Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
H
(x, |η − y|,ls)=
j,s
2
π
∞
0
vj(x, λ)
ϕ
0
−1
1
0
−1
ψ
−1
(ls,λ) e
Ω
1
s
−λ|η−y|
λdλ ,
v
(x, λ)=ϕj(x, λ)0ϕ
j
−1
−ψj(x, λ)0ψ
1
1
−1
.
Для обоснования формулы заметим также, что конструкция функций φ
такова, что при переходе с нижнего берега разреза вдоль
k,ψk
отрицательной полуоси на верхний берег разреза каждая из функций
(ϕ
kψk
)Ω
−1
s
(η,√p)
0
1
останется неизменной.
В соответствии с полученным выражением для вектор- функций H
j,s
запишем формулу для решения основной задачи (9.11)-(9.13) в виде:
(x, y)=
u
j
+
∞
2
vj(x, λ)
π
0
n
∞
2
π
s=1
vj(x, λ)
0
ϕ
0
−1
ϕ
1
0
−1
1
−λ|η−y|
e
∞
−∞
−λ|η−y|
e
f0(η) dηλdλ+
dη
(η)
f
1s
(η)
f
2
s
λdλ.
0
−1
ψ
1
0
−1
ψ
−1
Ω
1
s
0
−1
Ω
1
1
∞
−∞
9.4 Краевые задачи и операторы преобразо-
вания в R
Рассмотрим следующие модельные задачи Дирихле для полуплоскости
2
= { (x, y):0<x, −∞ <y<∞} :
R
+
2
n,+
.
,
⎧
=0,
⎨
⎩
|
ˆu
0
x=l
Δˆu
0
= f0(y) , −∞ <y<∞
0
⎧
=0,
⎨
⎩
−∞ <y<∞,s =1, ..., n; j =1, 2.
Δˆu
js
|
js
x=l
s
= fjs(y) ,
ˆu
111
Если f0,fjs∈ H
ществует единственное решение ˆu
β−1/2
(R1) ,β≥ 1, то у каждой из указанных задач су-
2
, ˆujs∈ H
0
β
2
R
2
[11], которое находит-
+
ся по формуле Пуассона для верхней полуплоскости. Основную формулу
(9.18) можно переписать в форме:
(x, y)=
u
k
+
∞
v
ϕ
k
0
n
∞
2
π
0
s=1
0
−1
v
ϕ
k
1
0
−1
1
∞
∞
sinλξ ˆu0(ξ,y) dξλdλ+
0
ˆu
(ξ,y)
sinλξ
ˆu
1s
2s
(ξ,y)
dξdη
0
−1
ψ
1
0
−1
ψ
Ω
1
0
−1
Ω
1
1
−1
s
0
Таким образом, определена серия операторов преобразования P
→ u0и
ˆu
0
:ˆujs→ ujs,j =1, 2 не зависящих от y:
P
js
:ˆu0→ u0,
P
0
n+1
k=1
vk0(x, λ)
ϕ
0
−1
ϕ
ψ
1
θ (x − l
1
0
0
1
0
−1
ψ
1
0
−1
1
0
1
n+1
&
k=1
0
−1
1
Ω
) θ (lk− x) u
k−1
∞
0 k
sinλξ ˆu0(ξ,y) dξλdλ ;
0
θ (x − l
k−1
∞
) θ (lk− x) u
sinλξ ˆu1s(ξ,y) dξdηλdλ,
0
∞
sinλξ ˆu2s(ξ,y) dξdηλdλ,
0
−1
(l0,λ) ,
Ω
1
−1
(ls,λ) .
s
(x, y) ,
js,k
(x, y) ,
(x, y)=
u
0k
P
:ˆujs→ ujs,ujs(x, y)=
js
u
=
1s,k
u
=
2s,k
где
(x, λ)=vk(x, λ)
v
k,0
v
(x, λ)=vk(x, λ)
k,s
∞
0
∞
0
(x, y)=
u
0
∞
0
vks(x, λ)
vks(x, λ)
λdλ.
:
0
Теорема 9.2 Пусть выполнены условия неограниченной разрешимости
и пусть справедливы неравенства:
c
|ω
j0,k
|≤
0
(1 + λ2)
,j =1, 2; k =1, .., n +1;c0> 0,α0≥ 0,
α0/2
112
ω
≤
js,k
(1 + λ2)
в которых функции ω
v
(x, λ)
k0
c
js
,k =1, ..., n +1;cjs> 0,αjs≥ 0,
αjs/2
10,k,ω20,k,ωjs,k
0
= ω
1
10,k
определены условиями
iqkx
e
+ ω
20,k
iqk(2lk−x)
e
,
(x, λ)=ω
v
ks
тогда оператор P
жение пространств H
f
осуществляют непрерывное отображение пространств H
js
H
αjs+β
2
R
.
n,+
:ˆf0→ f0осуществляет непрерывное отобра-
0
β
R
2
iqkx
e
α0+β
2
+ ω
1s,k
и H
+
Доказательство. Рассмотрим оператор P
2s,k
R
n,+
0
iqk(2lk−x)
e
,
, операторы P
:ˆg0→ g0,
где
n
(x)=
g
0
Для функции g
[ˆg0] - синус- преобразование функции ˆg0. Из условия теоремы
где F
s
g
0k
θ (x − l
k=1
(x)=
) θ (lk− x) g
k−1
имеем интегральное представление:
0k
∞
0
iqkx
ω
e
10,k
+ ω
(x)+θ (x − ln) g
0 k
iqk(2lk−x)
e
20,k
F
[ˆg0] λdλ,
s
следует что:
1+λ
β/2
2
Fs[ˆg0] ∈ L2(R+) .
Следовательно
1+λ
(α0+β)/2
2
α+β,β
2
ω
0,fjs
α+β,β
2
[ˆg0] ∈ L2(R+) ,j =1, 2.
j0,kFs
.
js
(R1) ,β ≥ 1, то существует и
∈ H
β−1/2
2
,α= min (α0,αjs) общей краевой задачи
- анизотропное пространство Соболева [11].
Аналогично изучается случай операторов P
Следствие 9.1. Если f
единственно решение u ∈ H
(9.11)-(9.13), где H
0 n+1
:ˆfjs→
js
β
2
(x) .
R
и
+
113
Доказательство. Решение рассматриваемой краевой задачи можно
выразить с помощью операторов преобразования по формуле
2
n
j=1
Pjs[ˆujs] .
s=1
u = P
[ˆu0]+
0
Утверждение следует из теоремы 9.2 .
Для наиболее важных в инженерной практике краевых задач ниже
будут приведены другие, более удобные формулы.
9.5 Уравнение Лапласа в R
m+1
n,+
.
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве R
+
× Rm,
I
n
+
=x : x ∈
I
n
n+1
U
j=1
(l
j−1,lj
) ,l0≥ 0,l
= ∞,lj<l
n+1
j+1
,
решения сепаратной системы уравнений Лапласа
2
+Δ
=0 ,k=1, ..., n +1, Δy=
u
y
k
m
k=1
∂y
2
∂
2
k
2
∂
2
a
k
∂x
по краевым условиям
Γ
]|
0[u1
|u
n+1
= f0(y) ,y∈ Rm,
x=l
0
||
< ∞
x=∞
и условиям неоднородного контакта на гиперплоскостях сопряжения
:
x = l
k
k
Γ
j1
[uk] − Γ
k
[u
]=fjk(y) ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, 2. (9.21)
k+1
j2
В образах Фурье с неразделенными переменными по переменным y
из главы 8 задача (9.19)-(9.21) принимает вид:
найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
m+1
n,+
(9.19)
(9.20)
=
114
d
2
a
k
dx
по краевым условиям
2
2
2
− σ
=0,k=1, ..., n +1, (9.22)
˜u
k
Γ
|˜u
0
n+1
[˜u1]|
=˜f0(σ) ,y∈ Rm,
x=l
0
||
x=∞
< ∞
(9.23)
и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
Γ
j1
[˜uk] − Γ
k
[˜u
]=˜fjk, (σ) ,x = lk,k=1, ..., n, j =1, 2. (9.24)
k+1
j2
Из формулы (9.18) следует, что решение задачи (9.22)-(9.24) имеет
вид:
˜u
(x, σ)=H
j
∗
(|σ|,x,l0)
j,1
0
1
˜
f0(σ)+
n
s=1
H
∗
j,s
(|σ|,x,ls)
f
f
˜
(σ)
1s
˜
2s
(σ)
.
(9.25)
Применяя формулу для обратного интегрального преобразования Фурье с неразделенными переменными получим решение задачи (9.19)-(9.21)
в виде:
!
(η)
(η)
∗
j,s
dη,
(|σ|,x,ls) dσ.
∗
j,s
, т.е.
(x, y)=
u
j
где H
H
- обратное преобразование Фурье функции влияния H
j,s
(x, |η − y|,ls)=
j,s
2π
0
f
0
1
1
∞
m
0
(η)+
J
m
2
σ
n
s=1
m−2
2
|y − η|
H
j,1
n+1
R
√
H
j,s
(σ |y − η|)
m−2
2
f
1s
f
2s
H
Перенося контур интегрирования на действительную отрицательную
полуось, получаем:
(x, |η − y|,ls)=ω
H
j,s
(x, λ)=ϕj(x, λ)0ϕ
v
j,s
∞
v
m
j,s
0
−1
−ψj(x, λ)0ψ
1
(x, λ) Re#(iλ)
−1
1
115
(iλ|y−η|)
m−2
2
−1
(ls,λ)
Ω
s
$
dσ,
1
H
m−2
m
2
2
|y−η|
0
0
−1
−1
ϕ
ψ
1
1
v
(x, λ)=ϕj(x, λ)0ϕ
j,0
m+1
=Γ
ω
m
здесь H
2
1
m/2−1
−1
−ψj(x, λ)0ψ
m+1
2
1
.
−
π
- бесселевы функции третьего рода [19]. Для обоснова-
−1
1
ϕ
ния формулы заметим также, что конструкция функций φ
0
−1
1
0
−1
ψ
−1
(l0,λ) ,
Ω
1
1
, ψkтакова,
k
что при переходе с нижнего берега разреза вдоль отрицательной действительной полуоси на верхний берег разреза все вектор-функции
−1
)Ω
(ϕ
kψk
s
(η,√p)
останутся неизменными. В соответствии с полученным выражением
для H
формулу для решения основной задачи (9.19)-(9.21) запишем в
j,s
виде
0
1
∞
Re [M ]f0(η) dη) λdλ+
0
u
(x, y)=ω
j
∞
v
m
(x, λ)
j,0
0
dη
(η)
1s
(η)
2s
2
λdλ, (9.26)
+ω
n
∞
m
s=1
v
(x, λ)
j,s
0
M =(iλ)
∞
0
m
2
ReM]
H
1
(iλ |y − η|)
m−2
2
f
f
m−2
|y − η|
9.6 Краевые задачи и операторы преобразо-
вания в R
Рассмотрим модельные задачи Дирихле для полупространства:
m+1
.
n,+
⎧
⎨
⎩
=0, 0 <x,y∈ Rm,
Δˆu
0
|
= f0(y) ,y∈ R
ˆu
0
x=l
0
Δˆu
=0, 0 <x, y∈ Rm,
js
|
ˆu
= fjs(y) ,y∈ Rm,
js
x=l
s
j, s =1, ..., n; j =1, 2.
116
m
Если f0,fjs∈ H
существует, единственное решение ˆu
β−1/2
(Rm) ,β ≥ 1, то у каждой из выписанных задач
2
, ˆujs∈ H
0
β
(R+× Rm) [11], которое
2
находится по формуле Пуассона для верхней полуплоскости. Основную
формулу (9.26) преобразуем к виду:
+
u
n
s=1
k
(x, y)=
∞
v
k,s
0
∞
0
(x, λ)
v
(x, λ)
k,0
∞
0
sinλξ
0
1
∞
sinλξ ˆu0(ξ,y) dξλdλ+
0
(ξ,y)
(ξ,y)
dξ
λdλ.
ˆu
1s
ˆu
2s
Таким образом, решение основной краевой задачи выражается при
помощи операторов преобразования по формуле:
2
n
j=1
Pjs[ˆujs] .
s=1
u = P
[ˆu0]+
0
117
Глава 10
Неоднородные краевые задачи
для функций, гармонических в
кусочно-однородном
пространстве
10.1 Задача Штурма- Лиувилля для опера-
тора Фурье в I
Рассмотрим задачу Штурма- Лиувилля о конструкции ограниченного на множестве
=x : x ∈
I
n
нетривиального решения сепаратной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2
d
+ q
2
dx
по условиям контакта в точках сопряжения интервалов
n+1
U
j=0
2
=0,q
y
m
m
k
[yk]=Γ
Γ
j1
(l
) ,l0≥ 0,l−1= −∞,l
j−1,lj
k
[y
k+1
j2
.
n
= ∞,lj<l
n+1
2
−2
= a
m
] ,x= lk,k=0, ..., n, j =1, 2, (10.2)
· λ2,am> 0; m =0, ..., n +1, (10.1)
m
118
j+1
И по краевым условиям
k
k
, Γ
, Γ
здесь Γ
0
j1
(j =1, 2; k =1, ..., n) - некоторые операторы, пере-
j2
становочные с оператором
| < ∞, |y
|y
0
d
.
dx
| < ∞, (10.3)
n+1
Пусть при некотором λ рассматриваемая краевая задача имеет нетривиальное решение
n+1
y (x, λ)=
θ (x − l
k=0
) θ (lk− x) yk(x, λ) .
k−1
В этом случае число λ называется собственным значением, а соответствующее решение y (x, λ) - собственной вектор-функцией.
d
Из равенств Γ
такие, что:
√
k
e
Γ
ij
k
ij
px
= α
k
ij
d
k
=
Γ
следует, что существуют функции α
dx
√
· e
ij
dx
px
,i,j =1, 2; k =1, ..., n.
В дальнейшем считаем выполненными условия:
det M
kj
=det
Обозначим
(x, p)=e
ϕ
0
q0·x·i
α
α
; ψ
k
1j
k
2j
n+1
√
pα
√
pα
(x, p)=e
k
−
1j
k
−
2j
Rep ≥ σ
−q
√
√
p
=0,k=1, ..., n, j =1, 2,
p
> 0.
0
n+1
·x·i
; q
n+1
= a
−1
n+1
·√p.
Из условия (10.4) следует, что рекуррентные соотношения
k
,α
j1
(10.4)
k
j2
k
[ϕ
Γ
k+1
j2
корректно задают остальные n пар функций (ϕ
]=Γ
k
[ϕk] , Γ
j1
k
[ψk]= Γ
j1
k
[ψ
] ,k=0, ..., n, j =1, 2, (10.5)
k+1
j2
) ,k=1, ..., n.
k,ψk
Примем также обозначения:
k
[ϕk(x,√p)]
Γ
ij
k
Γ
[ψk(x,√p)]
ij
x=l
k
= ϕ
(√p) ,i,j =1, 2; k =0, 1, ..., n,
ij
k
k
= ψ
(x,√p) ,i,j =1, 2; k =0, 1, ..., n,
ij
и потребуем выполнения условий неограниченной разрешимости задачи
119
det Ωk(√p) =0,Rep≥ σ0> 0. (10.6)
Теорема 10.1 Спектр задачи (10.1)-(10.3) непрерывен и заполняет всю
полуось (−∞, ∞) . Все собственные значения λ задачи Штурма-Лиувилля
простые. В качестве собственного вектора, соответствующего λ, можно взять функцию
n+1
ϕ (x, λ)=
θ (x − l
k=0
) θ (lk− x) ϕk(x, λ) .
k−1
10.2 Функции влияния в In.
Введем функции влияния H
∗
по формулам:
j,s
при k<s
∗
= ϕk(x,√p) (10) Ω
H
k,s
−1
(ξ,√p) ,k,s=0, 1, ..., n,
s
при k>s
∗
= −ψk(x) · (01) Ω
H
k,s
−1
(ξ) ,l
s
<x<lk,l
k−1
s−1
<ξ<ls,
при k=s
∗
=
H
k,s
Функции H
ϕ
k
−ψ
x,
x,
k
∗
k,s
√
p(10) Ω
√
p· (01) Ω
√
p, x, ξопределены корректно в силу условий неогра-
−1
k
−1
s
√
ξ,
p,l
ξ,
√
<x<ξ<lk,
k−1
p,l
k−1
<ξ<x<lk,k =1, ..., n +1.
ниченной разрешимости задачи (10.6). С их помощью можно найти решение сепаратной системы обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
2
d
2
− pzk=0,k =0, 1, ..., n +1 (10.7)
a
k
2
dx
по краевым условиям
| < ∞; |z
|z
0
| < ∞ (10.8)
n+1
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]