Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
4.4. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ КУРАМОТО – СИВАШИНСКОГО 211
Пусть σ =0. Тогда из (4.107) находим два значения A0:
(1)
11
=
A
0
76
Соответствующие значения C
(2)
,A
0
при этом определяются из уравнения
1
= −
1
. (4.111)
76
(4.109):
C
Постоянные a
(1)
1
=
1
2
0,a1,a2
450
2
−
C
0
6859
и a3в (4.106) при σ =0выражаются формула-
(2)
,C
1
1
=
2
4950
2
+
C
0
. (4.112)
6859
ми
a
= 120,a1=0,a2=
0
90
,a
19
= C0. (4.113)
3
Частные решения уравнения (4.107) в этом случае принимают вид:
k
1
2
z,
th
1
15
11
2
2
19
z,
.
=
1
19
k
tg
2
√
15
19
=
2
361
.
u(x, t)=C
z = x −C
u(x, t)=C
z = x −C
+11A1th
0
t + ϕ0,k1=
0
− A2tg
0
t + ϕ0,k2=
0
В (4.114) и (4.115) C
k
1
3
z− 9A
2
11
,A
19
k
2
3
z+3A
2
√
19
,A
19
и ϕ0— произвольные постоянные. Решения
0
(4.114) и (4.115) иллюстрируются на рис. 4.8 и 4.9 соответственно.
(4.114)
(4.115)
Рис. 4.8. Зависимость от z решения
(4.114) уравнения Курамото – Сивашинского (4.97) при C
0
=1.
Пусть σ =4. Тогда из (4.107) имеем
(3)
1
,A
=
A
0
4
Рис. 4.9. Зависимость от z решения
(4.115) уравнения Курамото – Сивашинского (4.97) при C
(4)
0
1
. (4.116)
= −
4
0
=1.
212 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Значения C1находятся из (4.109)
(3)
1
2
=
C
1
Постоянные a
a
= 120,a1= −60,a2= −30,a3= C0+
0
0,a1,a2
− 18,C
C
0
2
и a3в (4.106) для этого случая принимают вид:
(4)
1
1
2
=
− 8. (4.117)
C
0
2
91
. (4.118)
19
Частные решения уравнения (4.97) при σ =4выражаются формулами
u(x, t)=C
u(x, t)=C
3
A
+
0
5
− 11 − A4tg
0
z = x −C
+ A3th
3
z = x −C
3
0
1
3
z− A
2
t + ϕ0,A3=15,
0
1
z− A
2
tg
4
t + ϕ0,A4=15.
2
3
2
th
1
z− A
2
1
2
z− A
tg
4
th
3
1
z,
2
Зависимости (4.119) и (4.120) представлены на рис. 4.10 и 4.11 соответственно.
1
2
z,
(4.119)
(4.120)
Рис. 4.10. Зависимость от z решения (4.119) уравнения Курамото – Сивашинского (4.97) при
=1.
C
0
Рис. 4.11. Зависимость от z решения
(4.120) уравнения Курамото – Сивашинского (4.97) при C
0
=1.
Кроме указанных выше двух значений σ (σ =0и σ =4), из уравнения
(4.110) находим
13
7
−
=
A
0
380
3040
2
σ
. (4.121)
Подставив (4.121) в (4.107), получим уравнение
2
(73σ
− 256)(47σ2− 144). (4.122)
4.4. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ КУРАМОТО – СИВАШИНСКОГО 213
Из (4.122) имеем
σ
(1,2)
1
= ±
√
73
16
, (4.123)
73
√
= ±
12
. (4.124)
47
σ
(1,2)
2
47
√
Пусть σ =16
постоянные a
73/73. Тогда из (4.121) получаем
(5)
A
=
0
0,a1,a2
и a3в разложении (4.106) для этого случая принима-
1
, (4.125)
292
ют вид:
= 120,a1= −
a
0
Постоянная C
√
73
240
определяется выражением
1
73
C
1
(5)
,a
=
150
=
2
73
1
2
C
−
0
2
,a
4050
389017
= C0+
3
. (4.127)
60
5329
√
73
√
Частное решение уравнения (4.97) при σ =16
73/73 выражается фор-
мулой:
k
5
3
u(x, t)=C
+4A5+ A5th
0
z− 4A
2
√
z = x −C
Используя симметрию уравнения (4.97) и решение (4.128), получаем
решение при σ = −16
u(x, t)=C
− A5th
0
t + ϕ0,k5=
0
√
73/73 ввиде:
k
5
3
−
z+4A
2
73
th
5
√
z = x −C
t + ϕ0,k5=
0
73
th
5
73
,A
2
73
,A
2
−
k
5
2
=
5
k
5
z− 5A
2
=
5
z+5A
√
15
73
5329
5
√
15
73
5329
th
5
.
th−
.
√
Пусть σ =12
47/47. Из (4.121) имеем
. (4.126)
k
5
z,
2
(4.128)
k
5
z,
2
(4.129)
(6)
A
0
1
, (4.130)
=
188
214 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
постоянные a0,a1,a2и a3в этом случае принимают вид
√
47
a
= 120,a1= −
0
180
47
,a
2
90
=
47
,a
3
= C0+
45
√
2209
47
. (4.131)
Постоянная C
определяется выражением
1
(6)
1
2
C
=
C
1
−
0
2
1800
103823
. (4.132)
Решение уравнения (4.97) для этого случая запишется в виде:
u(x, t)=C
+3A6+ A6th
0
3
k
6
z− 3A
2
k
6
2
th
6
z+3A
2
th
6
√
47
z = x −C
t + ϕ0,k6=
0
√
1
47
,A
15
2209
.
=
6
Зависимости (4.128) и (4.133) от x представлены на рис. 4.12 и 4.13
соответственно.
Рис. 4.12. Зависимость от z решения
(4.128) уравнения Курамото – Сивашинского (4.97) при C
0
=1.
Рис. 4.13. Зависимость от z решения
(4.133) уравнения Курамото – Сивашинского (4.97) при C
0
=1.
Последнее решение можно представить в более компактной форме.
3
k
6
z
,
2
u(x, t)=C
+4A6− A
0
6
1 − th
k
6
z,
2
(4.133)
(4.134)
где A
,k6и z определяются также как и в (4.133). Решение уравнения
6
(4.97) при σ =12
√
47/47 находится из (4.133), используя симметрию (4.97).
Как сказано выше, исходное уравнение (4.97) не проходит тест Пенлеве. Однако это уравнение имеет набор частных решений при σ =0,σ=
√
= ±12
47/47,σ= ±16√73 иприσ = ±4. Это объясняется тем, что при
указанном наборе параметров, исходное уравнение содержит в себе уравнение Риккати, имеющее свойство Пенлеве.
4.5. КНОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ КУРАМОТО – СИВАШИНСКОГО 215
Действительно, полагая, что решение уравнения
E[y]=y
+4yzz+ yz+
zzz
1
y
2
2
− C0y +
1
2
C
− 18 = 0 (4.135)
0
2
определяется формулой
y(z) = 120Y
3
− 60Y2− 30Y +9+C0, (4.136)
где Y (z) удовлетворяет уравнению
1
Q[Y ]=Y
+ Y2−
z
, (4.137)
4
для (4.135) получаем соотношение:
E [y[Y ]] = 30(6Y + 1)(2Y − 1)Q
−30(12Q − 72YQ+96Y
3
+720Q
+15(2Y − 1)(456Y
− 120(60Y2− 32Y − 1)Q2+
3
− 140Y2− 122Y +7)Q.
3
− 4Y − 68Y2+7)Qz+
zz
−
(4.138)
Из (4.138) следует, что если Q =0,тоE =0. Усеченное разложение
(4.136), по существу, позволило воспользоваться простейшим уравнением,
имеющим свойство Пенлеве. В связи с этим, все полученные выше частные
решения имеют лишь одну произвольную постоянную, а не три как должно
иметь общее решение уравнения (4.102).
4.5. Кноидальные волны, описываемые уравнением
Курамото – Сивашинского
Решения нелинейных уравнений, приведенных в п. 4.4, являются уединенными волнами. Однако возникает вопрос, имеются ли еще какие-либо
точные решения у «неинтегрируемых» уравнений. Для некоторых нелинейных уравнений удается найти более общие решения. Покажем, как это
делается для уравнения (4.97) при σ =4[51, 205]. Используя переменные
бегущей волны из (4.102) при σ =4, имеем
1
2
+4yzz+ yz+
y
zzz
y
− C0y + C1=0. (4.139)
2
216 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Решение (4.139) имеет полюс третьего порядка, поэтому его можно
искать в виде [50,51]
y(z)=a
+ a1R + a2, (4.140)
0Rz
где R(z) удовлетворяет уравнению для эллиптической функции Якоби
(R
)2=4R3+ aR2+ bR + d. (4.141)
z
Решение R(z) уравнения (4.141) имеет полюс второго порядка, и, следовательно, R
имеет полюс третьего порядка, что и учтено в (4.140).
z
Подставляя (4.140) в (4.139) и принимая во внимание, что
b
R
=6R2+ aR +
zz
, (4.142)
2
находим
1
a
= −60,a1= −60,a2= C0− 5a − 1,b=
0
15
1
a +
2
2
C
− 13 − 1080d.
0
2
1
2
(a
− 1)R + d =0. (4.144)
12
Пусть R
1,R2
Причем R
5
3
a
=
C
1
−
2
и R3— действительные корни кубического уравнения,
3
4R
+ aR2+
≥ R2≥ R3. Действительные корни в уравнении (4.144)
1
12
(a
2
− 1)
(4.143)
существуют при условии:
d −
a
144
3
a
−
432
1
. (4.145)
≥
216
Решение (4.141) при условиях (4.143) и (4.145) выражается формулой
где
R(z)=R
⎛
R1− R
z
2
+(R1− R2)cn
2
2
=(R1− R2)/(R1− R3). (4.147)
S
⎝
2
15
⎞
3
⎠
,S
, (4.146)
4.6. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 217
Частное решение уравнения (4.139) при этом выражается формулой (4.140), а волны, описываемые обобщенным уравнением Курамото –
Сивашинского, являются периодическими волнами.
При C
=6,d= C1= b =0(R1=1/4,R2= R3=0)реше-
0
ние (4.146) переходит в уединенную волну
R(z)=
1
ch
4
−2
z
, (4.148)
2
которая, после подстановки в (4.140), становится решением уравнения Курамото – Сивашинского, найденным в п. 4.4.
4.6. Частные решения простейшего нелинейного
волнового уравнения пятого порядка
Для описания волн под ледяным покровом в работе [72] предложено
простейшее уравнение пятого порядка, имеющее вид:
u
+ uux+ βu
t
Покажем, что уравнение (4.149) не проходит тест Пенлеве. Анализ
уравнения (4.149) на свойство Пенлеве проведем, используя переменные
бегущей волны (4.77). Уравнение (4.149) после интегрирования по z при-
нимает вид:
δy
− βyzz−
zzzz
Подставляя
y =
в ведущие члены уравнения (4.150)
= δu
xxx
1
2
y
+ C0y − C1=0. (4.150)
2
a
0
p
z
. (4.149)
xxxxx
(4.151)
находим
Используя выражение
δy
−
zzzz
p =4,a
y = 1680δ/z
1
2
y
=0, (4.152)
2
= 1680δ. (4.153)
0
4
+ yjz
j−4
, (4.154)
218 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
получаем, что индексы Фукса, при разложении решения уравнения в ряд
Лорана, имеют вид:
√
j
= −1,j2=12,j
1
3,4
=
11 ± i
159
. (4.155)
2
Таким образом, уравнение (4.150) и, следовательно (4.149), не проходит
тест Пенлеве. И поэтому (4.149) и (4.150) не являются точно решаемыми
уравнениями. Однако можно найти их частные аналитические решения [54,
55,205].
Решение уравнения (4.150) будем искать в виде суммы степеней от
гиперболического тангенса.
В соответствии с (4.153) полагаем
4
y(z)=
i=0
a
thi(kz + ϕ0). (4.156)
4−i
Здесь ϕ
шая степень th(kz + ϕ
— произвольная постоянная. В (4.156) принято, что наиболь-
0
) равна 4, поскольку исходное уравнение имеет
0
полюс четвертого порядка. Поиск точного решения в виде (4.156), по существу, эквивалентен ранее используемому подходу в п. 4.4.
Подставляя (4.156) в уравнение (4.150) и приравнивая выражения при
одинаковых степенях гиперболического тангенса нулю, находим, что
a
= 1680δk4,a1=0,
0
280
a
a
4
= −
2
= C0−
2
k
(β + 104δk2),a3=0,
13
2
560βk
β
31
507
+
δ
39
2
1568δk
+
(4.157)
4
.
3
В (4.157) k принимает значения
√
= ±
13βδ
26δ
,k
3,4
k
1,2
65βδ(3i√31 − 31)
= ±
260δ
,
(4.158)
−65βδ(31 + 3i√31)
k
= ±
5,6
260δ
,
4.6. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 219
а постоянная интегрирования C1удовлетворяет условию
C
1
+
1
=
2
17360β
19773δ
543872
2
C
−
0
3k2
9
−
514098δ
δ
961β
2k8
4
−
−
2
313600
117
14224
507
βδk
2k4
β
6
+
.
Интересные решения, с физической точки зрения, получаются при k =
= k
и k = k2. В этом случае выражения для коэффициентов (4.157) упро-
1
щаются
2
105β
169δ
,a
= a3=0,a2= −
1
a
= C0+
4
69β
169δ
2
.
a
=
0
210β
169δ
2
,
Принимая во внимание (4.156) и (4.160), решение исходного уравнения
получаем в виде:
u(x, t)=C
Постоянная C
⎧
2
+
105β
169δ
C
1
=
36β
−
0
169δ
в (4.150) определяется формулой
1
⎨
2
ch
1
2
1
−4
2
⎩
648β
2
C
−
0
28561δ
β
(x − C
13δ
4
. (4.162)
2
t)+ϕ
0
⎫
⎬
0
⎭
Решение (4.161) иллюстрируется на рис. 4.14.
(4.159)
(4.160)
. (4.161)
Рис. 4.14. Зависимость от z решения (4.161) уравнения пятого порядка (4.149) при
C
= β = δ =1, ϕ0=0.
0
Для уравнения (4.149) можно также найти аналитическое решение в
виде периодической волны [51, 205]. Будем искать его в переменных бегущей волны, полагая
y(z)=a
R2(z)+a1R(z)+a2, (4.163)
0
220 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
где R(z) удовлетворяет уравнению для эллиптической функции (4.141).
Подставляя (4.163) в (4.150), получаем, что y(z) — решение уравнения (4.150), если
280
= 1680δa1= 280δa−
a
0
7
a
2
= C0−
2
δa
3
70
βa + 168bδ −
−
39
13
β,
31β
507δ
2
(4.164)
.
Постоянные d и C
жениями:
C
= 1932a2bδ2−
1
d =
в уравнениях (4.141) и (4.150) определяются выра-
1
−
+
2
β
7a
9360δ
2
β
b −
1
2
C
− 11592δ2b2.
0
2
7βb
+
780δ
1457
57122
+
4
β
−
2
δ
3
a
ab
−
12
216
1932
169
161
169
2a2
β
+
3
31β
4745520δ
161
2a4
δ
2
, (4.165)
3
+
(4.166)
При произвольных значениях параметров β и δ уравнения (4.150), постоянные a и b в (4.141) следует выбирать с учетом неравенства
12b − a
1023β
25δ
так, чтобы корни R
2
+
2
b
+ 169a4−
2
и R3в (4.141) были действительными. В пре-
1,R2
2
β
169δ
341
100
24336b
2a2
β
δ
2
+
2
− 4056ba2+
4
961β
4
16900δ
(4.167)
≥ 0,
дельном случае эллиптическая функция (4.163) переходит в уединенную
волну (4.161).
4.7. Точные решения нелинейного уравнения пятого
порядка для описания волн на воде
В работе [231] П.Олвер учел следующий порядок малости при выводе
уравнения для описания волн на воде и пришел к уравнению
+ ux+ c1uux+ c2u
u
t
+ c3uxuxx+ c4uu
xxx
xxx
+ c5u
xxxxx
=0. (4.168)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]