Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
3.21. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3 191
10) Найти уравнение, к которому сводится нелинейное уравнение Шредингера
(3.334), если искать его решения, используя переменные [108]:
u (x, t)=e
i(xt−4t
/3)
U (ξ) ,ξ= x − t
2
. (3.342)
3
Проверить полученное уравнение на свойство Пенлеве.
11) Показать, что уравнение Кадомцева – Петвиашвили [23, 34]:
[ω]=ωt−
E
1
1
ω
4
xxx
3
−
ωω
2
−1
3
−
x
ωyy=0 (3.343)
∂
4
и его модифицированное уравнение:
xy
3
+
u
2
+
2
ux+3uuy+
−1
3
uyy=0
∂
4
3
u
2
∂−1uy−
x
(3.344)
[u]=ut−
D
1
1
u
xxx
4
3
−
u
2
связаны соотношением Миуры [206]
E
[ω]=
1
∂
+2u −
∂x
∂y
−1
∂
∂
D1[u], (3.345)
где
− u2− ∂−1uy,∂−1=dx. (3.346)
ω = u
x
12) Показать, что уравнение sin-Гордона
u
=sin u (3.347)
xt
после замены v =exp(iu) сводится к уравнению, которое проходит тест Пен-
леве для нелинейных уравнений в частных производных [264].
13) Проверить нелинейное уравнение Шредингера на тест Пенлеве [260].
14) Используя метод Вайса – Табора – Карневейля, показать, что уравнение Бус-
синеска
2
+2uuxx+2u
u
tt
1
+
x
3
=0 (3.348)
u
xxxx
проходит тест Пенлеве.
15) Показать, что уравнение Кадомцева – Петвиашвили
2
+ u
u
xt
+ uuxx+ δu
x
+ uyy=0 (3.349)
xxxx
при разложении решения в ряд Лорана имеет индексы Фукса j = −1, 4, 5, 6.
192 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
16) Найти индексы Фукса для решений уравнений:
u
+ u2ux+ βu
t
xxx
= u
, (3.350)
xxxxx
+ umux+ σu
u
t
+ λuxx+3u
u
t
+2αuux+3βu2ux+ γu
u
t
− uxx+ u
u
tt
xxx
2
x
xxxx
+ uxx+ u
+5βuux+uxx+3u
+ γu = αu3, (3.352)
xxxx
= u
xxx
=0, (m =1, 2), (3.353)
, (3.351)
xxxxx
2
=0. (3.354)
xx
17) Используя метод инвариантных переменных, проверить на тест Пенлеве уравнения КдВ и мКдВ пятого порядка.
18) Найти соотношение, связывающее модифицированное уравнение Кадомцева –
Петвиашвили (3.343) с уравнением сингулярной поверхности.
19) Найти уравнения вида (3.318) и (3.319) пятого порядка, связанные с уравнениями сингулярной поверхности, имеющими вид
2
+ z
+ z
∂
x
x
{z; x} +4{z; x}
2
∂x
2
∂
{z; x} +
2
∂x
1
4
z
t
z
t
{z; x}
2
=0, (3.355)
=0. (3.356)
20) Проверить на тест Пенлеве уравнения [198]:
u
u
t
2
+3ωωx+ ω
ω
t
ux+ u
+ fux+ ufx+ fxx=0, (3.357)
xxx
+2ωgx+ gωx+ gxx=0, (3.358)
xxx
2
3
−
где f (x, t) и g (x, t) — дифференцируемые функции по x и t.
ГЛАВА 4
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1. Применение усеченных разложений для построения
частных решений неинтегрируемых уравнений
Метод Вайса – Табора – Карневейля эффективен при нахождении пар
Лакса, преобразований Бэклунда и ряда других характеристик точно решаемых нелинейных уравнений. Однако оказалось, что он может быть также
использован при нахождении частных решений нелинейных дифференциальных уравнений [49–56,60,63,64,114,123,127,200,201,216,236].В последние годы для нахождения решений нелинейных дифференциальных уравнений предложено несколько алгоритмов, основанных на применении этого
метода [31,32, 138,154,162,218,219,230,239,243,265,266,273]. Прежде всего следует отметить алгоритм, непосредственно использующий усеченные
разложения [54,118, 119,133, 151,161,163, 205, 225,255].
Его применение рассмотрим на примере построения точных решений
уравнения Колмогорова – Петровского – Пискунова [43,82, 148]:
u
= δuxx+ u − αu2, (4.1)
t
где δ и α — параметры.
Уравнение (4.1) относится к классу уравнений вида
u
= δuxx+ f (u), (4.2)
t
где f(u) — заданная функция от u.
В переменных бегущей волны
u(x, t)=y(z),z= x −C
уравнение (4.1) принимает вид:
δy
+ C0yz+ y −αy2=0. (4.4)
zz
t (4.3)
0
194 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Проверим уравнение (4.4) на свойство Пенлеве. Полагая y(z)=a0/zp,
находим p =2и a
j
=6. Таким образом, первые два шага исследования (4.4) на тест Пенлеве,
2
=6δ/α. Вычисляя индексы Фукса, получаем j1= −1 и
0
показывают, что это уравнение может пройти этот тест.
Подставляя
y =
6δ
αz
1
+ a
+
z
2
+ a3z + a4z2+ a5z3+ a6z4+ ... (4.5)
2
a
в уравнение (4.4), находим последовательно коэффициенты
50αδ
2
0
,a
3
= −
6C
a
= −
1
5α
0
,a
2
25δ − C
=
3
C
0
250αδ
,
2
(4.6)
2
125δ
a
=
4
Коэффициент a
=6. Однако, его можно выбрать произвольным лишь при C0=0и
j
2
при C
0
= ±
√
5
6
не определяется, что соответствует индексу Фукса
6
6δ. Следовательно, уравнение (4.4) проходит тест Пенлеве
лишь при трех значениях C
4
− 7C
0
,a5=
3
αδ
[101]. Исходное уравнение (4.1), в соответ-
0
(1375δ
2
− 79C
7500αδ
4
)C
0
0
.
4
ствие с гипотезой Абловица, Рамани и Сигура, не относится к классу точно
решаемых нелинейных уравнений в частных производных. Однако можно
ожидать, что уравнение (4.1) имеет частные решения [101].
Частные решения уравнения (4.1) будем искать, используя усеченные
разложения. Решение уравнения (4.1), как и уравнения (4.4), имеет полюс
второго порядка, поэтому u(x, t) ищем в виде:
u =
+
ϕ
2
ϕ
, (4.7)
2
u
u
0
1
+ u
где u = u(x, t) и ϕ = ϕ(x, t). Подставляя (4.7) в ведущие члены уравнения (4.1) и приравнивая выражения при одинаковых степенях ϕ(x, t) нулю,
находим:
6δ
2
= −
u
0
ϕ
,u1= −6δϕxx+
x
α
6
ϕ
. (4.8)
t
5α
Учитывая (4.8), из (4.7) имеем усеченное разложение в виде:
u =
6δ
α
2
ln ϕ
∂
2
∂x
∂ ln ϕ
6
+
5α
∂t
. (4.9)
+ u
2
4.1. ПРИМЕНЕНИЕ УСЕЧЕННЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ 195
Кроме того, дополнительно имеем три уравнения для ϕ(x, t) и u2(x, t):
6
25
6
ϕ
5
2
+12αδu2ϕ
ϕ
t
36
−
tt
5
δϕ
−12αu2ϕxx−
xxt
72
2
+
δϕ
x
5
u
2,t
xϕxt
36
−
6
5
− δu
5
δϕ
ϕ
2,xx
t
+18δ2ϕ
+
2
xx
− 24δ2ϕxϕ
tϕxx
12
αu
2ϕt
5
− u2+ αu
−
2
− 6δϕ
xxx
+6δ2ϕ
2
=0. (4.12)
2
+6δϕxx=0, (4.11)
xxxx
=0, (4.10)
x
Любые решения системы уравнений (4.10) – (4.12) дают по формуле (4.9) решения уравнения Колмогорова – Петровского – Пискунова (4.1).
Простейшие решения уравнения (4.1) находятся из (4.10) – (4.12), если эти
уравнения из дифференциальных перевести в алгебраические. Это возможно, если z(x, t) и u
где B, k, ω и c
(x, t) взять в виде [54]:
2
u
(x, t)=B, ϕ(x, t)=1+c2exp(kx − ωt), (4.13)
2
— постоянные. Полагая (4.13) в (4.10)–(4.12), приходим к
2
алгебраической системе уравнений относительно B, k и ω. Решение этой
системы дает
B
=0,B2=1/α; (4.14)
3,4
1
= ±
√
6δ
6δ
,k
5,6
√
δ
= ±
1
,k
δ
=0. (4.15)
7,8
=5/6, вторые четыре значе-
√
6δ
i
6δ
5
x −
t, (4.16)
6
√
i
k
= ±
1,2
6δ
6δ
,k
Первые четыре значения k приводят к ω
ния дают ω
=0.Приэтомдляϕ(x, t) имеем следующие нетривиальные
2
решения
(x, t)=1+c2exp±
ϕ
1,2
√
6δ
5
x −
(x, t)=1+c2exp±
ϕ
3,4
6δ
t, (4.17)
6
√
δ
(x, t)=1+c2exp±
ϕ
5,6
x. (4.18)
δ
Подставляя (4.16)–(4.18) в формулу (4.9), имеем простейшие решения
уравнения (4.1) в виде уединенных волн.
196 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Зависимости (4.16) – (4.18) относятся к классу функций
где ϕ
F (x, t)=1+exp(θ),θ= kx − ωt + ϕ
— произвольная постоянная. Для функции (4.19) справедливы про-
0
, (4.19)
0
стые соотношения.
Теорема 4.1. Пусть функция F (x, t) задана соотношением (4.19), то-
гда справедливы соотношения
2
∂
ln F
=
2
∂x
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
∂ ln F
∂x
∂ ln F
∂t
F
xx
F
=
k
4
1+e
1+e
2
θ
ke
θ
ωe
1 − th
F
x
=
F
F
t
=
= −
F
2
F
x
=
−
2
F
θ
θ
=
= −
2
k
2
ω
2
θ
2
1+th
1+th
=
θ
, (4.20)
2
θ
, (4.21)
2
−2
θ
2
2
k
ch
4
Доказательство тождеств (4.20)–(4.22) проводится непосредственной
проверкой. Проверим тождество (4.20). Поскольку
=
θ
ke
,θ= kx −ωt + ϕ0, (4.23)
θ
1+e
F
x
F
то для правой части (4.23) выполняется цепочка равенств
ke
1+e
−θ
θ
=
θ
=
θ
2
ke
−θ
θ
2
e
k
2
2
+ e
θ
sh(
2
k
+
2
θ
ch(
2
θ
2
2
+ e
e
k
=
2
)
k
=
2
)
θ
2
e
1+th
+ e
+ e
θ
2
−θ
θ
2
2
− e
−θ
2
=
.
. (4.22)
Используя тождества (4.20) – (4.22), решения уравнения (4.1) можно
выписать через гиперболические функции. Например, используя функцию
(4.17), получаем решение уравнения (4.1) в виде
u =
1
4α
th
√
x
2
6
±
12√δ
5t
−
12
1
th±
−
2α
√
x
12√δ
6
5t
−
12
+
4α
1
. (4.24)
4.2. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА – ХАКСЛИ 197
Решение (4.24) является бегущей волной, распространяющейся со ско-
√
ростью ±5
Рис. 4.1. Зависимость от x решения (4.24) уравнения Колмогорова – Петровского –
Пискунова (4.1) в момент времени t =0при α = δ =1.
δ/√6. Вид решения иллюстрируется на рис. 4.1.
4.2. Точные решения уравнения Бюргерса – Хаксли
Уравнение Бюргерса-Хаксли имет вид [142]:
u
+ αuux= D0uxx+ βu + γu2− δu3.
t
(4.25)
Оно встречается при описании многих явлений в физике. Например,
уравнение [79]:
τP
= l2Pxx+ εP − χP3− E0, (4.26)
t
описывающее движение доменной стенки сегнетоэлектрика в электрическом поле, сводится линейной заменой к (4.25) при α =0. В (4.26) P —ди-
польный момент, E
— внешнее электрическое поле. Левая часть описывает
0
диссипативный процесс перехода электростатической энергии в тепловую,
τ — время релаксации дипольного момента. Первое слагаемое в правой
части уравнения описывает взаимодействие между дипольными моментами соседних областей сегнетоэлектрика, остальные слагаемые определяют
изменение величины дипольного момента в однородном сегнетоэлектрике.
Уравнение вида (4.25) также используется в экологии. Если в среде
происходит размножение какой-либо популяции, то эволюция системы с
учетом смертности и диффузионного перемешивания популяции по среде
описывается уравнением [82, 84]:
= −kn + χm(n)n2+ D0Δn. (4.27)
n
t
Здесь n — численность популяции в расчете на единицу объема, m(n) —
количество пищи. Если считать, что количество пищи меняется по закону
m(n)=m
(1 −
0
), (4.28)
n
0
n
то уравнение (4.27) является уравнением Бюргерса-Хаксли при α =0.
198 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Используя переменные бегущей волны (4.3) из (4.25) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение в виде:
+ αyyz= D0yzz+ βy + γy2− δy3. (4.29)
−c
0yz
Уравнение, составленное из ведущих членов (4.29), принимает вид:
− D0yzz+ δy3=0. (4.30)
αyy
z
Поскольку тест Пенлеве для обыкновенного дифференциального уравнения проверить проще, то проанализируем на свойство Пенлеве урав-
нение (4.29). Подставив y = a
=(α ±
√
α2+8δD0)/2δ.
/zpв (4.30), находим p =1и a
0
(1,2)
0
Используя выражение
a
y =
0
z
+ u
j−1
z
j
(4.31)
и (4.30), получаем индексы Фукса в виде:
2
+8δD0± α√α2+8δD
j
= −1,j
1
(1,2)
2
α
=
2D0δ
0
. (4.32)
Из (4.32) следует, что уравнение (4.29) при произвольных значениях параметров не проходит тест Пенлеве и, следовательно, уравнение (4.25) в
общем случае не является точно решаемым. Однако попытаемся найти частные решения этого уравнения. Для этих целей используем снова усеченные
разложения. Решения уравнения (4.25) имеют полюс первого порядка, что
следует из первого шага анализа на свойство Пенлеве уравнения (4.29),
поэтому частные решения (4.25) будем искать в виде [27]:
=
u
(x, t)
u =
0
ϕ(x, t)
(x, t). (4.33)
+ u
1
Подставляя (4.33) в (4.25) и приравнивая выражения при наименьших
степенях ϕ(x, t) нулю, получаем, что
. (4.34)
0
u
= Aϕx,A=
0
Далее полагаем u
α ±
α2+8δD
1
2δ
=0, тогда преобразование (4.33) приводится к пре-
1
образованию Коула – Хопфа [126, 178]
∂ ln ϕ
∂x
,A=
= A
u
0
1
2δ
α ±
α2+8δD
. (4.35)
0
4.2. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА – ХАКСЛИ 199
Подставляя (4.35) в (4.25), имеем
((αA +3D0)ϕxx− ϕt− γAϕx)+ϕ(ϕxt− D0ϕ
ϕ
x
− βϕx)=0. (4.36)
xxx
Приравняв выражения при разных степенях ϕ нулю, из (4.36) получаем
переопределенную систему уравнений относительно ϕ(x, t):
− D0ϕ
ϕ
xt
(αA +3D
0)ϕxx
− βϕx=0, (4.37)
xxx
− ϕt− γAϕx=0. (4.38)
При β = γ = δ =0уравнение (4.25) становится уравнением Бюргерса
+ αuux= D0uxx, (4.39)
u
t
тогда система (4.37), (4.38) вырождается в одно уравнение
ϕ
= D0ϕxx. (4.40)
t
Получаем известный результат Коула–Хопфа: из любого решения уравнения диффузии (4.40) можно получить решение уравнения Бюргерса c
помощью преобразования (4.35).
Выразив ϕ
из (4.38) и подставив в (4.37), получим систему:
t
(αA +2D
0)ϕxxx
=(αA +3D0)ϕxx− γAϕx. (4.42)
ϕ
t
− γAϕxx− βϕx=0, (4.41)
Функция ϕ(x, t), удовлетворяющая системе уравнений (4.41), (4.42) по
формуле (4.35), приводит к частным решениям уравнения (4.25).
Исследуем поведение решений уравнения (4.25), найденных из (4.41),
(4.42) по формуле (4.35) в зависимости от параметров уравнения α, β, γ
.
и D
0
Пусть β = γ =0, тогда из (4.41) имеем
ϕ(x, t)=C
(t)x2+ C2(t)x + C3(t). (4.43)
1
Подставив (4.43) в (4.42), получим
C
x2+ C
1,t
2,t
x + C
=2(αA +3D0)C1− 2γAC1x − γAC2.
3,t
(4.44)
Откуда приходим к системе уравнений первого порядка для определения
(t),C2(t) и C3(t):
C
1
=0,C
C
1,t
=0,C
2,t
=2(αA +3D0)C1.
3,t
(4.45)
200 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Из (4.45) находим зависимости C1(t),C2(t) и C3(t) ввиде:
(t)=c1,C2(t)=c2,C3(t)=2(αA +3D0)c1t + c3; (4.46)
C
1
здесь c
и c3— произвольные постоянные.
1,c2
Подставив (4.46) в (4.43), имеем решение для ϕ(x, t)
ϕ(x, t)=c
x2+ c2x +2(αA + D0)c1t + c3. (4.47)
1
Таким образом, решение уравнения (4.25) принимает вид:
A(2c
x + c2)
u(x, t)=
Вслучаеα =0,D
формуле
При α =0,D
=0имеем
0
Из (4.48) следует, что при c
зависящее от t.Приc
1
c1x2+ c2x +2(αA +3D0)c1t + c
=0, из (4.34) коэффициент A находится по
0
A = A
A = A
=0,c2=0и c3=0решение (4.48) можно записать
1
1
8D
0
=
1
=
2
. (4.49)
δ
α
. (4.50)
δ
=0уравнение (4.25) имеет решение, не
ввиде:
A
. (4.51)
x + c
3
Вслучаеc
переобозначив c
u(x, t)=
=0, разделив числитель и знаменатель (4.48) на c1и
1
и c3, из (4.48) получим
2
.
3
(4.48)
u(x, t)=
A(2x + c
x2+ c2x +2(αA +3D0)t + c
)
2
. (4.52)
3
Зависимость от времени решения (4.52) иллюстрируется на рис. 4.2.
Поведение решения (4.52) зависит от начальных условий, значений
произвольных постоянных c
в начальный момент времени у решения (4.52) имеются две особые точки.
Вслучаеc
2
=4c3лишь одна особая точка. При c
2
и c3и суммы αA +3D0.Приc
2
2
< 4c3особых точек в на-
2
2
− 4c3> 0
2
чальный момент времени нет. Временная эволюция решения (4.52) зависит
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]