Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
Приведем основное тождество интегрального преобразования дифференциального оператора
B =
n
k=1
2
A
k
θ (x − l
) θ (lk− x)
k−1
2
d
+ θ (x −ln) A
2
dx
2
n+1
dx
2
d
,
2
где
θ (x − l
) ≡ 1.
0
Теорема 1.5 .Для трижды непрерывно- дифференцируемой на множестве I
вектор- функции
n
n
f (x)=
θ (x − l
k=1
) θ (lk− x) fk(x)+θ (x − ln) f
k−1
n+1
(x) ,
удовлетворяющей условиям на бесконечности
lim
x→+∞
lim
x→−∞
d
∗
f
ϕ
1
1
dx
d
∗
n+1
dx
f
n+1
ϕ
(x) −
(x) −
d
dx
d
dx
∗
ϕ
1
∗
ϕ
n+1
f1(x)=0,
f
(x)=0,
n+1
справедливо тождество:
n
γ
γ
γ
γ
m=1
m
21
m
22
m
11
m
12
−1
Ω
m
m
δ
21
m
δ
22
m
δ
11
m
δ
12
(lm,λ) M
A
A
A
A
2
m+1
2
m+1
2
m
2
m
−1
(λ)·
m1
(lm)
(lm)
!$%
!$
−
.
//
f
m+1
///
f
m+1
//
f
(lm)
m
///
f
(lm)
m
"#
·
2
ˆ
[B (f)] = −λ
F
n
m
β
21
m
β
22
#
β
−
β
m
α
21
m
α
22
m
11
m
12
m
α
11
m
α
12
f (λ) −(E0)
f
m+1(lm
/
(lm)
f
m+1
f
m(lm
/
f
(lm)
m
−
)
−
)
(1.26)
здесь
B (f)=
+ θ (l
1
n
k=2
− x)A
θ (x − l
2
1
k−1
2
d
f1+ θ (x −ln) A
2
dx
) θ (lk− x)A
2
n+1
2
d
2
fk+
k
2
dx
2
d
f
.
n+1
2
dx
21
Доказательство. Рассмотрим следующую задачу Коши:
∂
−2
A
j
∂t
α
=α
2
∂
−
∂x
u
k
+ γ
m1
k
m2
(t, x)=0, (t, x) ∈ D+,j= 1,n+1
u
j
2
(t, x) |
j
u1|
+ γ
k
m1
= Bj(fj)(x) ,x∈ I
t=0
=0,u
x=−∞
∂
∂
∂
∂t
+β
∂x
∂
+β
∂x
k
m2
∂t
n+1
k
m1
k
m2
|
x=∞
+ δ
+ δ
=0
k
m1
k
m2
∂t
n
∂
∂
∂t
=
u
k
.
u
k+1
Предположим для простоты, что вектор- функции
n
α
=α
k=1
k
m1
m2
θ (x − l
+ γ
k
+ γ
k
m1
) θ (lk− x) fk(x)+θ (x − ln) f
k−1
2
d
d
k
m2
2
A
j
2
dx
dx
2
d
2
A
j
2
dx
dx
+β
d
+β
k
m1
k
m2
+ δ
+ δ
k
m1
k
m2
(x) ,
n+1
2
d
2
A
j
2
dx
2
d
2
A
j
dx
=
f
k
.
f
k+1
2
f (x)=
удовлетворяет условиям сопряжения вида
Учитывая, что вектор-функция B(u) служит решением задачи Коши с
начальными условиями
n
−1
= B (f),
t=0
−λ2t
Fn(B (f)). (1.27)
e
B (u) |
из интегрального тождества (1.16) имеем:
B (u)=F
С другой стороны, в виду интегрального тождества (1.16), дифференцированием последнего по t получим равенство:
−λ
−λ
2
(f).
F
n
2
F
(f).
n
Замечая, что
∂
∂t
∂
(u)=B (u) найдем
∂t
B (u)=F
u = F
n
−1
n
−1
e
−λ2t
−λ2t
e
Сравнивая правые части обоих полученных равенств, в виду однозначности преобразования Фурье F
, заключаем, что доказываемое тождество
n
справедливо.
22
Глава 2
Матричные интегральные
преобразования Фурье для
(n +1)-слойного
полупространства
2.1 Прямая и двойственная задачи Штурма-
x=∞
+
n
< ∞
(2.2)
Лиувилля для оператора Фурье в I
Рассмотрим прямую задачу Штурма- Лиувилля о конструкции ограниченного на множестве
+
I
=x : x ∈
n
нетривиального решения сепаратной матричной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
по краевым условиям
0
α
+ λ2δ
11
n+1
(l
U
j=1
2
d
+ q
2
dx
d
0
11
dx
) ,l0≥ 0,l
j−1,lj
2
y
m
m
0
+β
11
=0,q
0
+ λ2γ
11
2
m
n+1
= A
y
= ∞,lj<l
−2
· λ2,m= 1,n+1 (2.1)
m
=0, y
1
x=l
0
,j=1, ..., n
j+1
|
n+1
23
и условиям контакта в точках сопряжения интервалов
j1
⎞
⎟
⎠
k
y
k
k
y
j2
,
где
k
α
+ λ2δ
j1
k
=
α
j2
d
k
+β
j1
dx
d
k
+ λ2δ
j2
dx
,k= 1,n, j =1, 2,
x = l
k
+β
k
j1
k
j2
+ λ2γ
+ λ2γ
⎛
y
(x, λ)
1m
⎜
.
(x, λ)=
y
m
⎝
.
.
(x, λ)
y
rm
=
k+1
(2.3)
y
=y
m
2
+ ... + y
1m
2
,m= 1,n+1.
rm
Пусть при некотором λ, рассматриваемая краевая задача имеет нетривиальное решение
n
y (x,λ)=
θ (x − l
k=1
) θ (lk− x) yk(x, λ)+θ (x − ln) y
k−1
n+1
(x, λ).
В этом случае число λ называется собственным значением, а соответствующее решение y (x, λ) - собственной вектор- функцией.
Здесь
0
0
0
0
k
k
k
k
k
k
k
,β
,γ
,δ
,α
,β
,γ
,δ
,α
α
11
11
11
11
j1
j1
j1
,β
j1
j2
j2
,γ
j2
,δ
k
j2
,Uj,Aj−
(j =1, 2; m =1,n+1; k =1,n)
матрицы размера r×r ; для матриц
M
mk
k
β
1m
≡
k
β
2m
+ λ2γ
+ λ2γ
k
1m
k
2m
k
α
+ λ2δ
1m
k
α
+ λ2δ
2m
k
1m
,m=1, 2; k =
k
2m
1,n
потребуем их невырожденность, т.е.
Матрицы A
ϕ
det M
,m= 1,n+1- положительно-определенные. Обозначим
m
(x)=e
n+1
≡ Cmk(λ) =0,λ∈ [0, ∞) . (2.4)
mk
q
n+1
x·i
; ψ
n+1
(x)=e
−q
n+1
x·i
; q
n+1
= A
−1
n+1
λ.
24
Индукционными соотношениями определим остальные n пар матричнозначных функций (ϕ
k
+ λ2δ
α
j1
k
=
+ λ2δ
α
j2
) ,k=1,n :
k,ψk
d
k
j1
dx
d
k
j2
dx
k =
k
+ λ2γ
+β
j1
k
+ λ2γ
+β
j2
1,n, j = 1, 2.
k
(ϕ
j1
k
(ϕ
j2
)=
k,ψk
k+1,ψk+1
) , (2.5)
Введем также обозначения
0
ϕ
(λ)=
1
0
ψ1(λ)=
0
α
+ λ2δ
11
0
α
+ λ2δ
11
Ω
k
Лемма 2.1 .Для всехk=
−1
k
OE
/
=
−q
/
−1
Ω
Ω
,и воспользоваться непосредственно проверяемым
k
k
−1
Ω
(x, λ)
k
Доказательство. Достаточно применить известную формулу [28]
/
−1
Ω
= −Ω
k
тождеством:
=
2
k
(Ω
0
11
0
11
ϕ
kψk
/
ϕ
k
1,n+1
E
)/=
k
d
dx
d
dx
+β
+β
0
11
0
11
+ λ2γ
+ λ2γ
,i=
/
ψ
k
выполнены тождества:
Ω
,
k
Ω
OE
2
E
−q
k
0
11
0
11
1,n+1.
−1
(x, λ)
k
Ω
k
ϕ
1
ψ
1
//
.
(x, λ)
(x, λ)
= −Ω
x=l
x=l
−1
k
,
0
,
0
λ2A
−2
k
.
Лемма 2.2 Если справедливо неравенство
0
11
=0,
det
0
β
11
+ λ2γ
0
0
α
11
+ λ2δ
11
OE
то для всех значений спектрального параметра λ ∈[0,∞) выполнены
условия неограниченной разрешимости задачи
0
ϕ
det
(λ) =0, det0ψ1(λ) =0.
1
25
0
Доказательство. Учитывая, что матрицы
денны или не вырожденны, из элементарного тождества
⎛
0
ϕ
⎝
1
ϕ
следует невырожденность матриц
⎞
0
ψ
1
/
/
ψ
1
1
⎠
0
β
11
=
0 E
+ λ2γ
ϕ
0
11
0
1
,0ψ1.
ϕ
и0ψ1одновременно вырож-
1
0
α
+ λ2δ
11
0
11
ϕ
ϕ
1ψ1
/
ψ
1
/
1
Теорема 2.1 .Спектр задачи (2.1)-(2.3) непрерывен и заполняет всю
полуось (0, ∞). Задача Штурма-Лиувилля r раз вырождена, т.е. каждому собственному значению λ соответствует ровно r линейно независимых собственных вектор - функций, в качестве последних можно
взять r столбцов матричнозначной функции
n
u (x, λ)=
θ (x − l
k=1
) θ (lk− x) uk(x, λ)+θ (x − ln) u
k−1
(x, λ), (2.6)
n+1
т.е.
(x, λ)=ϕj(x, λ)0ϕ
u
j
m
(x, λ)=
y
−1
(λ) −ψj(x, λ)0ψ
1
⎛
u
(x, λ)
1m
⎜
.
.
⎝
.
(x, λ)
u
rm
⎞
⎟
⎠
−1
(λ) ,
1
.
Двойственная задача Штурма- Лиувилля, к задаче (2.1)-(2.3), состоит
в нахождении нетривиального решения сепаратной матричной системы
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
2
d
∗
∗
+ y
2
q
=0,m= 1,n+1, (2.7)
m
m
dx
y
m
2
по краевым условиям
dx
d
∗
0
β
y
+ λ2γ
1
11
−1
0
11
+ y
∗
0
α
+ λ2δ
1
11
0
11
x=l
0
−1
=0,
∗
y
< ∞,
n+1
(2.8)
26
и условиям контакта в точках сопряжения интервалов:
=−
dx
d
−
dx
d
∗
∗
,y
y
k+1
k+1
∗
y
k
,y
∗
k
β
β
k
12
k
22
β
β
+ λ2γ
+ λ2γ
k
11
k
21
+ λ2γ
+ λ2γ
k
12
k
22
α
α
11
21
k
12
k
22
k
k
+ λ2δ
+ λ2δ
α
α
k
11
k
21
k
12
k
22
−1
k
+ λ2δ
+ λ2δ
−1
11
k
21
=
,x= lk,k= 1,n.
(2.9)
Решение рассматриваемой краевой задачи будем записывать в виде
n
∗
(ξ,λ)=
y
k=2
y
y
θ (ξ − l
∗
(ξ,λ)=
m
∗
=(y
m
) θ (lk− ξ) y
k−1
∗
y
m1
∗
)2+ ... +(y
1m
∗
(ξ,λ)+θ (ξ − ln) y
k
(ξ,λ) ··· y
∗
)2,m= 1,n+1.
rm
∗
mr
(ξ,λ)
∗
(ξ,λ),
n+1
,
Теорема 2.2 .Спектр задачи (2.7)-(2.9) непрерывен и заполняет всю
полуось (0, ∞). Задача Штурма-Лиувилля r раз вырождена, т.е. каждому собственному значению λ соответствует ровно r линейно независимых собственных строк- функций, в качестве последних можно
взять r строк матричнозначной функции
n
∗
(x, λ)=
u
k=1
∗
(x, β)=
u
j
θ (x − l
) θ (lk− x) u
k−1
0
ϕ
(β) ,0ψ1(β)Ω
1
∗
(x, λ)+θ (x − ln) u
k
−1
j
(x, β)
O
E
∗
(x, λ),
n+1
−2
A
,
j
т.е.
∗j
y
(ξ,λ)=
∗
u
(ξ,λ) ··· u
j1
∗
jr
(ξ,λ)
,j =
1,r.
Наличие интегральной функции u(x, λ) и сопряженной спектраль-
ной функции u
∗
(x, β) позволяет написать на множестве I
+
интегральное
n
представление меры Дирака
∞
δ (x − ξ) E = −
1
λu (x, λ)u∗(ξ,λ)+γ
πi
0
0
δ+(ξ − l0)+ (2.10)
11
27
n
k=1
0
ϕ
(λ) ,0ψ1(λ)Ω
1
−
γ
γ
−1
(lk,λ) M
k
k
11
k
12
k
δ
11
k
δ
12
δ
(ξ − lk)
−
/
(ξ − lk)
δ
−
k1
−1
(λ) ·
dλ,
·
γ
γ
+ δ
k
21
k
22
/
0
δ
(ξ − l0)+
+
11
k
δ
21
k
δ
22
δ
+
/
δ
+
(ξ − lk)
(ξ − lk)
где
(x)
dS
+
(x)=
δ
+
(x) ,S−(x) −асимметрические единичные функции, Е- единичная
S
+
dx
,δ
(x)=
−
dS
−
dx
(x)
,
матрица.
2.2 Теоремы разложения по собственным
(lk,λ) M
)
(lk)
+
n
+
, кусочно-
n
−1
k1
λdλ. (2.11)
(λ) ·
функциям оператора Фурье в I
Теорема 2.3 .Пусть вектор-функция f (x) определена на I
непрерывная, абсолютно интегрируемая и имеет ограниченную вариацию. Тогда для каждого x ∈ I
1
(f (x −0) + f (x +0))=−
2
0
f
11
f
k+1(lk
f
k+1
/
1
/
·
+γ
0
f1(l0)+δ
11
k
γ
21
k
γ
22
k
δ
21
k
δ
22
(l0)+
)
(lk)
+
справедлива формула разложения
n
⎛
∞
⎝
u∗(ξ,λ)f (ξ) dξ+
l
0
−1
k
k
δ
11
k
δ
12
f
f
k(lk
/
k
n
k=1
−
∞
1
u (x, λ)
πi
0
0
ϕ
(λ) ,0ψ1(λ)Ω
1
k
γ
11
k
γ
12
Доказательство. Образуем векторнозначную функцию
l
+H
u
j
∗
(p, x, l0)
j,1
(p, x)=
n
m=0
0
E
m+1
∗
H
l
m
β
11
0
j,m+1
+ pγ
(p, x, ξ)
0
11
0
−2
A
f
m+1
m+1
E
n
R0+
m=1
∗
H
(p, x, lm) Rm, (2.12)
j,m
−1
28
(ξ) dξ+
где приняты обозначения
g
s1
−1
= M
R
s
s1
g
s2
,s=
1,n, R0= δ
0
11
/
f
1
(l0)+γ
0
f1(l0) ,
11
s
m1
/
f
(ls)+γ
s
= δ
g
sm
∗
H
− образы Лапласа матричнозначных функций влияния, для ко-
j,s
s
fs(ls) −δ
m1
s
m2
f
/
s+1
(ls)+γ
s
m2
f
торых справедливы формулы:
при k<s
∗
= ϕk(x)(EO)Ω
H
k,s
−1
s
<x<lk,l
l
k−1
(ξ) −ψk(x)0ψ
s−1
0
−1
ϕ
1
1
<ξ<ls,
(EO)Ω
при k>s
∗
= ψk(x)−0ψ
H
k,s
l
0
−1
ϕ
1
1
<x<lk,l
k−1
(E0) Ω
−1
(ξ) −(0E)Ω
s
<ξ<ls,
s−1
−1
s
при k = s
H
Функции
⎧
⎪
⎪
(x)(EO)Ω
ϕ
⎪
k
⎪
⎪
∗
k,s
⎨
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
∗
u
(
j
<x<ξ<lk,
l
k−1
(x)−0ψ
ψ
k
<ξ<x<lk,k= 1,n+1.
l
k−1
p, x)определены корректно в силу условий неограниченной
−1
(ξ) −ψk(x)0ψ
k
0
−1
ϕ
(EO)Ω
1
1
−1
(ξ) −(OE)Ω
k
1
−1
0
−1
ϕ
1
(EO)Ω
−1
k
разрешимости задачи.
Запишем формулу обращения для преобразования Лапласа:
(t, x) = lim
u
j
∗
(p, x, l0)
+H
j,1
N→∞
σ
σ0−iN
0
0
E
+iN
l
m+1
n
&
pt
e
m=0
0
(β
+ pγ
11
H
l
m
0
)−1R0+
11
∗
j,m+1
(p, x, ξ)
m=1
&
0
A
E
n
∗
H
(p, x, lm) R
j,m
s+1(ls
−1
(ξ) ,
s
(ξ),
−1
k
(ξ),
−2
m+1
m
f
),
(ξ) ,
m+1
,
(ξ) dξ+
(2.13)
29
где σ0- абсцисса сходимости интеграла Лапласа, а N - достаточно большое число.
Заменим контур интегрирования {p : p = σ
полудугу C
радиуса R2= N2+ σ
N
2
с центром в начале координат. По-
0
лучим асимптотику для функций влияния H
+ it, −N ≤ t ≤ N} на
0
∗
на дуге CN:
j,m+1
а) случай j = m+1.
Из условий сопряжения (2.3) для матричнозначных функций ϕ
ψ
m+1
, Ω
имеем асимптотику с известными функциями a
m+1
m+1
, b
m+1
m+1
,вид
которых нам не потребуется:
q
x
ϕ
ϕ
/
m+1
m+1
(x, q
(x, q
m+1
) ∼ e
m+1
) ∼ q
m+1
m+1
e
q
m+1
a
m+1
x
a
(√p) ,
m+1
(√p) ,
,
−1
1
2
a
m+1
0 b
−1
Ω
m+1
(x, q
m+1
) ∼
0
−1
m+1
m+1
q
m+1
x
;
x
−q
m+1
e
q
m+1
e
−1
x
x
q
m+1
−q
−1
m+1
−q
e
e
при этом в плоскости С с разрезом вдоль отрицательной полуоси выполнены условия
det a
(√p) =0, det b
m+1
Таким образом, для изображения функции влияния H
m+1
(√p) =0.
∗
m+1,m+1
получим
асимптотику:
∗
H
m+1,m+1
=
1
2
1
2
(p, x, ξ) ∼
q
(x−ξ)
m+1
e
−q
(x−ξ)
m+1
e
1
q
e
2
1
−q
e
2
−1
· q
,lm<x<ξ<l
m+1
−1
· q
,lm<ξ<x<l
m+1
m+1
x
m+1
x
a
m+1
b
m+1
a
−1
m+1
−1
b
m+1
m+1
m+1
q
−1
m+1
−1
q
m+1
,
−q
ξ
m+1
e
,lm<x<ξ<l
q
ξ
m+1
e
,lm<ξ<x<l
≡˜H
m+1,m+1
m+1
(p, x, ξ) .
Тогда найдем:
lim
N→∞
1
2πi
σ0+iN
σ0−iN
ept· H
= lim
N→∞
∗
m+1,m+1
1
2πi
(p, x, ξ) dp = lim
N→∞
pt
˜
H
e
m+1,m+1
C
N
(p, x, ξ) dp =
1
2πi
∗
eptH
m+1,m+1
C
N
(p, x, ξ) dp
m+1
,
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]