A
k+1
2
A
k+1
+ δ
2
A
k+1
2
A
k+1
2
f
A
k
2
f
A
k
11
k
k
+
0
//
///
f
f
λ
f
f
//
k+1
///
k+1
2
//
k+1
///
k+1
(lk)
(lk)
f
(lk)
(lk)
/
1
(lk)
(lk)
!!%
!%
=
(l0)(−
!
−
.
·
"
"
·
γ
γ
= −λ
−
F
n+
−β
·M
k
11
k
12
k
δ
11
k
δ
12
2
Fn+(f)(λ) −)β
k
k
α
β
21
21
k
k
β
α
22
22
k
k
α
β
11
11
k
k
β
α
12
12
[B (f)] (λ)=−λ
k=1
n
2
k
2
k
k=1
0
λ
11
n
f
f
0
11
//
f
k
///
f
k
n
f
k+1(lk
/
f
k+1
f
k(lk
/
f
k
2
k(lk
/
k
A
0
ϕ
1
(lk)
(lk)
f
0
ϕ
,0ψ
1
(lk)
2
f
1
(λ) ,0ψ1(λ)Ω
(lk)
0
11
0
ϕ
,0ψ
1
(lk)
0
+ γ
11
+
k1
+γ
+
k=1
A
A
−
Теорема доказана.
38
Глава 3
Матричные интегральные
преобразования Фурье для
(n +1)-слойного сегмента
3.1 Смешанная задача Штурма- Лиувилля
для оператора Фурье в I
n
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного в области
+
=(0, ∞) × In,In=x : x ∈
D
n+1
U
j=1
(l
j−1,lj
) ,l0≥ 0,l
n+1
= l<∞
решения сепаратной матричной системы классических уравнений теплопроводности
∂
−2
A
j
∂t
1,n+1,D
j =
2
∂
−
∂x
=0, (t, x) ∈ D
u
j
2
+
=(0, ∞) ×In,
j
+
, (3.1)
j
по начальным условиям
u
(t, x) |
j
= fj(x) ,x∈ In,j= 1,n+1, (3.2)
t=0
по краевым условиям
∂
+ δ
∂
0
11
∂t
∂x
+β
0
11
0
α
11
+ γ
∂
0
11
∂t
u
=0,
1
x=l
0
39
∂
n+1
α
+ δ
22
n+1
22
∂
∂t
∂x
+β
n+1
22
+ γ
n+1
22
∂t
∂
u
n+1
=0, (3.3)
x=l
и по условиям сопряжения
где u
k
+ δ
α
m1
k
+ δ
α
m2
- вектор- функции размера r×1, матрица Aj- положительно-
j,gj
∂
k
m1
k
m2
x = l
∂
∂t
∂
∂t
+β
∂x
∂
+β
∂x
,k= 1,n; m =1, 2
k
k
m2
k
m1
+ γ
+ γ
k
m2
k
m1
∂t
∂
∂t
∂
=
u
k
, (3.4)
u
k+1
определенная [28] размера r × r;
0
0
0
0
n+1
n+1
n+1
n+1
k
k
k
,β
,δ
,γ
,α
,β
,δ
,γ
,α
,β
α
11
11
11
11
22
22
22
22
mi
mi
,δ
mi
,γ
k
mi
−
данные матрицы размера r × r.
В образах Лапласа вместо задачи (3.1)-(3.4) имеем задачу построения
ограниченного на множестве I
решения сепаратной матричной системы
n
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
j =
2u∗
d
dx
j
− qj· u
2
∗
j
1,n+1,¯fj= A
=¯fj; x ∈ In, (3.5)
−2
fj; qj= A
j
−2
j
√
p,
по граничным условиям
0
α
11
+ δ
d
0
p
11
dx
n+1
α
22
+ δ
+β
n+1
22
= δ
0
11
p
n+1
22
+ γ
dx
d
f
0
11
+β
/
n+1
p
(l)+γ
u
n+1
22
1
x=l
0
+ γ
n+1
22
= δ
n+1
22
f
p
n+1
0
11
/
f
(l0)+γ
1
u
(l) ,
n+1
0
f1(l0) , (3.6)
11
x=l
n+1
=
и по условиям сопряжения
k
α
m1
+ δ
k
m1
d
p
dx
+β
k
m1
+ γ
k
m1
p
uk=
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]