Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
4.11. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4 241
4.11. Задачи и упражнения к главе 4
1) Найти частные решения уравнений
+ u3ux+ uxx+ σu
u
t
+ α(uxx+3u2)x+5βuux+(uxx+3u2)xx=0 (4.289)
u
t
xxx
+ u
=0, (4.288)
xxxx
в виде уединенных волн.
2) Показать, что уравнение (4.289) имеет решение в переменных бегущей волны,
которое находится по формуле [239]
C
3Rz
1+C4R(z)
,z= x −C
t, (4.290)
0
где C
u(x, t)=C
1,C2,C3
+ C2R(z)+
1
и C4— постоянные, R(z) удовлетворяет уравнению для эллип-
тической функции Якоби (4.138).
3) Найти решения в переменных бегущей волны уравнений
+ u2ux+ βu
u
t
+2αuux+3βu2ux+ γu
u
t
u
+ u
tt
xxxx
4) При каких значениях параметров a, b, β, δ, d и C
xxx
= u
, (4.291)
xxxxx
xxx
= u
, (4.292)
xxxxx
+ γu = αu3. (4.293)
периодическое решение
1
(4.163) уравнения (4.150) становится уединенной волной?
5) Найти итерационную формулу для решений уравнения сингулярной поверхности и рациональные решения модифицированного уравнения Кортевега –
де Вриза пятого порядка.
6) Найти итерационную формулу и рациональные решения модифицированного
уравнения Кортевега – де Вриза с переменными коэффициентами [198]
2
3
−
ux+ u
u
u
t
2
+ fux+ ufx=0, (4.294)
xxx
где f = xA(t)+B(t),A(t) и B(t) — дифференцируемые функции по перемен-
ной t.
7) Используя усеченные разложения, найти итерационную формулу для решений
и рациональные решения модифицированного уравнения Кадомцева – Петвиашвили
1
=
u
u
t
xxx
4
3
−
2
3
ux−3uuy−
u
3
u
2
∂−1uy+
x
3
u
xy
4
−1
3
−
uuyy=0. (4.295)
∂
4
242 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
8) Проверить, что уравнение
δy
+ C0yz+ y −αy2=0 (4.296)
zz
имеет точные решения
2
C
−
50αδ
√
5i
6δ
. (4.298)
6
2
0
(4.297)
при
y(z)=
6δk
α
k = ±
2
2
th
10δ
(kz) −
C
0
,C
6C
(1)
0
5α
k
0
= ±
th(kz)+
√
5
6δ, C
6
2α
1
4δk
−
α
(2)
= ±
0
9) Показать, что если решение модифицированного уравнения Кортевега –
де Вриза пятого порядка искать в переменных бегущей волны u(x, t)=
= y(z),z= x − C
t,тоy(z) удовлетворяет нелинейному уравнению чет-
0
вертого порядка
− 10y2yzz− 10yy
y
zzzz
2
+6y5+ β(yzz− 2y3)+δy + μ =0. (4.299)
z
10) Проверить, что уравнение (4.299) имеет первые интегралы в виде:
2
y
zzz
y
−
zyzzz
− 12y2yzy
+2δ(yy
2
1
y
zz
2
zzz
−
− 4y2y
−9y
−
zz
5
y
y
8
+ β(y
1
2
2
z
2
zz
2
y
z
2
1
+
− y4)+
β(y
z
2
2
+4yy
yzz+12y5yzz− y
z
2
− 4y3yzz+4y6)+
zz
1
2
− 2y3)+2μ(yzz− 2y3)=K2.
2
+ μy = K1, (4.300)
δy
4
+30y4y
z
2
−
z
(4.301)
11) Используя теорию последнего множителя Якоби [15] и первые интегралы
(4.300), (4.301) найти общее решение уравнения (4.299).
12) Проверить, что уравнение четвертого порядка
y
− 5y2yxx− 5yy
xxxx
2
+5yxyxx+ y5− δ =0 (4.302)
x
имеет первые интегралы
y
xyxxx
2
1
−
y
xx
2
2y2
5
−
y
2
6
1
+
y
x
6
3
5
+
− δy = K1, (4.303)
y
x
3
4.11. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4 243
+
y
+
3
xxx
+
+
15
2
−
25
2
+7δyy
3
4
− 9y2y
y
2
2
y
+3y5yxx− 3y2y
y
x
xx
3δyxx+7y
3
13
−
y
x
4
18δy2yx+9yy
3
− 6 δy5yx−
x
4y4
45
+
y
8
2
y
x
4
y
x
6
9
−
y
2
4
x
19
+
y
x
4
+9δyyx− 6y3yxyxx+3yy
xxx
+2y3y
xxx
δy+15y
+36y5y
27
2
8y2
+3y10yx+
x
2
xx
δy
2
x
17
−
2
2
−
xx
4y2
−
x
− 30y3y
3y2
+3δ2yx−
x
y
15
117
6
yx−
8
4
35
2
y
3
x
2y3
9
+30y4y
y
x
2
4
+3y9− δy
xx
2y2
2
y
y
−
x
xx
− 18y7yx− 9δy
2y2
9
δ
2
2y5
157
−
y
x
y
6
22
−
6y3
2
y
x
4
y
3
2
x
17
24
= K
x
y
xx
+
xxx
2
y
−
xxx
x
yxx+
6
+ (4.304)
x
yxx+
12
+
y
2
13) Используя первые интегралы (4.303) и (4.304) и теорию последнего множителя
Якоби, найти общее решение уравнения (4.302).
14) Проверить, что уравнение четвертого порядка
y
xxxx
−
5δy
y
2
10 δy
3
y
3 y
−
2
x
21 y
xx
+
2y
2
2 δ
−
3
y
4 y
xyxxx
−
y
xx
+
2
2
9 y
y
xx
x
−
2
y
2y
3
+ μ + νy2=0
4
x
−
(4.305)
имеет первые интегралы:
y
xyxxx
y
y
2
xxx
y
2
2
+2νy
−
−
+δ
2
2y
x
y
6 y
xyxxyxxx
− 2δ
xx
2
y
3
y
11y
xx
3
y
4
2
xx
+
4
4y
3
2
y
x
xx
−
4
2
2y
3
3y
y
xxx
x
4
y
3y
xyxxx
+
y
xx
−
5
y
2
2δμ
x
+
3
y
9y
+
8y
y
y
2
x
−
6
μy
−
y
2
z
2
2
x
y
10y
3 νy
+
2
y
xx
4
y
y
= K
2
x
5
2y
y
2
x
δ
−
xx
2
2
+ νy−
4
9y
+
+
.
4
y
x
5
y
19y
2μy
y
4y
μ
xx
= K
y
9y
+
4y
4
z
+
6
(4.306)
1
6
x
+
6
(4.307)
zz
−
2
5 δy
−
2y
9y
+
−
4
3
2δ
−
6
y
6δν
+
y
15) Проверить уравнения (4.303), (4.304), (4.306) и (4.307) на тест Пенлеве.
ГЛАВА 5
ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ
ПЕНЛЕВЕ И ИХ СВОЙСТВА
5.1. Анализ уравнений четвертого порядка на свойство
Пенлеве
В XX-м веке математики предпринимали неоднократные попытки
обобщить результаты Пенлеве и его учеников на уравнения второго порядка со степенями, отличными от первой степени, и на уравнения более
высоких порядков. Уравнения второго порядка со второй степенью изучались Шэзи, Бьюро [111, 112] и Косгрове [130]. Классификация уравнений
третьего порядка первой степени проводилась Гарнье, Шэзи, Бьюро и Косгрове [130]. В настоящее время она близка к окончанию. Классификация
уравнений четвертого порядка пока еще находится на начальном этапе,
хотя за последние несколько лет ряд достижений в этом направлении имеется [59, 61,73, 120,121, 134,135,175, 176,207,208, 211,222–224, 237]. Среди
уравнений третьего порядка новых неклассических функций, определяемых
решениями нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичных трансцендентам Пенлеве, не найдено. Это было подсказано самим
Пенлеве. В силу некоторых соображений он считал, что решения уравнений
второго и третьего порядков не приведут к новым функциям, подобным тем,
что были открыты им. Пенлеве предполагал искать новые функции такого
рода, исследуя решения уравнений четвертого порядка. Однако анализируя
особенности уравнений четвертого порядка, исследователи сталкиваются
со значительными вычислительными трудностями. Последние обусловлены ростом числа ведущих членов в уравнениях. В самом деле, если наименьшая степень в разложении решения в ряд Лорана равна −1,топосле
подстановки этого разложения в уравнение второго порядка первой степени минимальная степень ведущих членов равна −3 иихколичествов
уравнениях не превышает трех. Уравнение имеет вид:
+ Ay3+ Byyz= M (y, yz,z) , (5.1)
y
zz
5.1. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 245
где M (y, yz,z) — выражение со слагаемыми, имеющими степень при под-
становке y = a
Общий вид уравнения, с решением y = a
(z −z0)−1в (5.1), большую чем −3.
0
(z −z0)−2+ ..., имеет еще
0
более простой вид
y
+ Ay2= M (y, yz,z) . (5.2)
zz
Для уравнений четвертого порядка количество слагаемых с ведущими
членами становится существенно больше.
Ниже рассмотрены нелинейные уравнения двух типов [207]
+ by5+ cy3yz+ dyy
y
zzzz
+gy
zyzz
y
+ by3+ cy
zzzz
+ hyy
zzz
2
+ dyyzz= F2(y, z) , (5.4)
z
2
+ fy2yzz+
z
= F1(y, z) ,
(5.3)
в которых значения постоянных параметров d, c, d, f, g и h пока не определены. Мы хотим найти значения параметров, при которых уравнения (5.3)
и (5.4) проходят тест Пенлеве. F
(y, z) и F2(y, z) — алгебраические выра-
1
жения, зависящие от y и z, имеющие большие степени после подстановки
y = a
(z −z0)−p, p =1, 2 в уравнения.
0
Предположим в начале, что F
y = a
в уравнение (5.3), имеем алгебраическое уравнение для a
4
− ca
0
3
+(d +2f) a
0
ba
= F2=0.Тогда,подставляя
1
x−1,x= z − z
0
2
− (2g +6h) a0+24=0. (5.6)
0
0
:
0
(5.5)
Один из корней этого уравнения можно выбрать равным 1. В этом
случае уравнение (5.6) становится уравнением для параметров
b − c + d +2f − 2g −6h +24=0. (5.7)
Подставляя
в (5.3) при F
=0, получаем уравнение для индексов Фукса в виде
1
4
j
+(h −10) j3+(35+f − g − 6h) j2+
+(c +5g +11h − 2d − 3f − 50) j+
y = x
−1
+ β1x
j−1
(5.8)
(5.9)
+3d − 4c − 4g +6f +5b − 12h +24=0.
246 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Из (5.9) следует, что сумма корней этого уравнения удовлетворяет соотношению
4
j4=10−h. (5.10)
k=1
Поскольку один из корней равен −1, то сумма трех остальных удовлетворяет уравнению
j
+ j3+ j4=11−h. (5.11)
2
Чтобы продвинуться на этом этапе дальше, надо задаться значением
коэффициента h. Интересны целые значения корней j
и поэтому для урав-
k
нений (5.3), проходящих тест Пенлеве, значение h должно быть целым или
нулевым. Задаваясь такими h и перебирая значения j
и j4, удовлетворя-
2,j3
ющие (5.11), рассмотрим наиболее вероятные корни уравнения (5.11). Эти
решения приведены в таблице 5.1.
Таблица 5.1
h j2j3j4h j2j3j
4
0 2 3 6 2 1 2 6
0 1 2 8 2 −2 5 6
0 1 4 6 3 1 2 5
0 2 4 5 3 1 3 4
0 1 3 7 3 −2 3 7
1 2 3 5 3 −2 4 6
1 1 3 6 4 1 2 4
1 1 2 7 4 −2 3 6
1 1 4 5 4 −2 2 7
2 2 3 4 4 −2 4 5
2 1 3 5 5 1 2 3
5 −2 2 6
Не нарушая общности рассуждений, рассмотрим случай h =0, j2=2,
j
=3и j4=6, поскольку остальные случаи проверяются аналогично.
3
Подставляя эти значения j
(k =1, 2, 3, 4) в уравнение (5.9), получаем
k
уравнения:
24f −10g +2c − 9d +5b + 120 = 0, (5.12)
4f +2g −2c − d +5b =0, (5.13)
6f +2g −c − 3d +5b =0. (5.14)
5.1. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 247
Решение системы уравнений (5.7), (5.12), (5.13) и (5.14) имеют вид
f = g − 10, (5.15)
d = b +2g − 16, (5.16)
c =2b +2g −12. (5.17)
Принимая во внимание эти соотношения, найдем произвольные коэффициенты в разложении решения в ряд Лорана.
Подставляя
−1
y = x
+ a1+ a2x + a3x2+ a4x3+ a5x4+ a6x6+ ...
(5.18)
в уравнение (5.3) при F
— произвольно при
a
6
=0,находим,чтоa2и a3— произвольные, но
1
g =6−b. (5.19)
Используя (5.15)–(5.17) и (5.19), из (5.6) имеем уравнение относительно a
:
0
4
− 3(b +4)a
ba
0
2
− 2(6− b) a0+24=0, (5.20)
0
корни которого
√
b2+48b
(1)
=1,a
a
0
(2)
= −2,a
0
(3, 4)
0
b ±
=
2b
. (5.21)
На этом этапе найдем индексы Фукса второго семейства решений, используя формулу
y = −2x
−1
+ β2x
j−1
(5.22)
и подставляя (5.22) в ведущие члены уравнения (5.23), получаем уравнение
для индексов Фукса, имеющее решение
√
5
j
= −1,j2=6,j
1
Пусть 24b −23 = m
2
,тогда
b =
3,4
23 + m
24
=
1
24b − 23. (5.23)
±
2
2
2
. (5.24)
Полагая m =2n +1, (n =0, 1, 2, ..., 25) в (5.24), из (5.23) находят-
ся целые индексы Фукса для второго семейства решений. При этом определяются также значения a
из (5.21), фиксируются случаи, когда они —
0
рациональные числа. Полученные решения представлены в таблице 5.2.
248 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Таблица 5.2
N j
k
b a
0
1 −1, 2, 3, 6 1 1, −2, −3, 4
2 −1, 6, −3, 8 6 1, −2, −1, 2
3 −1, 6, 7, 12 16 1, −2, −1/2, 3/2
4 −1, 6, −10, 15 27 1, −2, −1/3, 4/3
5 −1, 6, −20, 25 256/3 1, −2, −1/8, −9/8
Используя значения a0каждой строки таблицы 5.2, изучаются произвольные постоянные для всех семейств решений. В результате имеем, что
только для случаев 1, 2 и 3 уравнение (5.3) проходит тест Пенлеве.
Аналогично проверяются все случаи значений h и индексов Фукса,
представленных в таблице 5.1. В результате находятся значения параметра b, и следовательно, значения c, d, f и g, когда для уравнения (5.3) выполняются необходимые условия для теста Пенлеве. Эти значения приведены
в таблице 5.3.
Корень a
(m)
(m =2, 3, 4) находятся. Индексы Фукса j
a
0
(1)
в таблице 5.3 выбираем всегда равным 1, другие три корня
0
(m)
(m =2, 3, 4) вычисля-
k
ются последовательно. При этом получается случай, для которого исходное
уравнение (5.3) при F
=0проходит тест Пенлеве при
1
2
− 54
6n
g =
n2− 1
,n= ±2,±3, ±4,...
Корни a
(2, 3)
в этом случае находятся по формуле
0
=
1 ± n
,n∈ Z, n =0, ±1. (5.25)
2
a
(2,3)
0
Предоставляем читателю возможность самостоятельно восстановить
пропущенные подробности исследования.
Рассмотрим уравнение (5.4) и найдем значения параметров b, c и d,
при которых (5.4) проходит тест Пенлеве.
Подставляя
y = a
x−2,x= z − z0, (5.26)
0
в уравнение (5.24) при F
к уравнению
=0и приравнивая выражения при x−6,приходим
2
2
+(6c +4d) a0+ 120 = 0. (5.27)
ba
0
5.1. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 249
(m)
k
j
−1; 6; −3; 8
(m)
0
−1; 2; 3; 6
−1; 2; 3; 6
−1; 6; −7; 12
−1; 4; 6; −n
−1; 3; 4; −2
−1; 4; 6; n
−1; 1; −2; −3
−1; −2; −3; 4
−1; −2; −3; −4
2
1 ± n
0
− 54
− 1
2
2
n
6n
− 1
2
− 48
n
Таблица 5.3
− 1
2
− 96
n
− 1
2
− 96
n
h c d f g b a
(1)
k
j
(1)
0
1 1 −1; 2; 3;6 0 0 −10 −10 0 6 2; −2; −1 −1; 6; −3; 8
N a
2 1 −1; 2; 3;6 0 0 −5 −5 5 1 −3; −2; 4 −1; 6; −2; 7
3 1 −1; 2; 3;4 2
4 1 −1; 1; 3;4 3 0 6 3 9 0 1; 2 −1; 1; 3; 4
5 1 −1; 1; 2;4 4 4 12 6 10 0 2; 3 −1; 1; 4; −2
6 1 −1; 1; 2;3 5 10 15 10 10 1 2; 3; 4 −1;1; 2; −2
250 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Полагая a
(1)
= −1 в (5.27), имеем соотношение для параметров в виде:
0
b − 6c − 4d + 120 = 0. (5.28)
После подстановки
y = −x
в уравнение (5.4), при F
4
j
−14j3+(71− c) j3+(5c +4d − 154) j −8d−12c+3b + 120 = 0. (5.30)
−2
=0получаем уравнение для индексов Фукса
2
+ β3x
j−2
,x= z −z
0
(5.29)
Из (5.30) видно, что сумма его корней
4
jk=14. (5.31)
k=1
Поскольку j
= −1, то остальные корни уравнения (5.31) удовлетворя-
1
ют условию
j
+ j3+ j4=15. (5.32)
2
Интересуясь целыми и различными индексами Фукса, возьмем для
определенности: j
> 0(k =2, 3, 4), тогда имеем 12 решений уравне-
k
ния (5.32). Подставляя последовательно эти решения в (5.30), получаем
еще три уравнения для параметров b, c и d, решая которые, находим их зна-
чения. После чего находим корень a
(2)
из уравнения (5.27) и анализируем
0
другое семейство решений уравнения (5.4). Получили 5 вариантов значений параметров, когда это уравнение проходит тест Пенлеве. Эти значения
приведены в таблице 5.4. В этой таблице j
ствующие первому семейству решений (5.4), а j
(1)
— индексы Фукса, соответ-
k
(2)
— второму семейству.
k
Таблица 5.4
(1)
N a
(1)
j
0
k
b c d a
(2)
0
(2)
j
k
1 −1 −1; 2; 3; 10 60 30 0 −2 −1; 5; −2; 12
2 −1 −1; 2; 5; 8 40 20 10 −3 −1; −3; 8; 10
3 −1 −1; 3; 4; 8 24 18 9 −5 −1; −5; 8; 12
4 −1 −1; 3; 5; 7 15 15 45/4 −8 −1; −7; 10; 12
5 −1 −1; 4; 5; 6 0 12 12 −1 −1; 5; 4; 6
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]