Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
k
p
m2
(x) −γ
u
+
k+1
k
f
(x), (3.7)
k+1
m2
+δ
k
m1
=
/
f
k
k
+ δ
α
m2
(x)+γ
x = l
d
k
p
m2
dx
k
fk(x) −δ
m1
,k= 1,n, m =1, 2.
k
+β
k
m2
k
m2
f
/
k+1
+ γ
Примем обозначение:
Mkm=
k
β
1m
k
β
2m
+ pγ
+ pγ
k
1m
k
2m
k
α
+ pδ
1m
k
α
+ pδ
2m
k
1m
k
2m
.
Всюду в этом параграфе будем требовать выполнения условий:
det M
для p = σ + iτ; Rep = σ ≥ σ
- абсцисса сходимости интеграла Лапласа,
σ
0
=0, det Mk2=0,k= 1,n+1, (3.8)
k1
,где
0
и Jmp = τ ∈ (−∞, +∞).
Зададим вектор- функцию ϕ
ϕ
(x)=C1(x, p)β
1
в котором матричнозначные функции C
,p)=0,S
S
1(l0
Вектор- функции ϕ
/
(l0,p)=E; C1(l0,p)=E, C
1
(x), ..., ϕ
2
(x) равенством:
1
−1
0
− S1(x, p)α
11
определены условиями:
1,S1
(x) - определим по индукции соотноше-
n+1
ниями сопряжения (3.7) в которых положено f =0.
Аналогично, зададим вектор-функцию ψ
−1
= C
ψ
n+1
n+1
(x, p)β
n+1
22
в котором матричнозначные функции C
(l, p)=0,S
S
n+1
Вектор- функции ψ
/
(l, p)=E; C
n+1
, ..., ψ2,ψ1- определим по индукции соотношениями
n
n+1
− S
n+1,Sn+1
(x) равенством:
n+1
(x, p)α
n+1
определены условиями:
(l, p)=E, C
сопряжения (3.7) в которых положено f =0.
Наконец, положим
(ξ,p)=
Ω
k
ϕ
(ξ,p) ψk(ξ,p)
k
/
ϕ
(ξ,p) ψ
k
/
k
(ξ,p)
,k=
−1
0
,
11
/
(l0,p)=0 .
1
−1
n+1
22
/
(l, p)=0.
n+1
1,n+1.
,
41
Лемма 3.1 При каждом k определитель detΩk(ξ,p) не зависит от переменной ξ и является целой функцией переменной p. Нули каждой из
функций
(p)=detΩk(ξ,p) совпадают.
ω
k
Доказательство. Независимость от переменной ξ определителей Ω
(ξ,p)
k
можно проверить так же как в п.2. Совпадение нулей определителей матриц Ω
(ξ,p) вытекает из равенства
k
detM
(ξ,p)=detMk2Ω
k1Ωk
k+1
(ξ,p).
В этом параграфе считаем выполненными условия на нули:
в правой полуплоскости Rep > 0 нет нулей функции ω
любого нуля p
функции ωk(p) выполнено:
j
Rep
< 0,j ∈ N,
j
rank Ω
) ≤ r, k = 1,n+1.
k(pj
(p), т.е. для
k
Лемма 3.2 Если выполнено условие на нули, то выполнено условие
неограниченной разрешимости задачи:
для p = σ + iτ ; Rep = σ ≥ σ
- абсцисса сходимости интеграла Лапласа,
σ
0
, где
0
и Jmp = τ ∈(−∞, +∞)
матрицы Ω
(ξ,p),s= 1,n+1- невырожденные:
s
det Ω
(p) =0. (3.9)
s
Лемма 3.3 Если выполнены условия неограниченной разрешимости задачи, то решение задачи (3.5)-(3.7) имеет вид:
l
m+1
n
u
=
j
m=0
+ψ
∗
H
j,m+1
l
m
0
−1
ψ
K0+ ϕj(E0)
j
1
где приняты обозначения
(p, x, ξ) A
−2
f
m+1
m+1
n+1
Rl− ψj(0E)
l=j
42
(ξ) dξ + ϕ
0
−1
ϕ
K
j
j−1
n+1
n+1
Rl, (3.10)
l=0
+
K0= δ
0
11
/
f
(l0)+γ
1
0
f1(l0) ,K
11
n+1
= δ
n+1
22
f
/
n+1
(l)+γ
n+1
22
(l) ,
s
g
= δ
sm
m1
0
/
f
s
(ls)+γ
ψ1=
0
ϕ
=
n+1
α
n+1
22
s
fs(ls) −δ
m1
1,n, m =1, 2;
s =
n+1
22
d
0
11
+β
p
dx
d
p
+β
dx
0
α
+ δ
11
+ δ
s
m2
11
22
0
n+1
/
f
s+1
+ γ
+ γ
(ls)+γ
0
p
11
n+1
22
s
f
),
s+1(ls
m2
ψ
p
;
1
x=l
0
ϕ
n+1
.
x=l
Доказательство. Как следует из условия, правая часть формулы (3.10)
имеет смысл. Прямая проверка показывает, что это действительно искомое решение.
∗
Напомним, что здесь H
- образы матричнозначных функций влия-
j,s
ния, определяемые равенствами:
при k<s
при k>s
∗
= ϕk(x)(E0) Ω
H
k,s
<x<lk,l
l
k−1
∗
= −ψk(x)(0E)Ω
H
k,s
<x<lk,l
l
k−1
s−1
s−1
−1
(ξ)
s
<ξ<ls;
−1
(ξ)
s
<ξ<ls;
0
,
E
0
,
E
при k = s
H
∗
k,k
⎧
⎪
⎪
ϕ
(x)(E0) Ω
⎨
k
=
⎪
⎪
⎩
(x)(0E)Ω
−ψ
k
−1
k
−1
k
(ξ)
(ξ)
0
,l
<x<ξ<lk,
E
k−1
0
,l
<ξ<x<lk.
E
k−1
Приступим к определению матричнозначных функций влияния H
как матричнозначные функции
(x, p) ,ψk(x, p)) Ω
(ϕ
k
−1
s
(ξ,p)
0
E
43
j,s
.Так
не имеют особых точек во всей комплексной плоскости C,то
(ξ,p)
0
=
E
0
, (3.11)
E
ϕ
(x, pj)(EO) res
k
= −ψ
(x, pj)(0E) res
k
k, s =
p=p
j
p=p
1,n+1,j∈ N.
Так как особыми точками функции H
−1
Ω
(ξ,p)
s
−1
Ω
s
j
∗
являются только полюса pj,тов
k,s
силу леммы Жордана [29] и теоремы Коши [29], находим с учетом (3.11)
представление для функций влияния H
∞
H
k,s
(t, x, ξ)=
ϕk(x, pj)(E0) res
j=1
k, s =
1,n+1.
в виде ряда:
k,s
−1
Ω
s
p=p
j
(ξ,p)
0
pj·t
e
E
,
Возвращаясь в формуле (3.10) к оригиналам, получим решение задачи
(3.1)-(3.4) в виде:
∞
u
·f
m+1
(t, x)=
k
j=1
(ξ) dξ + ϕk(x, pj) res
ϕk(x, pj)(E0)
0
ϕ
p=p
j
−1
n+1
n
m=0
(K
m+1
l
m
n+1
res
Ω
p=p
j
− K0) e
−1
m+1
pjt
(ξ,p)
0
e
E
+ ϕk(x, pj)(E0)
pjtA−2
m+1
n+1
j=0
·
Rj.
l
(3.12)
3.2 Прямая и двойственная задачи Штурма-
Лиувилля для оператора Фурье в I
Рассмотрим краевую задачу Штурма-Лиувилля
2
d
− pjA
2
dx
0
+ γ
α
11
d
0
p
j
11
dx
+β
−2
m
0
11
(x, pj)=0, (3.13)
y
m
+ δ
0
11
y
p
j
1
44
(x, pj)
x=l
0
n
=0,
n+1
α
22
=
n+1
+ γ
p
22
k
+ γ
α
m1
k
+ γ
α
m2
Пусть при некотором p
виальное решение
)=
y (x, p
j
(x, pj)
(x, pj)=
(x, pj) ,
=0,
x=l
d
j
dx
k
p
m1
k
m2
x = l
(x, pj)=
y
k
, рассматриваемая краевая задача имеет нетри-
j
n+1
k=1
n+1
d
d
dx
+ δ
22
k
+β
m1
k
+β
m2
⎛
y
1k
⎜
.
.
⎝
.
y
rk
) θ (lk− x) yk(x, pj) .
k−1
+β
j
dx
p
j
,k= 1,n, m=1, 2,
k
θ (x − l
n+1
22
+ δ
+ δ
(x, pj)
(x, pj)
p
k
m1
k
m2
y
j
n+1
y
p
j
k
p
y
j
k+1
⎞
⎟
.
⎠
В этом случае число p
ствующее решение y (x, p
называется собственным значением, а соответ-
j
)- собственной вектор- функцией.
j
Теорема 3.1 .Краевая задача (3.13) имеет чисто точечный спектр,
состоящий из нулей {p
Лиувилля r раз вырождена, т.е. каждому собственному значению p
} любой из функций ωk(p). Задача Штурма-
j
j
соответствует ровно r линейно независимых собственных вектор- функций, в качестве последних можно взять r столбцов матричнозначной
функции ϕ(x, p
), т.е.
j
ϕ (x, p
)=
j
i
(x, pj)=
y
n+1
k=1
θ (x − l
⎛
i
ϕ
(x, pj)
1
⎜
.
.
⎝
.
i
(x, pj)
ϕ
r
) θ (lk− x) ϕk(x, pj) .
k−1
⎞
⎟
⎠
,
45
Доказательство. Установим вначале, что каждый нуль pjлюбой из
функций ω
(p) является собственным значением краевой задачи (3.13).
k
Примем обозначения
v
ψ (x, p
)=
j
Заметим, что вектора {y
⎛
i
ψ
(x, pj)
1
⎜
i
(x, pj)=
n+1
θ (x − l
k=1
i
(x, pj) ,vi(x, pj)},i = 1,r образуют фундамен-
.
.
⎝
.
i
(x, pj)
ψ
r
) θ (lk− x) ψk(x, pj) .
k−1
⎞
⎟
⎠
,
тальную систему решений системы дифференциальных уравнений
2
d
− pjA
2
dx
−2
m
(x, pj)=0,m= 1,n+1.
y
m
В силу условия на нули: rank Ω
l
вектор v
(x, pj) можно разложить по системе векторов yi(x, pj) ,i = 1,r,
≤ r, k = 1,n+1заключаем, что каждый
k
т.е. справедливо представление
r
l
(x, pj)=
v
Заметим, что каждый вектор v
cliyi(x, pj) . (3.14)
i=1
l
(x, pj) удовлетворяет:
1) граничному условию
(x, pj)
x=l
=0,
0
0
+ γ
α
11
d
0
p
j
11
dx
+β
0
+ δ
11
0
11
v
p
j
1
по построению;
2) граничному условию
n+1
+ γ
α
22
n+1
22
d
p
j
dx
+β
n+1
22
+ δ
n+1
22
v
p
j
n+1
(x, pj)
=0
x=l
в силу условия (3.14);
3) условиям сопряжения по построению.
l
Таким образом, вектора v
(x, pj) образуют систему r линейно незави-
симых собственных вектор- функций краевой задачи (3.13). Аналогично
46
устанавливаем, что вектора yl(x, pj) также образуют систему r линейно
независимых собственных вектор - функций краевой задачи (3.13).
Наоборот, пусть число p
евой задачи и u (x, p
)- соответствующий собственный вектор. Из первого
j
-собственное значение рассматриваемой кра-
j
граничного условия
(x, pj)
x=l
=0,
0
следует, что
0
α
+ γ
11
d
0
p
j
11
dx
u (x, p
+β
)=
j
0
+ δ
11
r
i=1
0
11
v
p
j
1
cliyi(x, pj) .
Из второго граничного условия
(x, pj)
=0
x=l
α
следует, что
n+1
22
+ γ
n+1
22
d
p
j
dx
u (x, p)=
+β
n+1
22
i=1
+ δ
r
blivi(x, p) .
Из полученных разложений вектора u(x, p
i
(x, pj) ,vi(x, pj)},i = 1,r линейно зависимы. Следовательно, det Ωk=
{y
1,n+1. В силу условия на нули, имеем:
0,k =
n+1
22
v
p
j
n+1
) следует, что вектора
j
rank Ω
≤ r, k = 1,n+1.
k
Рассмотрим двойственную задачу Штурма-Лиувилля
2
0
+ λ2δ
11
+ λ2δ
d
+ A
2
dx
−1
0
11
−1
n+1
22
d
∗
, −
y
y
k
dξ
∗
(ξ,λ)
y
m
d
y
dx
dx
∗
n+1
d
∗
β
y
1
n+1
β
22
+ y
+ y
∗
k
−2
m
λ
1
∗
∗
n+1
2
α
k
β
11
k
β
12
=0,m=
0
+ λ2γ
11
n+1
α
+ λ2γ
22
k
α
11
k
α
12
1,n+1, (3.15)
−1
0
11
n+1
22
−1
=
47
x=l
−1
0
=0,
x=l
=0,
=y
d
dx
∗
k+1
y
, −
∗
n+1
−1
+ y
k
β
21
k
β
22
∗
1
d
∗
y
k+1
dξ
n+1
β
22
−1
k
α
21
α
22
n+1
α
22
k
−1
,k = 1,n.
x=l
=0.
Теорема 3.2 .Спектр задачи (3.15) имеет чисто точечный спектр,
состоящий из нулей {p
} любой из функций ωk(p).Задача Штурма-
j
Лиувилля r раз вырождена, т.е. каждому собственному значению p
соответствует ровно r линейно независимых собственных вектор функций, в качестве последних можно взять r строк-функций мат-
∗
ричнозначной функции ϕ
∗
ϕ
(ξ,pj)=
т.е.
∗j
(ξ,pj)=
y
∗
ϕ
j1
где
∗
=(E0) Ω
ϕ
k
(ξ,pj):
n+1
θ (ξ − l
k=1
(ξ,pj) ··· ϕ
−1
(ξ,p)
k
) θ (lk− ξ) ϕ
k−1
∗
(ξ,pj)
jr
0
E
A
,j =
−2
,k=
k
1,r,
∗
k
(ξ,pj) ,
1,n+1.
3.3 Теорема разложения по собственным
j
функциям оператора Фурье в I
n
В силу начальных условий получим интегральное представление:
l
m+1
−1
n+1
Ω
n
m=0
(K
−1
(ls,p) M
s
∗
res
ϕ
(ξ,p)f
m+1
p=p
j
l
m
− K0)+ϕk(x, pj)(E0) ·
n+1
f
s1
s1
−1
, (3.16)
f
s2
m+1
(ξ) dξ+
f
k
(x)=
+ϕ
k
∞
ϕk(x, pj)
j=1
(x, pj) res
p=p
n
·
s=1
l
0
ϕ
j
res
p=p
j
<x<lk,k= 1,n+1.
k−1
48
Интегральное представление (3.16) приводит к представлению меры Дирака [65]
p=p
j
/
0
δ
(ξ − l0) − γ
+
11
(lk,p) M
k
γ
11
k
γ
12
∗
(ξ,p)+0ϕ
ϕ
−1
(p)·
k1
k
δ
11
k
δ
12
−1
·
n+1
0
δ+(ξ − l0)+
11
(ξ − lk)
δ
−
/
(ξ − lk)
δ
−
,
·δ
·
n+1
22
/
δ
−
k
γ
21
k
γ
22
δ (x − ξ) E =
(ξ − l)+γ
n+1
22
+
k
δ
21
k
δ
22
δ
+
/
δ
+
∞
ϕ (x, pj) res
j=1
δ−(ξ − l) − δ
n
(EO)Ω
k=1
(ξ − lk)
(ξ − lk)
−1
k
−
(3.17)
где
δ (x − ξ) E ≡
⎛
δ (x − ξ) ... 0
⎝
... ... ...
⎞
⎠
.
0 ... δ(x − ξ)
Теорема 3.3 .Если трижды непрерывно- дифференцируемая на I
функция
f (x)=
n
θ (lk− x) θ (x − l
k=1
k−1
) fk(x)
вектор-
n
размера r×1, удовлетворяет краевым условиям (3.3) и условиям сопря-
f
m+1
−1
s1
//
2
f
(x),тодля
k
k
(ξ) dξ+
f
s1
f
s2
, (3.19)
∂U
k
жения (3.4), в которых выражение
каждой точки x∈I
справедливо представление функции f (x) в виде
n
заменено на A
∂t
суммы абсолютно и равномерно сходящегося на I
∞
n
ξ,p
(
res
p=p
ϕk(x, pj)ˆfj, (3.18)
j=1
0
)
j
E
Ω
−1
(ls,p) M
s
A
где
+ res
p=p
1
[f (x − 0) + f (x +0)]=
2
l
m+1
n
ˆ
f
=
j
m=0
0
−1
ϕ
n+1
j
(K
l
m
n+1
(E0)
− K0)+(E0)
<x<lk,k= 1,n+1,j∈ N.
l
k−1
res
p=p
−1
Ω
m+1
j
s=1
n
−2
m+1
ряда
49
Доказательство. Проверка утверждений теоремы проводится стандартным образом, например, методом Коши см. [31].
3.4 Прямое и обратное интегральные преоб-
разования Фурье на отрезке с точками
деления
Формулы (3.18)-(3.19) для разложения вектор- функции f по собственным векторам задачи Штурма- Лиувилля (3.13) порождает прямое F
−1
обратное F
интегральные преобразования Фурье на отрезке с точками
n
деления:
l
+ res
где
[f] ≡ˆfj=
F
n
ϕ
p=p
j
0
−1
n+1
(K
n+1
F
m=0
n
m+1
n
(E0) res
l
m
− K0)+(E0)
−1
ˆ
f
≡ f (x)=
j
n+1
f (x)=
k=1
p=p
j
s=1
θ (x − l
Ω
n
−1
m+1
∞
j=1
k−1
res
p=p
(ξ,p)
Ω
j
−1
(ls,p) M
s
0
E
A
−1
s1
−2
m+1
f
(ξ) dξ+
m+1
f
s1
f
s2
ϕ (x, pj)ˆfj,x∈ In, (3.21)
) θ (lk− x) fk(x).
n
,j∈ N,
(3.20)
и
3.5 Основное тождество интегрального
преобразования оператора Фурье в I
Получим основное тождество интегрального преобразования дифференциального оператора
L ≡
n+1
j=1
2
A
j
θ (x − l
) θ (lj− x)
j−1
50
dx
2
d
.
2
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]