Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
и по условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
[zk] − Γ
Γ
j1
Из определения функций влияния H
k
[z
]=gjk,x= lk,k=0, ..., n, j =1, 2. (10.9)
k+1
j2
∗
следует формула для решения
k,s
задачи (10.7)-(10.9):
n
s=0
H
∗
j,s
(√p, x, ls)
z
j
(x)=
10.3 Уравнение Лапласа в R
g
1s
. (10.10)
g
2s
2
.
n
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного в кусочно-однородном
2
пространстве R
I
=x : x ∈
n
= In× (−∞, ∞) ,
n
n+1
(l
U
j=0
) ,l0≥ 0,l−1= −∞,l
j−1,lj
= ∞,lj<l
n+1
j+1
решения сепаратной системы уравнений Лапласа с постоянными коэффициентами
2
∂
2
a
k
2
∂x
2
∂
+
∂y
=0,k=0, ..., n +1 (10.11)
u
k
2
по краевым условиям
||
|u
0
и условиям неоднородного контакта на линиях сопряжения x = l
x=−∞
< ∞, |u
n+1
||
< ∞ (10.12)
x=∞
:
k
k
Γ
j1
[uk] − Γ
k
[u
]=fjk(y) ,x= lk,k=0, ..., n, j =1, 2. (10.13)
k+1
j2
В образах Фурье по переменной y, краевая задача (10.11)-(10.13) принимает вид:
найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
121
2
d
2
a
k
dx
по краевым условиям
2
− σ
2
=0,k=0, ..., n +1, (10.14)
˜u
k
|˜u
0
||
x=−∞
< ∞|˜u
n+1
||
< ∞ (10.15)
x=∞
и по условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
Γ
j1
[˜uk] − Γ
k
[˜u
]=˜fjk(σ) ,x = lk,k=0, ..., n, j =1, 2. (10.16)
k+1
j2
Из формулы (10.10) следует, что:
(x, σ)=
˜u
j
n
s=0
H
∗
j,s
(|σ|,x,ls)
f
f
˜
(σ)
1s
˜
2s
, (10.17)
(σ)
Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений
задачи (10.11)-(10.13):
(η)
1s
2s
(η)
dη,
∗
j,s
, т.е.
где H
n
∞
(x, y)=
u
j
- обратное преобразование Фурье функции влияния H
j,s
(x, |η − y|,ls)=
H
j,s
−∞
s=0
H
(x, |η − y|,ls)
j,s
1
√
2π
∞
−∞
iσ|η−y|H∗
e
f
f
(|σ|,x,ls) dσ.
j,s
Перенося контур интегрирования на отрицательную действительную
полуось, на основании леммы Жордана и теоремы Коши для оригиналов
функций влияния получаем формулу
∞
(x, |η − y|,ls)=
H
j,s
2
π
vjs(x, λ) e
0
−λ|η−y|
λdλ,
где
(x, λ)=vjs(x, λ)
v
js
10
−1
Ω
(ls,λ) .
s
В соответствии с полученным выражением для функций влияния
, решение основной задачи (10.11)-(10.13) можно записать в виде
H
j,s
122
dη
(η)
1s
(η)
2s
λdλ. (10.18)
uj(x, y)=
n
∞
2
π
s=0
vjs(x, λ)
0
∞
e
−∞
−λ|η−y|
f
f
10.4 Краевые задачи и операторы преобра-
зования в R
Рассмотрим модельные задачи Дирихле для правой полуплоскости:
Δˆu
=0,ls<x, −∞ <y<∞,
js
|
ˆu
Если f
0,fjs
существует, единственное решение ˆu
находится по формуле Пуассона для верхней полуплоскости. Основную
формулу (10.18) можно переписать в виде:
2
=
u
k
π
s=0
Таким образом, определены операторы преобразования:
u
1s,k
u
=
2s,k
Теорема 10.2 Пусть выполнены условия неограниченной разрешимости задачи (10.6) и пусть справедливы неравенства:
= fjs(y) , −∞ <y<∞,s=0, ..., n; j =1, 2.
js
x=l
s
β−1/2
∈ H
2
n
∞
vks(x, λ)
0
u
(x, λ)=
js
∞
=
vks(x, λ)
0
∞
vks(x, λ)
0
2
.
n
(R1) ,β ≥ 1, то у каждой из указанных задач
∞
sinλξ
0
:ˆujs→ ujs,j =1, 2,
P
js
n+1
k=0
θ (x − l
1
k−1
0
0
1
∞
0
, ˆujs∈ H
0
) θ (lk− x) u
∞
sinλξ ˆu1s(ξ,y) dξλdλ,
0
sinλξ ˆu2s(ξ,y) dξλdλ.
ˆu
ˆu
β
(R+× R) [11], которое
2
dξ
(ξ,y)
1s
2s
(ξ,y)
js,k
λdλ.
(x, λ)
c
ω
js,k
≤
js
(1 + λ2)
,k =0, 1, ..., n +1;cjs> 0,αjs≥ 0,
αjs/2
в которых вектор- функции ω
определены условиями
js,k
123
vks(x, λ)=ω
1s,k
e
iqkx
+ ω
2s,k
iqk(2lk−x)
e
,
тогда операторы P
жение пространств H
Доказательство. Рассмотрим оператор P
:ˆfjs→ fjsосуществляют непрерывное отобра-
js
β
R
2
и H
+
αjs+β
2
R
n,+
.
:ˆgjs→ gjs,
js
где
n
(x)=
g
js
Для функции g
g
где F
s
js,k
θ (x − l
k=1
js,k
(x)=
) θ (lk− x) g
k−1
(x)+θ (x − ln) g
js k
имеем интегральное представление:
∞
0
ω
1js,k
e
iqkx
+ ω
2js,k
iqk(2lk−x)
e
F
[ˆgjs] λdλ,
s
js, n+1
(x) .
[ˆgjs] - синус преобразование функции ˆgjs. Из условия теоремы
следует что:
1+λ
β/2
2
Fs[ˆgjs] ∈ L2(R+) .
Следовательно:
1+λ
(αjs+β)/2
2
ω
α+β,β
2
[ˆgjs] ∈ L2(R+) ,j =1, 2.
js,kFs
β−1/2
∈ H
js
(R1) ,β ≥ 1, то существует и
2
,α = min αjsосновной краевой задачи
Следствие 10.1. Если f
единственно решение u ∈ H
(10.11)-(10.13) .
Доказательство. Утверждение следует из теоремы 6.2, т.к. решение
рассматриваемой краевой задачи можно выразить с помощью операторов преобразования по формуле
u =
2
j=1
n
s=1
124
Pjs[ˆujs] .
10.5 Уравнение Лапласа в R
m+1
n+
.
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве R
×Rmрешения сепаратной системы уравнений Лапласа с постоянными
I
n
коэффициентами
2
+Δ
=0,k=0, 1, ..., n +1, (10.19)
u
y
k
2
∂
2
a
k
∂x
по краевым условиям
m+1
n+
=
| < ∞|, |u
|u
0
| < ∞ (10.20)
n+1
и условиям неоднородного контакта на гиперплоскостях сопряжения
:
x = l
k
k
Γ
j1
[uk] − Γ
k
[u
]=fjk(y) ,x= lk,k=0, ..., n, j =1, 2. (10.21)
k+1
j2
В образах Фурье с неразделенными переменными задача (10.19)-(10.21)
принимает вид:
найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
d
2
a
k
dx
2
2
2
− σ
=0,k=0, 1, ..., n +1, (10.22)
˜u
k
по краевым условиям
| < ∞|, |˜u
|˜u
0
| < ∞ (10.23)
n+1
и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
Γ
j1
[˜uk] − Γ
k
[˜u
]=˜fjk(σ) ,x = lk,k=0, 1, ..., n, j =1, 2. (10.24)
k+1
j2
Из формулы (10.17) следует, что решение задачи (10.22)-(10.24) имеет
вид:
(x, σ)=
˜u
j
n
s=0
H
∗
j,s
(|σ|,x,ls)
f
f
˜
(σ)
1s
˜
2s
. (10.25)
(σ)
125
Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений
задачи (10.19)-(10.21) в виде
u
j
где H
H
- обратное преобразование Фурье функции влияния H
j,s
(x, |η − y|,ls)=
j,s
(x, y)=
m−2
(σ |y − η|)
2
|y − η|
f
f
m−2
2
n
H
(x, |η − y|,ls)
√
s=0
2π
j,s
∞
J
1
m
m
2
σ
0
m
R
(η)
1s
2s
(η)
H
j,s
∗
dη,
∗
, т.е.
j,s
(|σ|,x,ls) dσ.
Перенося контур интегрирования на действительную отрицательную
полуось и учитывая, что при переходе с нижнего берега разреза на верхний берег разреза все вектор- функции (ϕ
kψk
)Ω
−1
s
√
η,
pостанутся
неизменными, получаем формулу:
(x, |η − y|,ls)=ω
H
j,s
(x, λ)=ϕj(x, λ)
v
j,s
здесь H
1
m/2−
-бесселевы функции третьего рода [19]. В соответствии
1
m
10
∞
v
j,s
0
Ω
с полученным выражением для H
1
m
H
m/2−1
(x, λ) Re#(iλ)
−1
(ls,λ); ωm=Γ
s
, формулу для решения основной
j,s
2
|y−η|
m+1
2
(iλ|y−η|)
m−2
2
−
π
m+1
$
dσ,
2
,
задачи (10.19)-(10.21) запишем в виде:
dη
(η)
1s
(η)
2s
λdλ, (10.26)
(x, y)=ω
u
j
(x, λ) .
∞
ReM]
0
1
H
m
m/2−1
2
n
∞
m
s=1
v
j,s
0
M =(iλ)
|y − η|
f
f
(iλ |y − η|)
m−2
2
10.6 Краевые задачи и операторы преобра-
зования в R
Рассмотрим модельные задачи Дирихле для полупространства:
Δˆu
=0,ls<x, y∈ Rm,
js
|
ˆu
= fjs(y) ,y∈ Rm,s=0, ..., n; j =1, 2.
js
x=l
s
m+1
n+
.
126
Если f0,fjs∈ H
существует, единственное решение ˆu
β−1/2
(R1) ,β ≥ 1, то у каждой из указанных задач
2
, ˆujs∈ H
0
β
2
R
2
[11], которое нахо-
+
дится по формуле Пуассона для полупространства. Основную формулу
(10.26) можно привести к виду:
(x, y)=
u
k
где
n
s=1
∞
v
(x, λ)
k,s
0
vks(x, λ)=vk(x, λ)
∞
0
10
sinλξ
ˆu
1s
ˆu
2s
−1
Ω
(ls,λ)
s
(ξ,y)
(ξ,y)
dξ
0
1
λdλ,
.
Таким образом, (10.19)-(10.21) решают операторы преобразования P
2
n
j=1
Pjs[ˆujs] .
s=1
u =
:
js
127
Глава 11
Неоднородные краевые задачи
для функций, гармонических в
кусочно-однородной полосе
11.1 Задача Штурма- Лиувилля для опера-
тора Фурье в I
.
n
Рассмотрим задачу Штурма- Лиувилля о конструкции ограниченного на
множестве
I
=x : x ∈
n
n+1
U
j=1
(l
j−1,lj
) ,l0≥ 0,l
= l<∞,lj<l
n+1
,j=1, ..., n
j+1
нетривиального решения сепаратной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2
d
dx
2
+ q
y
m
m
2
=0,q
2
−2
= a
m
· λ2,am> 0; m =1, ..., n +1, (11.1)
m
по граничным условиям
]|
Γ
0[y1
x=l
=0, Γ
0
n+1[yn+1
]|
=0 (11.2)
x=l
0
и условиям контакта в точках сопряжения интервалов
128
k
Γ
[yk]=Γ
j1
здесь Γ
, Γ
0
перестановочные с оператором
n+1
, Γ
k
[y
] ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, 2, (11.3)
k+1
j2
k
k
, Γ
j1
(j =1, 2; k =1, ..., n) - некоторые операторы,
j2
d
. Пусть при некотором λ, рассматрива-
dx
емая краевая задача имеет нетривиальное решение
n
y (x, λ)=
θ (x − l
k=1
) θ (lk− x) yk(x, λ)+θ (x − ln) y
k−1
n+1
(x, λ) .
В этом пункте мы рассматриваем только самосопряженные задачи
Штурма-Лиувилля (11.1)-(11.3) см. [9].
Определим функции α
из соотношений:
Γ
[e
0
q1x
]=α0· e
q1x
, Γ
0
n+1
[e
= α
q
n+1
0
x
]=α
√
p,α
n+1
n+1
· e
q
n+1
= α
x
, Γ
n+1
√
k
p,α
k
qkx
[e
ij
]=α
= α
ij
k
· e
ij
i, j =1, 2; k =1, ..., n,
и потребуем выполнения условий
det M
kj
=det
√
k
α
pα
1j
√
k
pα
α
2j
√
k
−
p
1j
√
k
−
2j
=0, (11.4)
p
k =1, ..., n, j =1, 2,
qkx
√
k
p
ij
,
(−√p) =0,α
α
0
Примем обозначения: ψ
n+1
рентными соотношениями
k
(ψk)= Γ
Γ
j1
определим остальные n функций ψ
√
x,
ϕ
1
p= e
q1x
/α
0
k
(ψ
k+1
j2
√
p, а функции ϕ2, ..., ϕ
ными соотношениями:
k
(ϕ
Γ
k+1
j2
)=Γ
k
(ϕk) ,k=1, ..., n, j =1, 2.
j1
Заметим, что набор функций ϕ
(11.4).
Введем также обозначения
(√p) =0,Rep≥ σ0> 0
n+1
x,
√
p= e
−q
n+1
(2l
n+1
−x)
) ,k=1, ...., n, j =1, 2
, ..., ψ1. Аналогично, положим
n
определим рекуррент-
n+1
задан корректно ввиду условия
k,ψk
129
/α
n+1
√
p. Рекур-
k
Γ
[ϕk(x,√p)] = ϕ
ij
k
[ψk(x,√p)] = ψ
Γ
ij
k
(√p) ,i,j=1, 2; k =1, ..., n,
ij
k
(x,√p) ,i,j=1, 2; k =1, ..., n,
ij
и потребуем выполнения условия неограниченной разрешимости задачи (11.1)-(11.3)
=0,k=1, ..., n, j =1, 2.Rep ≥ σ0> 0. (11.5)
det Ω
k
Так как задача Штурма-Лиувилля (11.1)-(11.3) для оператора Фу-
2
d
рье −
самосопряженная и выполняются условия (11.5), то ее спектр
2
dx
дискретен, все собственные числа действительные, положительные, простые [9], при этом если λ
- собственное число рассматриваемой краевой
i
задачи (11.1)-(11.3), то это число корень каждого из уравнений:
det Ω
)=0,k=1, ..., n.
k(λi
В качестве собственной функции, соответствующей собственному значению λ
, можно выбрать функцию:
i
n+1
ϕ(x, λ
)=
i
θ (x − l
k=1
) θ (lk− x) ϕk(x, λi) . (11.6)
k−1
11.2 Уравнение Лапласа в In× (−∞, ∞) .
10
p
−1
(ξ) ,l
s
−1
Ω
k
Ω
∗
по формулам:
j,s
−1
Ω
s
<x<lk,l
k−1
√
ξ,
p,l
√
−1
ξ,
k
p,l
√
ξ,
p,
<x<ξ<lk,
k−1
<ξ<x<lk,.
k−1
s−1
<ξ<ls;
Введем вектор- функции влияния H
при k<s
H
∗
k,s
= ϕ
√
x,
k
k, s =1, ..., n +1;
при k>s
H
∗
k,s
= −ψk(x) ·
01
Ω
при k = s
√
x,
x,
k
p
√
p·
10
01
H
∗
k,k
ϕ
k
=
−ψ
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]