Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
причем˜K1= {S1,...,S
i
,i=1, 2,...,m,j =1, 2, 3, 4 удовлетворяют условиям: Sj∈˜K1∪˜K2,
S
=(xi,yi,zi),t=1, 2,...,m,x1= ...= x
S
i
1
= ...= y
y
где b>0 - некоторая постоянная,
1
,Si)=ρ(S2,Si)=r
ρ(S
3
,Si)=ρ(S4,Si)=r
ρ(S
1
,Sv)=ρ(S3,Sv)=r
ρ(S
2
,Sv)=ρ(S4,Sv)=r
ρ(S
1
1
2
<r
2
1
<r
r
<r
1
Легко увидеть из условий (31.7), что объекты выборки˜S
неизоморфны относительно I
} и˜K2= {S
m
1
m
m1+1
1
= y
i
> 0, (31.7)
1
i
> 0,i=1, 2,...,m1,
2
v
> 0,
1
v
> 0,v= m1+1,...,m,
2
2
<...<r
2
= ...= ym,zi= b(i − 1),
m
1
<r
1
и, следовательно, задача Z = Z(I0,˜S4)
0
,...,Sm}, где объекты Siи
m
1
m
m1+1
1
= x
m
m1+1
1
≤ r
2
2
= ...= xm, (31.6)
m1+1
<r
<r
1
m
2
m
<r
1
q
попарно
.
регулярна. Рассмотрим классы операторов вычисления оценок в однопа-
3
раметрическом множестве E
значим их, соответственно, {˜R
на 2m +1 классов 1-эквивалентности (см. [14]) K
, для которых x =(1, 0) и x =(0, 1). Обо-
} и {˜R01}. Тогда класс {˜R10} распадается
10
1
[R],t=1, 2,...,2m1+1,
t
определяемых, соответственно, значениями параметра
m
=0,r
1
1
,r
1
,...,r
2
m
1
1
,r
.
1
2
Аналогично,
2(m−m1)+1
} =
{˜R
01
где классы эквивалентности K
метрами =0,r
m1+1
2
,r
m1+1
1
...,r
4
t=1
0
[R] определяются, соответственно, пара-
t
m
m
,r
.
2
1
K
0
t
[R],
В силу условий (31.6), (31.7), для всякого оператора R = R(p, γ, , x) ∈
} его оценки для объектов выборки˜S4имеют вид
{˜R
10
(S1)=Γ1(S2)=p(γ1+ ...+ γt), (31.8)
Γ
1
(S3)=Γ1(S4)=p(γ1+ ...+ αγt),
Γ
1
где γ =(γ
R ∈ K
,...,γm),t - номер класса 1-эквивалентности, для которого
1
1
[R], t =2, 3,...,2m1+1;α =1, если ∈ [r
t
t
t
,r
),иα =0в
1
2
311
противном случае; если же <r
1
, т.е. R ∈ K
1
1
[R],тоΓ1(Si) ≡ 0,i =
1
1, 2, 3, 4. Аналогично, рассмотрим для всякого оператора R
4
оценки для˜S
:
∈{˜R01} его
(S1)=Γ
Γ
1
(S2)=Γ
Γ
1
q - номер такой, что R
противном случае; если же ≥ r
(S3)=p(γ
1
(S4)=p(βγ
1
0
∈ K
[R]; β =1, если =[r
q
m
,тоΓ
1
+ ...+ γm), (31.9)
m1+q
+ ...+ γm),
m1+q
q+m
q+m
1
1
,r
(Si) ≡ 0.
1
2
),иβ =0в
1
Таким образом, для всякого оператораˆR ∈{R}из (31,8), (31.9)полу-
4
m−m
j=q
γi+ αγ
γi+ αγ
:
t
t
1
γ
mi+j
m1+q
!
+ b
!
+ bβγ
$
, (31.10)
1
γ
m1+j
mi+j
+
$
m−m
!$
,
j=2
1
,
γ
m1+j
!$
+
m−m
j=1
m−m
j=2
1
γ
m1+q
чаем следующие оценки для˜S
t
ˆ
Γ
(S1)=p#a
1
ˆ
Γ
(S2)=p#a
1
ˆ
Γ
(S3)=p#a
1
ˆ
Γ
(S4)=p#a
1
γi+ b
i=1
t
γi+ bβγ
i=1
t−1
i=1
t−1
i=1
Полагая
t−1
γi= K1,b
a
i=1
t−1
a
γi+ αγ
i=1
m−m
1
γ
= K2,
m1+j
j=1
!
= K
t
,bβγ
3
m1+q
+
m−m
j=2
1
γ
m1+j
!
= K
4
из (31.10) имеем
,
,
(S1)=K1+ K2, Γ1(S2)=K1+ K4, (31.11)
Γ
1
(S3)=K2+ K3, Γ1(S4)=K2+ K4,
Γ
1
312
Покажем, что классификация (S1,S4); (S2,S3) не реализуется ни-
каким оператором R ∈L(R). Пусть для данного решающего правила
r(C) , определяемого константами C
1,C2,C1
≤ C2, существует оператор
R ∈L(R) , реализующий эту классификацию. Тогда
v
R =
ciRi, гдеRi∈{R},ci= const
i=1
Используя (31.11), оценки оператора можно представить в виде
(S1)=
Γ
1
(S3)=
Γ
1
v
i=1
v
i=1
ci(k
ci(k
i
i
+ k
), Γ1(S2)=
1
2
i
i
+ k
), Γ1(S4)=
2
3
v
i=1
v
i=1
ci(k
ci(k
i
i
+ k
), (31.12)
1
4
i
i
+ k
),
2
4
и, следовательно, по определению алгоритма вычисления оценок,
Γ
(S1) >C2, Γ1(S4) >C2, Γ1(S2) >C1, Γ1(S3) >C1, (31.13)
1
Из (31.12), (31.13) имеем
(S1)+Γ1(S4)=
Γ
1
(S2)+Γ1(S3)=
Γ
1
v
i=1
v
i=1
c
i
c
i
4
j=1
4
j=1
!
i
> 2C
k
j
,
2
!
i
> 2C
k
j
.
1
Получили противоречие. Таким образом, L{R} некорректно над множеством регулярных задач, а значит, модель алгоритмов вычисления оценок неполна. Теорема доказана.
31.3 Алгебра, порожденная выборкой˜S
q
Выделим достаточные условия, при которых для произвольной выборки
q
˜
S
в линейном замыкании L{A} найдется алгоритмы, корректный для
Z.Для этого осуществим некоторые вспомогательные построения.
313
Пусть даны выборка˜Sq=(S1,...,Sq), набор =(1,...,n), опорное
множество Ω={i
Определение 31.9. Объекты S
зываются (i, )-эквивалентными относительно Ω, если B(ωS
t
,ωSi,)=Pj(Si) и обозначаются St∼ Sv(i, , Ω) или же St∼
B(ωS
v
(i, ), если множество Ω заранее фиксировано.
S
,...,ik}, Ω ↔ ω.
1
t
и Sv,t,v =1, 2,...,q, t = v,на-
,ωSi,)=
t
Заметим, что данное бинарное отношение является отношением эквивалентности только при фиксированных i =1, 2,...,m,k =1, 2,...,n.
Определение 31.10. Пусть {Ω} - произвольная система опорных
t
множеств. Объекты S
системы {Ω}, если существует множество Ω ∈{πΩ}, для которого S
v
(i, , Ω).
S
Соответствующие классы (i, )- эквивалентности обозначим [S
v]i
= {St| St∈˜Sq,St∼ Sv(i, , Ω)}.
[S
и Svназовем (i, )-эквивалентными относительно
t
v]i
, т.е.
∼
Рассмотрим совокупность всех классов (i, )- эквивалентности относительно {Ω} для задачи Z(I
i
R = {[S]
| i =1, 2,...,m; =(1,...,n),∈ (R+∪{−1})n}.
Утверждение. Для любого опорного множества Ω={i
классов (i, )- эквивалентности не превосходит |R|≤(q +1)
Доказательство. Рассмотрим множества
i
= {ρ(v,i, j) | j =1, 2,...,q},i=1, 2,...,m,v ∈ Ω. Оставим в каж-
R
v
,˜Sq):
0
,...,ik} число
1
k
m.
дом из них только попарно различные элементы. В итоге для каждого
i получим k возрастающих последовательностей элементов из множеств
i
:
R
v
Обозначим и E
пусть E
1, 2,...,m каждый класс (i, )- эквивалентности задается некоторым ∈
E
i
= E
i
. При этом число таких классов не превосходит (p1+1)(p2+1)...(pk+
1)m ≤ (q +1)
Всякому классу [S]
дексов объектов выборки˜S
{M(i, ) | i =1, 2,...,m; =(
F ⊆ F
всех попарно различных элементов из F0. Пусть {˜α(q)} -множе-
0
,i,vt1) <ρ(it,i,vt2) <...,ρ(iy,i,v
ρ(i
t
i
= {ρ(it,i,vij) | j =1, 2,...,pt}∪{0},t =1, 2,...,k, и
i
t
i
× ...×E
i
1
k
m.
i
; тогда нетрудно видеть, что для всякого i =
i
k
i
поставим в соответствие множество M (i, ) ин-
q
, входящих в [S]
,...,n); j∈ R+∪{0}} рассмотрим
1
i
. Для совокупности F0=
).
tp
1
ство всех булевых векторов длины q. Зададим соответствие
ϕ : F →{˜α(q)} (31.14)
314
такое, что для всякого множества M ∈ F, M = {i1,...,ip},будетϕ(M )=
,...,αq),гдеαi=1тогда и только тогда, когда i ∈ M. Как следует
(α
1
из (31.14), соответствие ϕ является взаимно однозначным отображением
F в {˜α(q)}.
q
Через G(˜S
) обозначим множество всех векторов {α | α = ϕ(M ); M ∈
F }. Введем на {˜α(q)} два бинарных отношения: ≺ и ∝. Пусть α =
,...,αq) и β =(β1,...,βq), α, β ∈{˜α(q)}, тогда α ≺ β , если αi≤ β
(α
1
для всех i =1, 2,...,q; в противном случае будем писать α←≺ β и α ∝ β,
если для всякого i =1, 2,...,q либо α
ном случае α
∝ β. Очевидно, отношение ∝ симметрично. Введенным
←
= βiлибо αi= βi=0; в против-
i
отношениям соответствуют две операции:
− β1,...,αij− βij), если α ≺ β (31.15)
(α
αΘβ =
α ⊕ β =
В результате множество G(˜S
ет алгебру, которую будем обозначать через=G
алгеброй, порожденной выборкой˜S
ных множеств {Ω} ,гдеG
алгебры=G
1
(0,...,0), если α
+ β1,...,αij+ βij, если α ∝ β
(α
1
(0,...,0), если α
q
) вместе с операциями (31.15) порожда-
(˜Sq) - множество-носитель алгебры. Элементы
0
(˜Sq); ⊕, >с единичной нормой назовем атомарными.
0
≺ β
←
∝ β
←
(˜Sq); ⊕, >и называть
0
q
относительно данной системы опор-
i
31.4 Корректность LA над множеством
эффективно отделимых задач
Рассмотрим множество алгоритмов {A4} и соответствующую ему систему опорных множеств {Ω}.
Теорема 31.2 Для всякой выборки˜S
гебра=G
(˜Sq); ⊕, >относительно {Ω} содержит все атомарные эле-
0
менты {˜α(q)} , в линейном замыкании LA
j-корректный для Z = Z(I
,˜Sq).
0
bf Доказательство. С этой целью построим список Ξ состоящий из пар
(α, R(α)) таких, что α - элемент алгебры=G
q
такой, что порожденная ею ал-
{πΩ} существует алгоритм,
2
(˜Sq); ⊕, >,аR(α) -опе-
0
315
ратор, поставленный ему в соответствие определенным образом. Осуществим построение поэтапно, обозначив через {(α, R(α))}
множество
n
элементов, включенных в Ξ на n-м этапе, а множество соответствующих
ему первых и вторых компонент обозначим {α}
деления отображения (31.14), для каждого элемента α ∈ G(˜S
−1
(α) является некоторым классом (i, )- эквивалентности [S]
ϕ
ветствующего опорного множества Ω={i
=(1,...,n) и индекса i0∈{1, 2,...,m} .
0
Этап 1. Для всякого α ∈ G(˜S
q
) определим оператор R = R(p, γ, , x) с
опорным множеством Ω,R◦r(C) ∈ A
= Q · 2
γ
i
0
∈˜C˜Kjpr=(2
S
i
0
i = i
0
Этап n. Пусть имеется часть списка, полученная до n-го этапа включительно: {(α, R(α))}
{α}
1
p−1
,P =2q− q; x =(1, 0), если S
P −1)−1
k, r ∈ Ω; p
r
; = 0.Тогда'(α, R(α)) | α ∈ G
n
= {(α, R(α))}1∪...∪{(α, R(α))}n,атакже{α}n=
∪ ...∪{α}n, {R(α)}n= {R(α)}1∪ ...∪{R(α)}n.
1
{πΩ}, и параметрами γ =(γ1,...,γm),
2
произвольны, r/∈ Ω ;γi=1/(m−1)Q,
(
q
˜
S
Этап n+1. В множестве булевых векторов {α}
можные пары различных элементов (α
и α +2 ∝ β2. Вычислим γ = β1 α1,δ = α2⊕ β2. Выберем из
β
1
1,β1
и {R(α)}n. В силу опре-
n
q
) прообраз
i
для соот-
,...,ik}, Ω ∈{πΩ}, параметра
∈˜Kj,иx =(0, 1), если
i
0
= {α, R(α)}
n
.
1
рассмотрим всевоз-
) и (α2,β2), для которых α1≺
множества полученных векторов {γ} и {δ} векторы, не принадлежа-
n
щие {α}
и δ зададим операторы R(γ)=R(β
, если такие имеются. Для вновь присоединенных векторов γ
) − R(α1),R(δ)=R(β2) − R(α2) .
1
В результате получим новые множества {(γ, R(γ))} и {(δ, R(δ))}. Положим {(α, R(α))}
{δ}, {R(α)}
n+1
= {(γ, R(γ))}∪{(δ, R(δ))},атакже{α}
n+1
= {R(γ)}∪{R(δ)}. Описание построения списка Ξ закон-
чено.
Очевидно, если {(α, R(α))} =Øдля некоторого n,то{(α, R(α))}
n+1
= {γ}∪
n
n+1
Ø для всякого k ∈ N, N = {1, 2,,3 ...}
Докажем, что для всякого атомарного элемента α =(α
=1список Ξ содержит соответствующую пару (α, R(α)), у которой
α
i
...,αq),где
1
для любого сколь угодно большого числа Q оценки оператора удовлетворяют условиям
(Si) ≥ Q − 1/Q, | Γj(S
Γ
j
=1, 2,...,i,i− 1,i+1,...,q
i
i
) |≤ 1/Q, (31.16)
Замечание. Поскольку на каждом этапе происходит добавление не
менее одного ненулевого элемента алгебры=G
(˜Sq); ⊕, >, то, очевидно,
0
=
316
число этапов заведомо не превосходит P =2q− q, пока в списке Ξ не
n
будет получено множество {α}
, содержащее все атомарные элементы
из {˜α(q)} . При этом, как следует из построения Ξ всякий оператор R ∈
{R(α)}
, представляет собой алгебраическую сумму не более чем 2
n
n−1
операторов, принадлежащих R(α)}1.
Докажем оценки (31.16) индукцией по числу этапов. Рассмотрим n =
1. Тогда, в силу определения этапа 1, для всякого t ∈{i
t
, данная оператором R(α) по лемме, доказанной в [14], удовлетворяет
S
неравенствам Q ≤ Γ
p−1)−1
(Q·2
.В то же время 0 ≤ Γj(Sv) ≤ Q+(Q·2
(St) ≤ (2
j
p−1)−1
(Q·2
p−1
+1/Q), или Q ≤ Γj(St) ≤ Q+
p−1)−1
,...,ik} оценка
1
для v ∈{i1,...,ik}.
Покажем, что для всякого элемента (β, R(β)) множества {(α, R(α))}
где β =(β
,...,βq), выполняются следующие свойства. Пусть β
1
все единичные компоненты β, тогда для всякого t ∈{j
,...,jk} оценки
1
,...,β
j
1
j
оператора R(β) имеют вид
| Γ
(St) − Q |≤ (Q · 2
j
P −n)−1
(31.17)
,
n
-
k
и для v ∈{j
,...,jk}
1
| Γ
(Sv) − Q |≤ (Q · 2
j
P −n)−1
(31.18)
Предположив, что оценки (31.17), (31.18) выполняются для n = τ,
докажем их выполнимость для n = τ +1.
По построению списка Ξ для всякого элемента
(γ,R(γ)) ∈{(α, R(α))}
τ+1
имеем либо γ = β α, R(γ)=R(β) −R(α),α ≺ β, либо γ = β ⊕α, R(γ)=
n
R(β)+R(α),α∝ β. В обоих случаях α, β ∈{α}
,R(α),R(β) ∈{R(α)}n.
Доказательства этих случаев аналогичны, поэтому рассмотрим лишь
один из них, например первый.
Пусть A = {i
,...,ik}, E = {j1,...,ir} - множества всех единичных
1
компонент векторов γ и α соответственно. Тогда, по определению операции вектор β имеет множество номеров всех единичных компонент
B = {i
ложению, оценки, доставляемые операторами R(β) и R(α) , а именно
Γ
t ∈B,v
,...,ik,j1,...,ir} причем E∩A=Ø. По индуктивному предпо-
1
β
j
α
(St), Γ
(St), t ∈Eудовлетворяют условию (31.17), а Γ
j
∈E- условию (31.18) при n = τ . Поскольку число слагаемых в
β
(St), Γ
j
α
t
(S
),
j
алгебраической сумме операторов, равной R(γ), не более чем в два ра-
за превосходит число слагаемых подобных сумм для операторов R(β),
317
R(α), то оценка оператора R(γ) имеет вид Γ
всякого w ∈A
В случае w
∈Aлибо w∈Eлибо w∈Bи, по (31.17), (31.18),
γ
(Sw) − Q |≤ 2(Q · 2
| Γ
j
(Sw|≤ 2(Q · 2
| Γ
j
P −τ)−1
P −τ)−1
γ
(S)=Γ
j
.
β
(S) − Γ
j
α
j
и для
.
Отсюда вытекает оценка (31.16). Таким образом, для всякого объекта
i
выборки˜Sqв L{R2{πΩ}} существует оператор R(α) (где α - атомар-
S
ный элемент {˜α(q)} такой, что для его оценок
(Si) − Q |≤ 1/Q, | Γj(S
| Γ
j
i
) − Q |≤ 1/Q, i=1, 2,...,i−1,i+1,...,q.
Посредством выбора достаточно большого Q любая классификация
q
˜
S
реализуется подходящим оператором из L{R2{πΩ}}. Теорема доказа-
на.
Заметим, что число элементов
n+1
q
− q
|{R(α)}
|≤ min(2n− 1)m
1
q − 1
, 2
q
− 1.
Данная оценка вытекает из подсчета числа классов (i, )- эквивалентности по всем системам {Ω} с использованием утверждения из п. 31.3.
Зафиксируем систему опорных множеств Ω.
Определение 31.11. Задачу Z = Z(I
делимой, если алгебра U ==G
(˜Sq); ⊕, >, порождаемая выборкой˜S
0
,˜Sq) назовем эффективно от-
0
относительно {Ω} , содержит все атомарные элементы {˜α(q)}.
Пусть задано множество алгоритмов {A
} вместе с системой {A4}.
4
Тогда из леммы 31.1 и теоремы 31.2 вытекает
Следствие 31.1. Линейное замыкание L{A
} является j-корректным
4
над множеством эффективно отделимых задач.
Подобное утверждение имеет место, если вместо L{A
вать L{A
}, L{A3}, или L{A2} с соответствующими этим классам ал-
123
} рассматри-
4
горитмов системами опорных множеств.
Все последующие рассуждения будут верны одновременно для любого из классов алгоритмов {A
}, {A2}, {A4}, {A
1
}, поэтому будем ис-
123
пользовать обозначение для класса без индексов: {A}. Пусть L ∈ N ,
обозначим
L
{A} ="A | A =
U
L
ciAi; Ai∈{A},ci= const%.
i=1
q
318
Как замечено при доказательстве теоремы 31.2, всякий оператор R(α)
из списка Ξ представляет собой алгебраическую сумму операторов R,
взятых с некоторыми коэффициентами, где R ∈{R(α)}
но, по замечанию к теореме 31.2, всякая классификация выборки˜S
ализуется оператором
R
∈{R(α)}1и t ≤ T = min[qm(2q)n, 2q]. Отсюда вытекает
где R
i
Следствие 31.2. Класс алгоритмов U
t
=
i=1
ciRi,
{A} является j-корректным
T
0
. Следователь-
1
q
ре-
над множеством эффективно отделимых задач.
Определение 31.12. Наибольшее число q, при котором существует
q
выборка˜S
такая, что все ее классификации реализуются операторами
R ∈{R | R ◦ r(C ) ∈{A}}, называется емкостью класса алгоритмов
{A} , если такое q существует. В противном случае емкость считается
бесконечной.
Следствие 31.3. Емкость h класса алгоритмов U
{A} конечна.
T
Доказательство вытекает из теоремы 2, доказанной в [14] , и из определения класса U
{A}.
T
Следствие 31.3 гарантирует для всякой эффективно отделимой задачи Z(I
,˜Sq) существование алгоритма, минимизирующего функционал
0
эмпирического риска по [14], т.е. процедуры, позволяющей с вероятностью, близкой к единице, отыскать алгоритм в классе U
цирующий с заданной степенью точности выборки˜S
{A}, классифи-
T
q
.
Следствие 31.4. Емкость линейного замыкания L{A} является бес-
конечной.
bf Доказательство. Построим выборку сколь угодно большой длины в
некотором признаковом пространстве, у которой любая классификация
реализуется подходящим оператором из L{R}. Рассмотрим пространство R - множество действительных чисел со стандартной метрикой
расстояния ρ. Пусть заданы начальная информация I
q
и выборка˜S
что ρ(S
q
1, 2,...,m. Тогда алгебра U ==G
элементы из {˜α(q)} и задача Z (I
с произвольной информационной матрицей αij такая,
,Si) > (S
q−1
,Si) > ... > (S1,Si) > 0 хотя бы для одного i =
(˜Sq); ⊕, >содержит все атомарные
0
,˜Sq) является эффективно отделимой
0
для класса {A} и, по следствию 31.2, L{A} корректно для Z (I
висимо от выбора α
ijq×l
.
= {S1,...,Sm}
0
,˜Sq) неза-
0
319
Достаточные условия, сформулированные в теореме 31.2, не являются необходимыми, что подтверждает
Теорема 31.3 Существуют не эффективно отделимые задачи, для которых линейное замыкание L{A} корректно.
3
bf Доказательство. Рассмотрим R
с метрикой ρ такой, что если x =(x
- трехмерное евклидово пространство
1,x2,x3
),y =(y1,y2,y3),x,y ∈ R3,то
ρ(x, y)= max
Существует некоторое разбиение R
задача Z = Z (I
)=(1, 0),α(S3)=(0, 1),˜S4=(S1,...,S4) удовлетворяют условиям
α(S
2
Задача Z = Z(I
,˜Z4) ,гдеI0= (S1,S2,S3); α(S1),α(S2),α(S3),α(S1)=
0
1
0 <ρ(S
0 <ρ(S
0 <ρ(S
,S1)=ρ(S2,S1) <ρ(S3,S1)=ρ(S4,S1),
1
,S2)=ρ(S3,S2) <ρ(S2,S2)=ρ(S4,S2),
1
,S3)=ρ(S4,S3) <ρ(S2,S3)=ρ(S3,S3).
,˜Z4), для которой выполняются эти условия, дей-
0
| xi− y1| .
i=1,2,3
3
на два класса: R3= K1∪K2. Задана
ствительно существует. Приведем примеры таких задач, различающиеся
значением действительного числа r>0 , связывающего условия, приве-
денные ниже.
1
Пусть S
=(x1,x2,x3), S2=(y1,y2,y3), S3=(z1,z2,z3),гдеx1= y1, c1= b1,
S
1
= d2, y1− a1= c1− y1=6r, c1− z1=10r, y1− d1=3r, y2− c2=
c
2
a
2−y2
− z3= z3− a3=7r, c3− z3=2r, x3− a3=3r.
d
3
=(a1,a2,a3), S2=(b1,b2,b3), S3=(c1,c2,c3), S4=(d1,d2,d3),
=6.5r, b2−z2= z2−c2=7r, x2−c2=15r, d3−y3= y3−b3=8r,
Отсюда
1
,S1)=| a1− x1|=| x1− b1|= ρ(S2,S1)=6r,
ρ(S
3
,S1)=| c2− x2|=| d2− x2|= ρ(S4,S1)=15r,
ρ(S
1
,S2)=| a2− y2|=| c2− y2|= ρ(S3,S2)=6r,
ρ(S
2
,S2)=| b3− y3|=| d3− y3|= ρ(S4,S2)=8r,
ρ(S
1
,S3)=| a3− z3|=| d3− z3|= ρ(S4,S3)=7r,
ρ(S
2
,S3)=| b1− z1|=| c1− z1|= ρ(S3,S3)=10r,
ρ(S
Здесь мы имеем следующие классы - (i, )-эквивалентности:
K
= {S1,S2},K2= {S1,S3},K3= {S1,S4},K4= {S1,S2,S3,S4}.
1
320
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]