Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
5.11. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 301
2ggzz− g
2hh
− h
zz
Исключим g
β −1
2
+2g2gz− g4+ z +
z
2
+2h2hz− h4+ z −
z
и hzzиз (5.401) и (5.403). Принимая во внимание
zz
4
3
4
3
f − g
β +2
h − p
+
+
2β −5
1
g − r
3
2β +1
1
3
f − h
=0, (5.402)
=0. (5.403)
(5.395)–(5.400), получаем
2gf
zz
− f
2hf
zz
Подставим f
2
− f
+ f2fz− 2gffz+3g2fz+
z
β −1
4
+z +
3
2
− 2f2fz+4hffz− f4+ z −
z
из (5.401) в (5.404) и (5.405). Умножая получившиеся
zz
f − g
−
2β −5
1
g − r
3
f
4
=0,
β +2
4
3
h − p
3
4
f
−
2
+
2g2
2β +1
1
3
f − h
3
g
+
4
4
+
(5.404)
=0. (5.405)
1
выражения на f/(g −f) и f/(h−f ) и f/(h −f) соответственно, приходим
к следующим соотношениям:
2
f
− (f − 3g) ffz+
z
2β +1
1
−
3
f − h
1
4
+
3(f − g)(f − h)
3
4
f
f
−
4
(2β +1)f
3
g +
3
f
4
+
3
2g2
+
4
(2β −5) f
3(f − g)(g −r)
fg
3
− z −
β −1
4
3
f − g
=0,
−
(5.406)
2
f
+2f2fz+ f4− z −
z
f (β − 1)
4
+
3
(f − h)(f − g)
β −1
4
3
f − g
f (β +2)
4
+
3
(f − h)(h − p)
2β +1
−
3(f − h)
+
(5.407)
=0.
Исключая f
f
4
−
9
(f − h)(f − g)(h −p)
2
из (5.406) и (5.407), находим fz:
z
z
= −
1
(f + g)
4
β +2
2
−
2β −5
9(f − g)2(f − h)
+
9(f − g)2(g −r)
2β −5
−
(5.408)
.
302 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Подстановка (5.408) в (5.407) приводит к рекуррентной формуле для
решений уравнения (5.388) в виде:
g
4
2β −5
+
9(f − g)
2
fg
+
3
−
2
4
4
2
f
+
9
(f − h)(f − g)(h −p)
−
1
g − r
6
2
f − h
β +2
2
− z −
+
2β −1
3(f − h)
+
(5.409)
h (β − 1)
4
+
3
(f − h)(f − g)
+
f (β +2)
4
3
(f − h)(h − p)
=0.
Заметим, что уравнение (5.409) имеет место для всех β,кромеβ =
= −2, −1/2, 1, 5/0.
Уравнение, подобное (5.409), может быть получено подстановкой
(5.408) в (5.406). Однако, при вычислении величины r (или p) по заданным
h, f, g и p (или r), получаются два решения. Одно из них не удовлетворяет
уравнению (5.388).
Единственное решение уравнения (5.409) может быть получено с помощью рекуррентной формулы, связывающей шесть решений этого уравнения. Найдем такую рекуррентную формулу. Для этого сделаем замену
−β →−β −1 в (5.407), тогда производная h
1
= −
(h + p)
4
h
z
2
+
2β +7
9(h − p)2(h − f)
будет иметь вид
z
+
(5.410)
4
+
9
(h − f)(h − p)(f − g)
β −1
−
2β +7
9(h − p)7(p − d)
,
где d = y (z, −β −4). Принимая во внимание выражения (5.407), (5.410)
и соотношение (5.396), приходим к следующей рекуррентной формуле:
2
− h2+
f
2β −5
+
9(f − g)
1
(h + p)
4
5
1
g − r
2
−
1
−
4
1
f − h
(f + g)
+
2
−
3(f − h)(f − g)(h − p)
2
1
p − d
2β +7
9(h − p)
4
+
1
f − h
+
(5.411)
=3.
Уравнение (5.411) справедливо для всех β, за исключением β =
= −7/2, −2, −1/2, 1, 5/2.
Отметим, что уравнение (5.411) инвариантно относительно преобразо-
вания β →−β −1.
5.11. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 303
Производя замену β →−β +5 в (5.401), получаем производную g
ввиде:
g
= −
z
1
(f+g)
4
2
−
2β +1
9(f −g)
1
f−h
−
2
1
g−r
4
−
9
(f−g)(g−r)(r−q)
β−4
, (5.412)
где q = y (z,−β +5). Принимая во внимание выражения (5.408), (5.412) и
соотношение (5.395), приходим к следующей рекуррентной формуле:
2
f
− g2−
4
3(f − g)
2
1
f − h
−
Уравнение (5.412) имеет место для всех β,кромеβ = −8, −
1
g − r
+
8
−
9
(f − g)(g −r)(r − q)
8
9
(f − g)(f − h)(h − p)
β +2
β −4
+
=0. (5.413)
1
5
, 1,
2
, 4.
2
Это уравнение инвариантно относительно преобразования β →−β +2.
Из-за положительных и отрицательных значений параметра β не удается непосредственно ввести одно дискретное уравнение с помощью (5.411)
или (5.412) подобно тому, как это было сделано выше.
Полагая y
= y (z, βn) ,xn= y (z, −βn− 1) ,β
n
= βn+3,можно
n+1
получить систему дискретных уравнений из (5.411) и (5.412) в виде:
2
2
y
− x
n
+
n−1
8
9
−
−
(y
n−1
8
9
(yn− x
4
3(yn− x
− x
n−2
n−1
2
)
n−1
β
n
)(y
n−1
+2
β
n
)(yn− xn)(y
y
− 4
− x
n−1
1
− x
n−1
n+1
+
n−5
)(yn− x
− xn)
yn− x
n−1
=9,
1
)
+
n
−
(5.414)
z
y
−
+
9(y
2
2
− x
n
n
+
3(yn− x
2β
9(yn− x
2β
n
n+2
1
+
4
− 5
n
n−4
+7
− xn)
(y
+ xn)2−
n+1
)(yn− xn)(y
n−1
2
y
)
2
yn− x
4
n−1
1
n
1
− x
+
1
4
n−1
y
n+1
(y
n+1
+ x
n
− xn)
+
1
− x
n−1
1
yn− x
n+1
)2+
−
n
+
=0.
(5.415)
304 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Эта система уравнений справедлива для всех βn,кромеβn= −7/2,
−2, −1/2, 1, 5/4, 4. Система уравнений (5.414), (5.415) может быть
использована для поиска решений y
x
n−2,xn−1,xn,yn−1
и yn.
n+1
и x
при фиксированных
n+1
Таким образом, для высших аналогов уравнений Пенлеве (5.183)
и (5.185) находятся соответствующие дискретные уравнения, как и для
обычных уравнений Пенлеве.
5.12. Задачи и упражнения к главе 5
1) Доказать, что решения уравнений четвертого порядка (5.55), (5.56) и (5.57) являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных
интегрирования.
2) Используя алгоритм Конта – Форди – Пиккеринга, показать, что локальные
разложения решений уравнений (5.54), (5.55), (5.56) и (5.57) при отрицательных
индексах Фукса содержат четыре произвольных постоянных.
3) Доказать теорему 5.3 для уравнений (5.54), (5.56) и (5.57). Оценить радиус
сходимости решений в ряд Лорана.
4) Доказать неприводимость уравнений (5.54), (5.55), (5.56) и (5.57).
5) Найти разложения решений уравнений шестого порядка (5.153), (5.159)
и (5.181) в ряд Лорана. Показать, что эти уравнения обладают свойством Пенлеве.
6) Доказать, что решения уравнений (5.153), (5.159) и (5.181) являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования.
7) Найти пару Лакса для всего семейства модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза (5.183).
8) Найти пару Лакса для уравнений семейства (5.185) и семейства уравнений
(5.184) при n
2.
9) Показать, что уравнение (5.264) обладает свойством Пенлеве.
10) Найти преобразования Бэклунда для решений семейства уравнений (5.263).
Используя полученные преобразования, найти рациональные и специальные
решения уравнений семейства (5.263).
11) Найти преобразования Бэклунда для решений семейства уравнений (5.274).
Найти рациональные и специальные решения уравнения (5.274) при m =2.
5.12. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 5 305
12) Найти преобразования Бэклунда для решений уравнения (5.285).
13) Доказать, что уравнения (5.54) и (5.55) не имеют рациональных и специальных
решений.
14) Используя квадратичный потенциал (5.277), найти уравнения шестого порядка
при ω(λ)=2ω
15) Используя замену переменных ϕ = ψ
,ω(λ)=2ω0λ, ω(λ)=2ω0λ2.
0
−1
, показать эквивалентность формул
(5.294) и (5.296).
16) Найти представления решений высших аналогов уравнений Пенлеве через целочисленные функции.
17) Доказать, что решения высших аналогов уравнений Пенлеве не имеют существенно особых подвижных точек.
18) Решить задачи Коши для высших аналогов уравнений Пенлеве, используя их
представления в форме пар Лакса.
19) Найти дискретные уравнения Пенлеве, соответствующие уравнениям (5.54)
и (5.55).
20) Найти гамильтонианы, соответствующие высшим аналогом уравнений Пенлеве.
ГЛАВА 6
МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И
МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ВРИЗА
6.1. Задача Коши для уравнения Кортевега – де Вриза
Уравнение Кортевега – де Вриза
u
− 6uux+ u
t
может быть представлено в виде системы двух линейных уравнений относительно новой функции Ψ(x, t, λ) — так называемой пары Лакса [215]
Ψ
+(λ −u)Ψ=0, (6.2)
xx
Ψ
+Ψ
t
Система уравнений (6.2), (6.3) эквивалентна уравнению (6.1) в том
смысле, что исключение Ψ(x, t, λ) из (6.2), (6.3) приводит к уравне-
нию (6.1).
Пусть для уравнения (6.1) требуется решить задачу Коши
− 3(λ + u)Ψx= C (t)Ψ. (6.3)
xxx
=0 (6.1)
xxx
u (x, t =0)=f (x) . (6.4)
Далее будет показано, что функцию f (x) в (6.4) следует выбирать так,
чтобы
Уравнение (6.2) совпадает со стационарным уравнением Шредингера,
если предположить, что
∞
(1 + |x|) |f (x)| dx < ∞. (6.5)
−∞
λ =
2mE
2
h
,u=
2mU (x)
2
h
, (6.6)
6.2. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 307
где m — масса частицы, E — ее энергия, h — постоянная Планка, U(x) –
потенциал [67].
Метод решения задачи Коши (6.4) при условии (6.5) для уравнения (6.1)
(и для многих других уравнений) получил название метода обратной задачи
рассеяния [1, 28,29].
6.2. Прямая задача рассеяния
Вначале обсудим прямую задачу рассеяния, хорошо известную из кван-
товоймеханики[67].
Задача состоит в том, что при заданном потенциале U (x) таком, что
U (x) < 0 и U (x) → 0 при x →±∞требуется найти собственные значения
и собственные функции задачи
LΨ=λΨ (6.7)
для оператора Шредингера:
2
L = −
Сформулируем несколько предложений [28].
Предложение 6.1. Уравнение (6.7) при U (x) < 0 и λ>0 имеет непре-
рывный спектр собственных значений, а при min U (x) <λ<0 имеет
дискретный спектр.
При λ<0 все состояния частицы при заданном потенциале являются
связанными, и спектр отрицательных собственных значений — дискретный.
При λ>0 движение частицы может рассматриваться как свободное.
Положительные собственные значения соответствуют инфинитному движению и образуют непрерывный спектр. Уравнение Шредингера при этом
не имеет решений таких, что интеграл-|Ψ|
энергии λ будет иметь в виду импульс: λ = k
Известно, что количество собственных значений дискретного спектра
может быть бесконечным и они могут накапливаться в окрестности точки
λ =0. Исключим этот случай, предполагая, что
Это приводит к ограничению (6.5) на начальное условие f (x).
Непрерывному спектру в (6.7) соответствуют вещественные значе-
ния k, а дискретному — чисто мнимые значения.
d
+ U (x) . (6.8)
2
dx
2
dx сходится. Далее вместо
2
.
∞
-
(1+|x|) |U (x)| dx < ∞.
−∞
308 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Уравнение (6.7) имеет фундаментальную систему решений Ψ1, Ψ2с
очевидными асимптотиками:
при x → +∞
(x, k)
(x, k)
∼
exp (−ikx)+o (1),
=
∼
exp (ikx)+o (1) ;
=
Ψ
1
Ψ
2
при x →−∞
(x, k)
(x, k)
∼
exp (−ikx)+o (1) ,
=
∼
exp (ikx)+o (1) .
=
(x, k), Ψ2(x, k), ϕ1(x, k) и ϕ2(x, k)
1
ϕ
1
ϕ
2
Предложение 6.2. Для функций Ψ
справедливы соотношения:
(x, k)=Ψ
Ψ
1
(x, k)=ϕ
ϕ
1
∗
где Ψ
и ϕ
Д
(x, k) и ϕ
2
(x, k).
1
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть Ψ
∗
(x, k) — функции, комплексно-сопряженные с Ψ1(x, k)
2
и Ψ2— решения уравнения (6.7), тогда, переходя в уравнении
1
−
к комплексо-сопряженным значениям, получим, что Ψ
уравнения. Поскольку вторым решением уравнения является Ψ
то Ψ
(x, −k)=Ψ
2
∗
(x, k). Равенство (6.12) доказывается аналогично.
2
∗
(x, k)=Ψ2(x, −k) , (6.11)
2
∗
(x, k)=ϕ2(x, −k) , (6.12)
2
2
d
Ψ
1
+ U Ψ1= k2Ψ
2
dx
1
∗
— также решения
1
(x, −k),
2
Уравнение (6.7) имеет два линейно независимых решения, и поэтому
любое его решение можно представить в виде линейной комбинации
∗
ϕ (x, k)=a (k)Ψ(x, k)+b (k)Ψ
∗
(x, k)=c (k)Ψ(x, k)+d (k)Ψ∗(x, k) . (6.14)
ϕ
(x, k) , (6.13)
Сравнивая (6.14) с равенством
∗
(x, k)=a∗(k)Ψ(x, k)+b∗(k)Ψ(x, k) ,
ϕ
(6.9)
(6.10)
комплексно-сопряженным с (6.13), получаем соотношения:
∗
d (k)=a
(k) ,c(k)=b∗(k) . (6.15)
6.2. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 309
Введем вектор-функции
ϕ =
ϕ
ϕ
∗
,Ψ=
Ψ
. (6.16)
∗
Ψ
Тогда (6.13) и (6.14) можно представить в виде
ϕ (x, k)=ˆTΨ(x, k) , (6.17)
где матрицаˆT имеет вид
ˆ
T =
a (k) b (k)
∗
b
(k) a∗(k)
. (6.18)
МатрицаˆT называется матрицей перехода и характеризует рассеяние
плоской волны на потенциале U (x) при ее распространении из x → +∞
в x →−∞.
Предложение 6.3. Определитель Вронского любой пары линейно неза-
висимых решений f
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Определитель Вронского двух решений f
и f2уравнения (6.7) не зависит от x.
1
и f2имеет вид
1
Если f
W (f
и f2— решения уравнения (6.7), то справедливы равенства
1
1,f2
−
−
)=f
2
d
f
1
+ vf1= k2f1,
2
dx
2
d
f
2
+ vf2= k2f2.
2
dx
Умножая первое равенство в (6.20) на f
получаем
d2f
2
f
− f
1
2
dx
Откуда имеем
df
2
− f
f
1
dx
∂f
1
∂x
d2f
2
dx
df
1
2
dx
∂f
2
− f
1
2
1
. (6.19)
2
∂x
, а второе на f1ивычитая,
2
=0.
=const. (6.21)
(6.20)
310 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
С учетом асимптотик (6.9), (6.10) для уравнения (6.7) находим
W (f
)=2ik. (6.22)
1,f2
Предложение 6.4. Матрица перехода/T унимодулярна, т.е.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Из (6.13), (6.14) имеем
W (ϕ, ϕ
∗
)=(|a|2−|b|2)(ψψ
Поскольку W (ϕ, ϕ
∗
)=2ik, то
(|a|
∗
− ψ∗ψx)=2ik(|a|2−|b|2).
x
2
−|b|2)=1. (6.23)
Из (6.13) имеем
ϕ(x, k)
a(k)
= ψ(x, k)+
Принимая во внимание асимптотики ψ(x, k) и ψ
b(k)
a(k)
∗
(x, k). (6.24)
ψ
∗
(x, k) при x → +∞,
получаем
ϕ(x, k)
=exp(−ikx)+r(k)exp(ikx)+o(1). (6.25)
a(k)
Первое слагаемое в (6.25) соответствует прошедшей волне, а второе —
отраженной, поэтому отношение:
r(k)=
b(k)
a(k)
/
=1.
T
(6.26)
называется коэффициентом отражения.
Поскольку при x →−∞имеем
ϕ(x, k)
∼
exp(−ikx), (6.27)
=
то прошедшая волна может быть представлена в виде
ϕ(x, k)
a(k)
1
∼
=
exp(−ikx)=t(k)exp(−ikx). (6.28)
a(k)
Коэффициент t(k)=1/a (k) называется коэффициентом прохождения.
Предложение 6.5. Сумма квадратов модулей коэффициентов отраже-
ния и прохождения равна единице.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]