Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений

5.8. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 281

При линейном потенциале и ω(λ)=ω0λ2, из (5.236) получим

4(P − λ)A

+2APz− A

z

+ ω0λ2=0.

zzz

(5.265)

Учитывая (5.238), из (5.265) имеем систему уравнений

n−1



αiL1[y]+4v(z)=αz,

i=1

v + vzzu +2u2− uzvz− 4yuv + ν =0,

u

zz

1

u

−

uu

zz

2

Полагая α

=0 (i =1, ..., n =1)в (5.266), получаем v(z)=αz/4.

i

Тогда из (5.267) и (5.268) находим P

2

u

z

+

uzz−

u

−

u

2

− 2yu2=

z

∗

3

2

8u

+4ν

αz

2

δ

.

2

2δ

−

=0,

u

(5.266)

(5.267)

(5.268)

(5.269)

где ν, α и δ — постоянные.

Полагая u(z)=v(z)=δ = ν =0, из (5.266) получаем обобщение первого уравнения Пенлеве. Поэтому система уравнений (5.266) – (5.268) обобщает P

1

и P

∗

.

3

Система уравнений (5.266) – (5.268) может быть представлена одним семейством уравнений.

Действительно, из (5.268) имеем:

2

y =

u

2u

zz

u

−

4u

2

δ

z

−

4u

.

2

(5.270)

Используя (5.270), из (5.266) получим:

αiL



u

zz

i

2u

2

u

z

−

2

4u

n−1



i=1

Полагая F =lnu, в (5.270) имеем:



y =

1 2

1

2

F

+

F

zz

z

2

4u

−

2

δ

2

δ

2



+4v = αz.



2

2F

e

,

(5.271)

282 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ

при этом уравнения (5.267) и (5.271) принимают вид:

− F





2ve−2F

v + δ

z

1

F

zz

2

F

+

−

z

2

+ νe−F+2eF=0, (5.272)



2

δ

−2F

e

2

+4v = αz. (5.273)

n−1



k=1

d

dz

αkL



d

dz



1

k

2

Из (5.272) и (5.273) приходим к семейству уравнений:

dz

− F

d

dz



z

m



k=1

(αzF

m



k=1

αkL

) − αδ2ze

z



d

dz

2e−2F

+δ

+

αkL

k





1

k

2





1

F

zz

2

−2F

1

+

F

zz

2

1

2

F

+

z

2

δ

2

−

F

z

2

δ

−2F

e

+

2

− 4νe−F+ μeF=0.



2

e

−2F

+



+

Параметр μ введен в (5.274) для общности. Справедлива теорема.

(5.274)

Теорема 5.10. Частные решения семейства уравнений (5.274) выра- жаются через общие решения P

Д

ОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1,P2

Полагая δ = ν = μ =0и f(z)=F

∗

и P

.

3

, из (5.274) имеем после интегри-

z

рования по z второе уравнение Пенлеве



d

− ff

dz

z



1

2

f

+

+2αzf − β =0, (5.275)

2

где β — постоянная интегрирования.

=0(k =1, ..., m) в (5.274), имеем специальный слу-

k

dz

d

(αzF

) − αδ2ze

z

−2F

− 4νe−F+ μeF=0. (5.276)

чай P

Полагая α

3

Учитывая, что F =lnu, из (5.276) получим каноническую форму P в виде (5.269).

Как следствие теоремы 5.10 получаем, что P

1,P2

∗

и P

являются част-

3

ными случаями семейства уравнений (5.274).

∗

3

5.8. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 283

Рассмотрим случай квадратичного потенциала в (5.236) при ω(λ)=

, если [189]:

=2ω

0

U(z, λ)=P (z) − 2λy(z)+λ

2

,

(5.277)

A(z,λ)=a

(z)+a1(z)λ + a0(z)λ2.

2

(5.278)

Подставляя (5.277) и (5.278) в уравнение (5.236) и приравнивая выражения при одинаковых степенях λ нулю, находим:

a

Здесь c

(z)=c0,

0

(z)=c0y + c1,

a

1

a

2

c

+10c0y3+6c1y2+ c2y + c3− 2c1P − 6c0yP =0,

0yzz

a

0,c1,c2

— произвольные постоянные.

3

(z)=

2,zzz

c

2

− 4a2P − 4ω0y − 2a2Pz=0.

y2−

0

1

c

P + c1y +

0

2

1

c

, (5.281)

2

4

(5.279)

(5.280)

(5.282)

(5.283)

Подставляя P (z) из (5.282) в (5.281) и (5.283) и сделав замену переменных:

c

αx

=

1



= αx −

1

y(z)=

1

βc

2

u(z) −

2

,c2= δc0,c3= μc0,c4= χ,

0

βδ

+

3

2β

27

c

1

3c

0

3

+ μ, β

,ω0=



=(β2− 3δ)

αc

0

,

8

(5.284)

1/2

(далее штрихи опускаем), после интегрирования по z получаем уравнение четвертого порядка:

u

− 2

2αzu

u

2

zuzzz

u

2

z

−

− 5u

2αu

u

zzzz

+

Используя переменную

2

uu

3u

zz

2

−

z

2u

2

z

+

5

uzz−

2

5

u

− β2u3+2αzu2+ χu −

2

2u

u

2αzu

+

−

2

u

2z2

α

zz

z

2u

u

=0.

zz

+

(5.285)

u = exp(v(z)),

284 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ

уравнение (5.285) можно записать в виде

2

dz

d



v

2

−5v

−2αe

zz

+ v

zz

−v





1

2

−

v

15

2

(zv

zz

2

v

+ β

z

) −

z

+

d

dz

+ v



2

1 2

α



2

+ χ +

z

2v

+2αzev−

e

2z2e−2v

=0.

5

4v

e

−

2

Пара Лакса для уравнения (5.285) имеет вид:

6Ψ

=2(3λ −3u + β)Ψz− Q(z)Ψ,

zz

(5.286)

(5.287)

18αΨ

Q(z)=3u

M(z, λ)=2u

2

+ βu −

N(z, λ)=βu

− 12uuz− 2β2u +

z

(uzz+αz)+3u2−β2−9uz+

2

u

−

−3βu

3u

=6M(z, λ)Ψz+ N (z,λ)Ψ,

λ

1

2

β

+

z

1

2

β

3

2

+

− u2−

3

1

(u

−

zz

u

1

2

β

+6zα +6u3− 3uzz−

3

1

(3u

zzz

u

1

(u

zz

u

+ αz)+(3u +2β)λ +3λ2, (5.290)

+3α + βuzz+ αβz)−

3αz+3u



zz

u

(5.288)

+ αz), (5.289)

(5.291)

2

λ−9βλ

−9λ3.

Линейная система уравнений (5.287), (5.288) может быть использована для решения задачи Коши уравнения (5.285). Установлено [189], что уравнение (5.285) проходит тест Пенлеве и, по-видимому, его общее решение также определяет существенно трансцендентные функции.

5.9. Преобразования Бэклунда для высших аналогов

уравнений Пенлеве

Пять из шести уравнений Пенлеве имеют ряд соотношений между решениями уравнений при различных значениях параметров [19, 39,160]. Как сказано выше, такие соотношения называются преобразованиями Бэклунда. Эти преобразования позволяют находить бесконечное число частных и специальных решения уравнений Пенлеве. Покажем, что уравнения (5.183) и (5.185) также имеют преобразования Бэклунда [122, 159,164, 194,199].

5.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 285

Используя определение оператора Ln, семейство уравнений (5.183) можно задать двумя способами:



d

−

− 2yL

dz



d

+2yL

dz

"

n

−y

"

n

y

z

− y

2

#

2

− zy − α

− zy − ˘α

=0, (5.292)

n

=0. (5.293)

n

Будем искать решения уравнений семейства (5.292) в виде усеченных разложений Пенлеве, предложенных для нелинейных уравнений в частных производных в работе. В частности, для уравнения (5.292) можно использовать усеченное разложение в виде:

ϕ

z

y =

ϕ

zz

−

, (5.294)

2ϕ

z

а для уравнения (5.293) разложение

ψ

z

y = −

ψ

zz

+

. (5.295)

2ψ

z

Однако далее будем использовать выражения в виде

ϕ 2ϕ

zz

z

(5.296)

y = −

и

ψ

zz

y =

, (5.297)

2ψ

z

поскольку замены ϕ → 1/ϕ и ψ → 1/ψ в формулах (5.296) и (5.297) приводят к выражениям (5.294) и (5.295).

Подставляя (5.296) в (5.292), получаем цепочку соотношений в виде:



d

−



d

=



=

− 2y−L

dz

d

dz

− 2yL

dz

− 2y−L

"

n

−y



n

"

n

−y

z

2

− y

z

1

{ϕ; z} +

2

− y

#

2

z

+

2

#

− zy − α

−α

z

−α

2

=

n



ϕ

1

+

n

2



1

+

n

2

=

ϕ

z



ϕ

.

ϕ

z

(5.298)

286 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ

Выражение {ϕ; z} в (5.298) обозначает производную Шварца

2

{ϕ; z} =

ϕ

zzz

z

3ϕ

zz

−

. (5.299)

2

2ϕ

z

Последнее соотношение в (5.298) получено с использованием равенства

y

+ y2= −

z

1

{ϕ; z}, (5.300)

2

которое справедливо как для решения (5.296), так и для (5.294).

Подставляя (5.297) в (5.293), по аналогии с (5.298), получаем



d

+2yL

d

+2yL

dz



=



d

=

+2yL

dz

"

n

y

z



1

n

2

"

n

y

− y

z

#

2

−

− y

{ψ; z} −

#

2

− zy − ˘α

z

−˘α

2

z

−˘α

2

=

n



ψ

1

−

n

2

1

−

n

2

=

ψ

z



ψ

.

ψ

z

Здесь{ψ; z} — производная Шварца, связанная с преобразованием Миуры формулой

y

− y2=

z

1

{ψ; z}. (5.302)

2

Из соотношений (5.298) и (5.301) следует, что уравнения



ϕ

1

+

n

2

=0 (5.303)

ϕ

z

−L



1

n

2

{ϕ; z} +

z

−α

2

(5.301)

и

n

L



1

{ψ; z} −

2

z

2

−˘α



ψ

1

−

n

2

=0 (5.304)

ψ

z

можно рассматривать как уравнения для переменных ϕ(z) и ψ(z).

В [191, 192] показано, что решение ψ(z, ˘α быть найдено по известному решению ϕ(z,α

) уравнения (5.294) может

n

) уравнения (5.303) с помо-

n

щью итерационной формулы Вайса

2

ϕ

=

ψ

z

ϕ

z

(5.305)

5.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 287

при условии, что

= −1 −αn. (5.306)

˘α

n

Дифференцируя (5.305) по z, имеем выражение

ψ 2ψ

zz

=

z

ϕ

z

zz

−

ϕ

, (5.307)

2ϕ

z

которое с учетом (5.296) и (5.297) приводит к формуле

ϕ

˘y(z, ˘α

n

) − y(z, αn)=

z

. (5.308)

ϕ

Подставляя (5.308) в (5.303) и принимая во внимание (5.300), получаем уравнение в виде

(1)

I

= −L

α

"

n

−y

z

− y

#

z

2

+

2

2y(z, αn) − 2y(z, −αn− 1)

2α

n

+1

=0. (5.309)

Теорема 5.11. Уравнение (5.309) эквивалентно семейству уравне- ний (5.292).

Д

ОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Семейство уравнений (5.309) имеет меньший порядок, чем исходное семейство уравнений (5.292). Из соотношения (5.298) следует, что



d

− 2yI

dz

Откуда следует, что если y(z, α

(1)

=0. (5.310)

α

) — решение (5.292), то (5.309) равно

n

нулю.

При известном решении ψ(z, ˘α

) уравнения (5.304), решение ϕ(z,αn)

n

уравнения (5.303) может быть получено с помощью итерационной формулы [191,192]:

2

ψ

ϕ

=

z

, (5.311)

ψ

z

при условии, что

α

=1− ˘αn. (5.312)

n

Из (5.311) находится формула

y(z, α

)=−

n

ψ

z

ψ

+˘y(z, ˘α

). (5.313)

n

288 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ

Подставляя (5.313) в (5.304) и принимая во внимание (5.302), получим уравнение:

= L

"

n

˘y

(2)

I

α

z

− ˘y

#

z

2

−

2

2˘y(z, ˘αn) − 2˘y(z, 1 − ˘αn)

2˘α

− 1

n

=0. (5.314)

Теорема 5.12. Семейство уравнений (5.314) эквивалентно семейству уравнений (5.292).

Д

ОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Уравнение (5.314), как и уравнение (5.309), имеет меньший порядок, чем исходное уравнение (5.292). Соотношение (5.301) может быть представлено в виде:



d

dz

+2yI

(2)

=0. (5.315)

α

Откуда и следует доказательство.

Используя определение операторов H

и Gn, семейство уравне-

n

ний (5.185) можно записать в виде:



d

+ yH

dz



1

d

−

2

− 2yG

dz



y

n

z

"

−2y

k

1

2

y

−

2

z

− 2y

− zy − β

#

2

− zy −˘β

=0, (5.316)

n

=0. (5.317)

k

Если представить, что решения семейства уравнений (5.316) определяется по формуле:

ϕ

zz

y =

, (5.318)

2ϕ

z

то правая часть (5.316) может быть записана в виде следующей цепочки равенств:



d

+ yH

dz



d

=

+ yH

dz



y

n

z



−

y

n

z

−

1 2

1

y

2

y

2

− zy − β

− z −(β

n

− 1)

=



ϕ

.

ϕ

z

(5.319)

С другой стороны, полагая

y = −

ψ

zz

, (5.320)

2ψ

z

5.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 289

семейство уравнений (5.317) можно представить в виде

= −



1

d

−

2



d

1 2

dz

− 2yG

dz

− 2yG

"

−2y

k

z

"

−2y

z

− 2y

k

− 2y

#

2

#

2

− zy −˘β

− z −

=

k



β



ψ

1

˘

+

k

2

ψ

z

(5.321)

.

Рассмотрим уравнения из правых частей (5.319) и (5.321)



H

y

n

z

"

G

−2y

k

z

−

− 2y

1 2

2

y

#

2

− z −(β



− z −

β

n

˘

− 1)

k

ϕ

=0, (5.322)

ϕ

z



ψ

1

+

2

=0. (5.323)

ψ

z

Если воспользоваться соотношениями

1

y

−2y

2

y

−

z

= {ϕ;z}, (5.324)

2

− 2y2= {ψ; z}, (5.325)

z

то уравнения (5.322) и (5.323) могут быть записаны в виде уравнений для функций ϕ(z, β

) и ψ(z,˘βk)

n

H

[{ϕ; z}] − z −(βn− 1)

n

G

[{ψ; z}] − z −

k



˘

βk+

ϕ

=0, (5.326)

ϕ

z



ψ

1 2

=0. (5.327)

ψ

z

Решение уравнения (5.326) может быть получено с помощью итерационной формулы Вайса:

4

ϕ

ψ

=

, (5.328)

2

ϕ

z

где ϕ(z,β

z

) и ψ(z, 2 − βn). С другой стороны, решение уравнения (5.327)

n

можно найти по формуле:

ψ

=

z

, (5.329)

1/2

ψ

z

где ϕ(z,˘β

) и ψ(z, −˘βk− 1).

k

ϕ

290 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ

Принимая во внимание (5.328) и (5.329), получаем соотношения

ϕ

z

1

=

ϕ

y(z, β

2

ψ

z

= y(z,−1 − β

ψ

1

y(z, 2 − β

) −

n

2

) − y(z, βk). (5.331)

k

), (5.330)

n

Подставляя выражение (5.330) в уравнение (5.322), приходим к семейству уравнений

(1)



I

= H

y

n

β

z

1

2

−

− z −

y

2

y(z, βn) − y(z, 2 − βn)

2β

− 2

n

=0. (5.332)

Теорема 5.13. Семейство уравнения (5.332) эквивалентно семейству уравнений (5.316).

Д

ОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Следует из соотношения



+ yI

(1)

=0. (5.333)

β

d

dz

Подставляя (5.331) в уравнение (5.323), получаем уравнение в виде:

= G

"

−2y

k

z

(2)

I

β

− 2y

#

2

− z − y(z, βk) − y(z, −1 −βk)

2β

k

+1

=0. (5.334)

Теорема 5.14. Семейство уравнений (5.334) эквивалентно семейству

уравнений (5.316).

Д

ОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Следует из соотношения



d

dz

− 2yI

(2)

=0. (5.335)

β

Найдем преобразования Бэклунда для уравнения (5.183). Из (5.309)

и (5.314) следуют соотношения

2α

+1

y(z, −α

− 1) = y(z, αn) −

n

2L

n

"

n

−y

− y

z

#

2

− z

, (5.336)