Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
k
k+l
≥−
0
1
(1 − r)
≥
k
k+l
= ω
= ω
= ω
Таким образом, доказано, что (−1)
следовательность {−Δ
(1 − r)
l−1
1
k
k+l
0
k
k+l
k
k + l
}
k
l−1
r
k−1
r
(1 − r)
(k+l)Γ(l)Γ(k+1)
Γ(k+l+1)
Γ(l)Γ(k)
Γ(l + k)
∞
- вполне монотонна. Отсюда, применив свой-
0
k−1
[k − (k +1)x] ω
[(k + l) r − k] ω
l−1
k−1
r
[(k + l) r − k] dr =
kΓ(l)Γ(k)
−
Γ(l+k)
(k + l) k
(k + l)
l−1
Δl(Δk) ≥ 0. Следовательно, по-
k
k+l
k
dr =
k+l
=
− k≥ 0.
dr +
ство вполне монотонных последовательностей из [33], найдем, что
r
Δrqk≥ 0, (r =1, 2, ...k =0, 1, 2, ...).
(−1)
∞
}
Итак, последовательность {q
- вполне монотонна. Воспользовав-
n
0
шись теоремой 5.1, доказательство завершим.
Теорема 5.3 Если функция u (rη) - гармоническая функция в области
(ω)
V и непрерывна на¯V, то функция L
[u (rη)] , гармоническая функция
в той же области V, и для любого ρ (0 <ρ<1) справедлива интегральная формула
r
G(
η, ξ; ω) u
ρ
S
где
(rη) ≡ L
u
ω
u (rη)=
(ω)
[u (rη)] .
Доказательство. В силу теоремы 5.2 функция L
ская в области V
ставлена формулой Грина
(rη)=
u
ω
ρ
G(
S
='x ∈ Rn:
r
η, ξ)u
(ρξ)dSξ.
ω
ρ
(ρξ) dSξ, (0 ≤ r<ρ,η∈ S) (5.6)
ω
(ω)
[u (rη)] гармониче-
x
∈ V(, и, поэтому она может быть пред-
ρ
71
Введем к рассмотрению функцию
v (rη)=
Действие оператора L
Таким образом, L
r
G(
η, ξ; ω) u
ρ
S
(ω)
G
(ω)
L
(ω)
[v (rη)] = uω(rη) , и, поэтому, v (rη)=u (rη) . Фор-
(ρξ) dSξ, (0 ≤ r<ρ,η∈ S) .
ω
таково, что
r
η, ξ; ω= G
ρ
r
η, ξ. (5.7)
ρ
мула доказана.
5.3 Класс функций, ассоциированных с функ-
цией ω (x) ∈ Ω , и его структурное представление.
Пусть U
− класс гармонических в области V функций u(rη) , удовле-
(ω)
творяющих условию
sup
0<r<1
где
u
(ω)
(rη)=L
(ω)
[u (rη)] .
Теорема 5.4 1) Класс U
⎧
⎨
u
(rη)
(ω)
⎩
S
совпадает с множеством функций u(rη) ,
(ω)
⎫
⎬
dS
< ∞,
η
⎭
представимых в виде интеграла
u (rη)=
где Ψ(S
) - произвольная функция множества с конечным полным изме-
ξ
нением на S; в представлении (5.8) данной функции u(rη) ∈ U
G(rη, ξ; ω) dΨ(Sξ) (5.8)
s
(ω)
соответствующая функция Ψ(θ) может быть определена с помощью предела
Ψ(S
) = lim
ξ
n→∞
u
(ρnη) dη, (5.9)
(ω)
S
ξ
72
где Sξ- произвольное подмножество S, {ρn} , 0 <ρ1<ρ2< ... < ρn<
↑ 1− некоторая возрастающая последовательность.
..., ρ
n
2) Класс U
∗
(ω)
∈ U
гармонических в области V функций, для кото-
(ω)
рых
(rη) ≥ 0(rη ∈ V ) , (5.10)
u
(ω)
совпадает с множеством функций, представимых в виде (5.8), где функция Ψ(S
Доказательство. Предположим, что функция u( rη ) ∈ U
) не убывает на S [16].
ξ
. Тогда, в
(ω)
силу теоремы 5.3, для любого ρ ∈ (0 , 1) имеет место представление
r
G(
S
η, ξ ; ω) dΨ
ρ
u (rη)=
где
)=
Ψ
ρ(Sξ
Далее, так как функция u(r η ) ∈ U
| Ψ
ρ
(ρ) |≤K,
) , (0 ≤ r < ρ, ξ ∈ S) , (5.11)
ρ(Sξ
u
(ρη) dη. (5.12)
(ω)
S
ξ
, то из (5.12) следует, что
(ω)
VS(Ψρ)
≤ K (0 <ρ<1)
где
⎧
⎨
u
K =sup
0<r<1
⎩
S
(ω)
(rη)
Значит, для семейства функций Ψ={Ψ
⎫
⎬
dη
< ∞.
⎭
) } (0 <ρ<1) выпол-
ρ(Sξ
нены условия первой теоремы Хелли [16] . А потому на S существует
вещественная функция Ψ(S
последовательность ρ
n
) с конечным полным изменением и такая
ξ
↑ 1, что в каждой точке η ∈ S
Ψ(S
) = lim
ξ
k→∞
Ψ
(Sξ) = lim
ρ
;
k→∞
u
(ρkη) dη.
(ω)
S
ξ
Отсюда, в силу второй теоремы Хелли, имеем
lim
k→∞
r
G(
η, ξ ; ω) dΨ
ρ
k
S
(Sξ)=
ρ
;
G(rη, ξ; ω) dΨ(Sξ) . (5.13)
S
73
Фиксируя теперь значение rη ∈ V, напишем формулу (5.11) , полагая
ρ = ρ
в силу (5.13) , получим представление (5.8) с функцией Ψ(S
>r(k ≥ k0) . Переходя после этого в (5.11) к пределу при k →∞,
k
), определя-
ξ
емой из (5.9).
Покажем теперь, что любой интеграл вида (5.8) представляет некото-
рую функцию из класса U
. В самом деле, гармоничность любой такой
(ω)
функции в области V следует из гармоничности самого ядра
∞
(G(rη, ξ; ω)=
qnrnGn(η, ξ) , (5.14)
n=0
для всех значений параметра η ∈ S. Далее, так как в силу (5.4),
k
r
k
=
(k =0, 1, 2, ...) ,
q
k
то
(ω)
L
r
(ω)
G (rη, ξ;ω)=G (rη, ξ). (5.15)
L
Значит, если функция u(r η ), представима в виде (5.8), то в силу (5.15),
будем иметь:
u
(ω)
(rη)=L
(ω)
[u (rη)] =
G(rη, ξ; ω) dΨ(Sξ) (5.16)
S
ξ
но так как G(rη, ξ) - неотрицательно и для ядра G(rη, ξ) выполнено условие:
G(rη, ξ; ω) dS =1 (5.17)
S
то из (5.16) находим
u
S
(ω)
(rη)
dSη ≤
|dΨ(Sξ)| (0 <r<1) ,
S
при этом, поскольку ее правая часть от r не зависит, то это и означает,
что u(rη) ∈ U
(5.8) не убывание функции Ψ(S
. Для каждой функции u(r η ) ∈ U
(ω)
) на множестве S, следует из (5.12).
ξ
Обратно, если в представлении (5.8) функция Ψ(S
из (5.8) будет следовать, что u
(rη) ≥ 0(rη ∈ V ) ,т.е. u(r η ) ∈ U
(ω)
∗
в представлении
(ω)
) не убывает, то
ξ
∗
(ω)
.
74
Пусть U класс гармонических в области V функций u(rη), удовлетво-
ряющих условию
sup
0<r<1
⎧
⎨
⎩
S
| u (rη) |dS
⎫
⎬
< ∞.
η
⎭
Согласно теореме 5.4, класс U совпадает с множеством функций, до-
пускающих представление в виде интеграла Стилтьеса
G(rη, ξ) dΨ(Sξ),
S
где Ψ(S
) - произвольная вещественная функция с конечным полным
ξ
изменением на S.
Теорема 5.5 Если функция ω (x) ∈ Ω не убывает на [0,1) и ω (x) ↑ +∞
при x ↑ 1 , то
⊂ U; (5.18)
U
(ω)
если же функция ω (x) ∈ Ω не возрастает на [0,1) и ω (x) ↓ 0 при x ↑ 1 ,
то
U ⊂ U
. (5.19)
(ω)
Доказательство. Пусть u(r η ) ∈ U
. Тогда, согласно теореме 5.4,
(ω)
u (rη)=
G(rη, ξ; ω) dΨ(Sξ) . (5.20)
s
При этом согласно (5.2) G (rη, ξ; ω) ≥ 0(0≤ r<1,η,ξ ∈ S). Далее, в
силу (5.17),
G(rη, ξ; ω) dSξ=1, (0 ≤ r<1,η ∈ S)
S
и потому из (5.20) следует оценка
sup
0<r<1
⎧
⎨
⎩
S
|u (rη)|dS
⎫
⎬
≡ I [u] < ∞. (5.21)
η
⎭
75
Положив ω (1) = 0, можно считать, что функция ω (x) непрерывная на
[0,1]. Как не возрастающая функция конечного изменения, ω (x) почти
всюду на [0,1] обладает производной ω
(x) ∈ L(0,1), поэтому ( см.[16])
имеет место представление
1
(ω)
L
[u (rη)] =
u (xrη) ω(x) dx (0 ≤ r<1,η∈ S) .
0
Отсюда, ввиду (5.21), следует оценка
(ω)
| L
[u (rη)] | dSη≤ I [u]
S
т.е.u(r η ) ∈ U
. Значит, (5.19) справедливо.
(ω)
1
|ω(x)| dx (0 ≤ r<1) ,
0
5.4 Проблема моментов на компактной по-
верхности.
Установим достаточные условия разрешимости проблемы моментов , ассоциированной с функцией ω (x) ∈ Ω.
Теорема 5.6 Пусть функция ω (x) ∈ Ω убывает на [0,1], Ψ
0(Sξ
вающая ограниченная функция на S. Тогда проблема моментов
c
(η)=
n
где
имеет решение Ψ(S
Gn(η, ξ) dΨ(Sξ)(n =0, 1, 2, ...),
S
(η)=q
c
n
)=Ψ
ξ
(ω)
Gn(η, ξ) dΨ0(Sξ) (5.22)
n
S
(Sξ) в классе неубывающих и ограниченных
функций.
Доказательство. Образуем гармоническую функцию класса U
u0(rη)=
G(rη, ξ; ω) dΨ0(Sξ) (5.23)
S
76
) - неубы-
(ω)
Так как в рассматриваемом случае dΨ0(Sξ) ≥ 0, и, согласно (5.5), ядро
G (rη, ξ;ω) ≥ 0 , то имеем также u
5.4, существует неубывающая ограниченная функция Ψ
(rη) ≥ 0. Поэтому, согласно теореме
0
(Sξ) такая, что
(ω)
(rη)=
u
0
G(rη, ξ) dΨ
s
(Sξ) . (5.24)
(ω)
Имея в виду разложение (5.14) и формулы (5.23),(5.24), получим, что
при любом η ∈ S выполнено:
Gn(η, ξ) dΨ0(Sξ)=
q
n
S
Gn(η, ξ) dΨ
S
(Sξ)(n =0, 1, 2, ...), (5.25)
(ω)
Наконец, из (5.22), вытекает:
Gn(η, ξ) dΨ
S
(Sξ)=cn(η)(n =0, 1, 2, ...),
(ω)
что и требовалось доказать.
Теорема 5.7 Пусть функция ω (x) ∈ Ω не возрастает на [0,1] и ω (x) ↓
0 при x ↑ 1 , а Ψ
) - функция конечного изменения на S. Тогда про-
0(Sξ
блема моментов
Gn(η, ξ) dΨ(Sξ)=˜cn(η)(n =0, 1, 2, ...),
S
где
(η)=
˜c
n
имеет решение Ψ(S)=˜Ψ
1
Gn(η, ξ) dΨ0(Sξ) , (5.26)
q
n
S
(Sξ) в классе функций с конечным измене-
(ω)
нием на S.
Доказательство. Образуем гармоническую функцию класса U
˜u
(rη)=
0
G(rη, ξ) dΨ0(Sξ) . (5.27)
S
77
Тогда, согласно теореме 5.2 , имеем также ˜u0(rη) ∈ U
теоремы 5.4 , следует существование функции Ψ(S
∗
. Отсюда, в силу
(ω)
)=˜Ψ
ξ
(Sξ) конечно-
(ω)
го изменения на S такой, что
(rη)=
˜u
0
G(rη, ξ; ω) d˜Ψ
S
(Sξ) . (5.28)
(ω)
Теперь, имея в виду разложение (5.14) и формулы (5.27), (5.28), найдем
что
Gn(η, ξ) dΨ0(Sξ)=q
S
Gn(η, ξ) dΨ
n
S
(Sξ) , n =0, 1, 2, .... (5.29)
(ω)
Отсюда так же, как и при доказательстве теоремы 5.6 получим, что
˜c
(η)=
n
Gn(η, ξ) dΨ(Sξ)(n =0, 1, 2, ...).
S
Теорема доказана.
3
Следствие 5.1. Пусть S- единичная сфера из R
ω (x) ∈ Ω убывает на [0,1], Ψ
) - неубывающая ограниченная функция
0(Sξ
. Пусть функция
на S. Тогда проблема моментов
3
),
+
где
имеет решение Ψ(S
c
(η)=
k
)=Ψ
ξ
ηkdΨ(Sξ)(k ∈ Z
S
(η)=q
c
k
(Sξ) в классе неубывающих и ограниченных
(ω)
ηkdΨ0(Sξ) (5.30)
|k|
S
функций.
Доказательство. Из формулы (5.25) следует, что
n
(η, ξ)=
G
k
-полиномы Лежандра. При этом равенство (5.29) принимает вид
P
k
1
(2k +1) P
4π
(η, ξ) , η, ξ =
k
ηiξi,
i=1
78
Pn(η, ξ) dΨ0(Sξ)=q
S
Pn(η, ξ) dΨ
n
S
(Sξ) ,n =0, 1, 2, ....
(ω)
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях. В итоге имеем
η, ξndΨ0(Sξ)=q
S
Подействуем на правую и левую части последнего равенства опера-
тором
1
k1!...kn!
|k|
∂
. В результате получим требуемое соотношение
k
k
n
1
∂ξ
...∂ξ
ξkdΨ0(Sξ)=q
S
(η, ξ)ndΨ
n
S
ξkdΨ
n
S
(Sξ) ,n =0, 1, 2, ....
(ω)
(Sξ) ,n =0, 1, 2, ....
(ω)
79
Глава 6
Оператор Римана- Лиувилля
для функций, гармонических в
верхней полуплоскости
6.1 Оператор Римана- Лиувилля и его свой-
ства
Определение 6.1. Скажем, что функция ω (x) ∈ Ω, если
1) ω (x) неотрицательна и непрерывна на (0, ∞) ;
2) для каждого λ>0 существует интеграл
∞
−λx
e
ω (x) dx, λ > 0;
0
1
β−1
x
3) при x →∞выполнено условие ω (x) ∼
0 <β≤1 и L(x)- некоторой медленно растущей функцией [13].
Введем к рассмотрению функцию
∞
Δ(λ)=|λ|
−|λ|x
e
0
Γ(β)
ω (x) dx. (6.1)
L (x) , с некоторым
Лемма 6.1 Функция Δ(λ) обладает следующими свойствами:
1) определена всюду в R\{0} ;
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]