Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
назовем весом задачи Z .
Для всяких i =1, 2,...,m, k =1, 2,...,n определим последователь-
q
ность классов допустимых объектов из˜S
q
˜
S
попадают в один класс, если ρ(k, i, t1)=ρ(k, i, t2) (ρ(k,i, t) определено.
такую, что объекты S
t
В результате данная последовательность имеет вид
,...,U
p(i,k)
, 1 ≤ p(i, k) ≤ q. (33.3)
ik
1
U
ik
Для всякого v =1, 2,...,q определим
1
,S
t
2
∈
j
F = min{r | r =| U
Величину F(Z)= max
|,Sv∈ U
ik
Fvназовем степенью близости задачи Z.Оче-
1≤v≤q
видно, F(Z) ≤ q − 1 . Тогда существует натуральное N
Теорема 33.1 Для всякого i =1, 2,...,l существует алгоритм A
q−1
{A1} , корректный для Z по классу Kjи представимый в виде Aj=
U
◦ r(C) ,
R
j
где C
∈ R, R
vj
j
vi
= R
R
=
j
v∈R(j)
j1
j2
− R
vi
vi
j
; i =1, 2,...,m; k =1, 2,...,n}.
ik
1
j
R
· ...·R
v
1
J
v
0
j2
- операторы вычисления оценок.
vi
, (33.4)
v
Jv
, R
C
vj
N
j1
,R
vi
такое, что верна
0
j
Класс алгоритмов, корректный для всякой задачи Z ∈ Z по классу K
для j =1, 2,...,l , назовем отделимо-корректным над Z .Через Zq(I0,δ)
обозначим класс регулярных задач Z(I
,˜Sδ) , вес которых ограничен
0
V (Z) ≤ q, 0 ≤ q ≤ δ.
k
Следствие 33.1. Класс алгоритмов (U
q
корректным над Z
(I0,δ).
{A1}) является отделимо-
Теорема 33.1 является аналогом результатов [1,2], причем вместо класса {A} рассматривается его сужение, для которого степень алгебраического замыкания понижена до q − 1 .
Следствие 33.2. Оператор R
где H =(τ
= ...= h
h
1
Обозначим μ
,...,τp; h1,h2,...h
1,τ2
=2; L ≤ q2+ q.
˜
L
=max{d | d = μM[F (Z, L)],
0
из [14] принадлежит классу F(H) ,
j
), τ1= q − 1, τ2= ... = τp=[q/2],
˜
L
*
x[F (Z,L)]
[F (Z, L)] = F(H)}.
С учетом (33.2) верна
=
j
341
Теорема 33.2 Емкость класса A(L) ограничена:
Δ
{A(L)}≤min{q | q ≥ μ0(log2(x[F (Z, L)]) + 1) + 1}.
M
Отсюда вытекает
Следствие 33. 3. Емкость класса F(H) ограничена:
Δ
{A(L)}≤μ
M
C +1+
0
(1 + log2C)
log
2
log2C
D log
2
C,
где D = Ln, C = D(log
m +log2μ0+1)+1.
2
Как следует из теоремы 33.2 и следствия 33.3, оценка емкости класса
A(L) может быть существенно понижена за счет более низкой оценки величины μ
Пусть L
[F (Z, L)]. Такая оценка получена в следующем утверждении.
M
- число операторов типа P в задании произвольного опера-
p
торного полинома (33.1), порождающего класс [F (Z, L)].
Теорема 33.3 Для произвольного признакового пространства M
[F (Z, L)] ≤ [(Lp+1)(L − Lp+1)]mn. (33.5)
μ
M
В случае M = R
n
, где Rn- декартово произведение метрическо-
го пространства R,ρ(x, y), ρ(x, y)=| x − y |оценка (5) может быть
значительно улучшена.
Теорема 33.4 Для произвольного класса эквивалентности [F (Z, L)]
n
μ
[F (Z, L)] ≤ [(Lpm +1)(L − Lp)m +1]n. (33.6)
R
Используя (33.5) , (33.6) , получаем оценку емкости A(L) .
Теорема 33.5 Верны неравенства:
+2
2mn
[C1+2D log2C1],
+2
L
2
2
+1)+1;
a)Δ
C
1
b)Δ
R
C
Обозначим Z
{A(L)}≤
M
L
2
= D(log2m +2mn log
n
{A(L)}(Lm +1)2n[C2+2D log2C2],
= D(log2m +2n log2(Lm +1)+1)+1.
2
q
,δ)={Z | Z ∈ Zq(I0,δ), F(Z) ≤F}.
(I
0
F
342
Теорема 33.6 Класс алгоритмов A(qF) отделимо корректен над мно-
жеством Z
q
,δ) и его емкость ограничена сверху:
(I
0
F
n
{A(qF}≤(qFm +1)n[a +2b log2a],
Δ
R
где b = nqF, a = b(log
Рассмотрим случайную и независимую выборку˜S
и˜Sδсоответственно обучающая и контрольная подвыборки. Пусть Z1=
,˜Sδ) и Z2= Z2(I0,˜Sδ) -регулярные задачи из множества Z
Z
1(I0
Тогда теорема 32.6 вместе с результатами [14] позволяет построить
алгоритм с заданным качеством для задач из множества Z
Теорема 33.7 Существует алгоритм A ∈ U
,˜Sδ) и такой, что для всяких η>0, > 0 с вероятностью 1 − η
Z
1(I0
частота ошибок алгоритма A на контрольной выборке˜S
если
δ ≥
4
m + n log2(qFm +1)+1)+1.
2
(qFm +1)
n
1 − ln
4
− ln
2δ
=(˜Sδ,˜Sδ),где˜S
q
F
q
{A}, корректный для
η
(a +2b log
3
a).
2
q
(I
F
(I
,δ).
0
δ
v(A) ≤ ,
0
,δ).
Рассмотрим следующую модификацию метода построения отделимо корректного класса алгоритмов для регулярных задач. Определим для всякой пары натуральных чисел (v, k), 1 ≤ v ≤ k ≤ p(i, k) множество допустимых объектов
j
где U
{S
взяты из (33.3), которое назовем (i, k)-интервалом, и пусть S(R)=
ik
v
| v ∈R(j)}.
r
(i, k)=
L
v
Определение 33.1. Покрытием множестваˆS ⊂˜S
всякую последовательность (i, k)-интервалов L
кую, чтоˆS ⊂
*
1≤j≤w
r
j
L
(ij,kj)!и обозначить π(W,ˆS).
v
j
4
v≤j≤r
j
U
,
ik
r
v
δ
1
(i1,k1),...,L
1
будем называть
r
w
(iw,kw) та-
v
w
Рассмотрим избыточное множество покрытия π(W,ˆS).
4
r
C
(W,ˆS)=
π
1≤j≤w
j
L
(ij,kj)!\ˆS
v
j
δ
Пусть π
,S(R)),π2(W2,S(R)),...,πΣ(WΣ,S(R)) - последователь-
1(W1
ность всех покрытий множества S(R). Каждому ее элементу π
343
j(Wj
,S(R))
будет соответствовать конечная последовательность покрытий избыточного множества Cπ
= Cπj(Wj,S(R)):
j
π
,Cπj),π2j(W2j,Cπj),...,πσj(Wσj,Cπj).
1j(W1j
Для множества допустимых объектов
Ξ(x, j, S(R)) = S(R) ∩ π
определим величину ξ
+ Wxj+ ξxjдостигает минимума в точке (x0,j0):
W
j
E(x
) = min{E(x,j) | x =1, 2,...,σ; j =1, 2,...,Σ}.
0,j0
=| Ξ(x, j, S(R)) | . Пусть функция E(x, j)=
xj
xj(Wxj
,Cπj)
Тогда верна
Теорема 33.8 Для всяких η>0, > 0 с вероятностью 1 − η каж-
дый алгоритм A ∈A(W
(A) ≤ ξ
v
на обучающей выборке, будет иметь частоту ошибок на
x0j
0
контрольной выборке v
2
σ ≥
2
(2(W
j
− W
0
×1 − ln
где D =(W
j
0
−W
x0j
+ W
j
0
(A) ≤ ξ
)m +1)n×
x0j
0
)n, C = D(log2m + n log2(W
0
)) вида (4), имеющий частоту ошибок
x0j
0
+ ε, если ее длина
x0j
0
2
2
C +2D log
C +1−
2
j
0
−W
2 ln(η/5)
2
)m +1)+1.
x0j
0
,
344
Литература
[1] Аттетков А.В., Волков И.К.. Решение одного класса задач нестаци-
онарной теплопроводности в области с движущей границей методом
расщепления обобщҷнного интегрального преобразования Фурье. //
Вестник Московского государственного технического университета
є1. Москва, 1998.-с.40-48.
[2] Баврин И.И., Матросов В.Л., Яремко О.Э. Обобщенный оператор
Римана-Лиувилля в классе матричнозначных функций гармонических в единичном круге и его применения // Математический анализ, Межвуз. сб. науч. т. М.: Прометей, 2000. - С. 3-12.
[3] И.И.Баврин.Интегральные формулы Баврина в случае двух и мно-
гих комплексных переменных// М.:Доклады РАН,Т. 414 , №, 4 ,С.
[4] Баврин И.И., Яремко О.Э. Интегральные представления в областях
Темлякова-Вейля// М.:ДАН СССР,1986, 289,№6. С. 1293-1996.
[5] Баврин И.И., Яремко О.Э. Операторный метод в теории интеграль-
ных преобразований для кусочно-однородных сред // М.:Доклады
РАН,2001.Т.379,№3.С.295-298.
[6] Баврин И.И., Матросов В.Л., Яремко О.Э. Матричные интеграль-
ные преобразования для задач математической физики неоднородных структур. М.- Прометей, 1998. 238 с.
[7] Баврин И.И., Яремко О.Э. О локализации средних Рисса спек-
тральных разложений в кусочно- однородном полупространстве//
М.:Доклады РАН,2002.Т.387, №5. С.586-588.
345
[8] Баврин И.И., Яремко О.Э. Интегральные преобразования Фурье
n
на компактах из R
и их приложения к проблеме моментов//
М.:Доклады РАН,2000.Т.374,№2.С.154-156.
[9] Баврин И.И., Матросов В.Л., Яремко О.Э. Интегральные преобра-
зования и представления функций в действительной и комплексной
областях. М.: Прометей, 2000./416 с.
[10] Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Про-
метей, 1988. 200 с.
[11] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представ-
ления функций и теоремы вложения. М.:Наука,1996.480 с.
[12] Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим дан-
ным. М.:1979. 448 с.
[13] Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных пе-
ременных. М.:Наука, 1964.412с.
[14] Журавлев Ю.И. Корректные алгебры над множествами некоррект-
ных ( эвристических ) алгоритмов // I.- Кибернетика , 1977, №4.
С.14-21; II.- Кибернетика , 1977, №6. С.21-27; III.- 1978,№2.С.35-43.
[15] Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов.
М.: Наука, 1991. 368 с.
[16] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функ-
ционального анализа.М.: Физматиз, 1976. 544 с.
[17] Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных
производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 710
с.
[18] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплекс-
ного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
[19] Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.:
Изд-во иностр. лит., 1948. 476 с.
346
[20] Ленюк М.П. Интегральные преобразования Фурье на кусочно-
однородной полупрямой //Изв. вузов. Математика. 1989. Т. 4. С.14-
18.
[21] Ленюк М.П., Яремко О.Э. Матричные интегральные преобразова-
ния. Киев: Ин- т математики НАН Украины, 1999. 240 с.
[22] Левитан Б.М., Саргаян И.С. Операторы Штурма- Лиувилля и Ди-
рака. М.: Наука, 1988. 156 с.
[23] Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их
приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.
[24] Матросов В.Л. Корректные алгебры ограниченной емкости над мно-
жествами некорректных алгоритмов// Докл.АН СССР,1980.Т.253.
№1.С.25-30.
[25] Matrosov V.L. On completeness criteria for a model of algorithms
computing estimates and its algebraic closures// Dokl. Akad.Nauk
USSSR,1981.Vol.258.№4.
[26] Matrosov V.L. Optimal Algorithms in Algebraic Closures of Estimation
Operators// Dokl. Akad.Nauk USSSR,1982.Vol.262. №4. P.818-828.
n
[27] Рудин У. Теория функций в единичном шаре из C
. М.: Мир,1984.
456 с.
[28] Самарский А.А. Уравнения параболического типа с разрывными ко-
эффициентами// ДАН СССР. Т.121, №2, 1958. С.225-228.
[29] Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Изд-во иностр. лит- ры,
1955. 668 с.
[30] Темляков А.А.// Интегральные представления функций двух ком-
плексных переменных// ДАН СССР. Т.120,№5,1958.
[31] Темляков А.А. Интегральные представления // Ученые записки
МОПИ им. Н. К. Крупской, 1960. Т.96, С.3-14.
[32] Титчмарш Е.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные
с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: Изд-во
иностр. лит., 1960. Т.I. 278 с.
347
[33] Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упру-
гости. Л.: Наука, 1967. 402 с.
[34] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : В 2-х
т. М.: Мир, 1967. Т.2. 748 с.
[35] Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.:
ИЛ, 1962. 832 с.
[36] Хенкин Г. М. Метод интегральных представлений в комплексном
анализе// Современные проблемы математики: Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М.: 1985, №7. C. 23- 124.
[37] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с
частными производными. Теория распределений и анализ Фурье.
М.: Мир, 1986. 462 с.
[38] Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.:
Наука, 1965. 398 с.
[39] Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. 444 с.
[40] История отечественной математики. Киев, 1970. Т.4, кн.1.( отв ре-
дактор И.З.Штокало)
[41] Яремко О.Э. Преобразования с ядрами Миттаг-Леффлера на
кусочно-однородной полуоси и их обращение при помощи преобразований Фурье //Международная школа- семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докл.- Абрау-Дюрсо,1998.С.140-
141.
[42] Яремко О.Э. Матричные гибридные интегральные преобразования
и их применения. Киев: Ин- т математики НАН Украины, 1997. 117
с.
[43] Opial Z., Siciak I.// Integral formulas for functions golomorphic in
convex n-circular domains. Zesz. Nauk. Jagiell. 1963. №77.
348
Оглавление
0.1 Введение ............................. 3
I Матричные интегральные преобразования со спектральным параметром в граничных условиях и в
условиях сопряжения 8
1 Матричные интегральные преобразования Фурье для
(n +1)− слойного пространства 9
1.1 Смешанная краевая задача для оператора Фурье в R
1.2 Прямая и двойственная задачи Штурма- Лиувилля для
оператора Фурье в I
...................... 14
n
1.3 Теоремы разложения по собственным функциям оператора
Фурье в I
............................ 15
n
1.4 Основное тождество интегрального преобразования
оператора Фурье в I
...................... 20
n
2 Матричные интегральные преобразования Фурье для
(n +1)-слойного полупространства 23
2.1 Прямая и двойственная задачи Штурма- Лиувилля для
+
оператора Фурье в I
..................... 23
n
2.2 Теоремы разложения по собственным функциям оператора
+
Фурье в I
2.3 Прямое F
............................ 28
n
и обратное F
n+
−1
матричные интегральные пре-
n+
образования Фурье на действительной полуоси с n точками
сопряжения............................ 36
2.4 Основное тождество интегрального преобразования
+
оператора Фурье в I
..................... 36
n
... 9
n
349
3 Матричные интегральные преобразования Фурье для (n+
1)-слойного сегмента 39
3.1 Смешанная задача Штурма- Лиувилля для оператора Фурье в I
.............................. 39
n
3.2 Прямая и двойственная задачи Штурма- Лиувилля для
оператора Фурье в I
...................... 44
n
3.3 Теорема разложения по собственным функциям оператора
Фурье в I
............................ 48
n
3.4 Прямое и обратное интегральные преобразования Фурье
наотрезкесточкамиделения ................. 50
3.5 Основное тождество интегрального преобразования
оператора Фурье в I
...................... 50
n
4 Матричные интегральные преобразования Фурье - Бессе-
ля на (n +1)- слойной полярной оси 52
4.1 Смешанная краевая задача для оператора Фурье- Бесселя 52
4.2 Теорема разложения по собственным функциям оператора
Фурье-Бесселя .......................... 59
4.3 Задача Штурма- Лиувилля для оператора Фурье- Бесселя 61
4.4 Основное тождество интегрального преобразования опера-
тора Фурье-Бесселя ....................... 62
II Оператор Римана - Лиувилля 65
5 Оператор Римана - Лиувилля в классе функций, гармо-
нических в областях со сферической симметрией, и его
применения 66
5.1 Определение и свойства оператора Римана- Лиувилля . . . 66
5.2 Обобщенная формула Пуассона, ассоциированная с функ-
цией ω (x) ∈ Ω. .......................... 70
5.3 Класс функций, ассоциированных с функцией ω (x) ∈ Ω ,
иегоструктурноепредставление. ............... 72
5.4 Проблема моментов на компактной поверхности. ..... 76
6 Оператор Римана- Лиувилля для функций, гармониче-
ских в верхней полуплоскости 80
6.1 Оператор Римана- Лиувилля и его свойства ......... 80
350
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]