Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
6.10. МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ МКДВ 331
По аналогии с вышеприведенным двухсолитонным решением можно
построить трехсолитонное решение уравнения Кортевега – де Вриза. С этой
целью для f
f
1
берется выражение (6.141) при N =3:
1
=exp)k1x − ω1t + ϕ
+exp)k
*
(1)
+exp)k
0
x − ω3t + ϕ
3
x − ω2t + ϕ
2
*
(3)
,
0
(2)
0
*
+
(6.152)
тогда для f
=exp{θ1+ θ2+ A12} +exp{θ1+ θ3+ A13} +exp{θ2+ θ3+ A23},
f
2
получается решение
2
(6.153)
где
2
− kj)
(k
=
(ki+ kj)
i
,θi= kix − ωit + ϕ
2
A
ij
e
Решение уравнения (6.140) с учетом f
=exp{A12+ A13+ A23+ θ1+ θ2+ θ3}, (6.155)
f
3
причем в данном случае равным нулю оказывается f
(i)
,ωi= k
0
и f2имеет вид
1
n
3
. (6.154)
i
при n 4.
Подстановка (6.152), (6.153) и (6.155) в (6.133) приводит по формуле (1.1) к трехсолитонному решению уравнения Кортевега – де Вриза.
Эта процедура может быть продолжена для произвольного целого N.
Основываясь на приведенных выше выражениях для f
и f3,Р.Хирота
2
выдвинул гипотезу и затем доказал теорему о том, что структура общего
N-солитонного решения имеет вид [172]
⎛
exp
⎝
N
i=1
piθi+
Z
=
N
p=0,1
N
1i<j
pipjA
где индекс суммирования по p пробегает все значения p
Постоянные A
при столкновении солитонов. Подстановка f
определяются из (6.154) и характеризуют сдвиг фаз
ij
n
⎞
⎠
, (6.156)
ij
и (i =1, ..., N).
i
в (6.133) приводит к N -
солитонному решению уравнения Кортевега – де Вриза.
6.10. Метод Хироты для модифицированного уравнения
Кортевега – де Вриза
Для модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза метод Хироты применяется в несколько иной форме, чем для КдВ [171].
332 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Пусть
v = F /G, (6.157)
тогда, подставляя (6.157) в уравнение мКдВ
v
+6v2vx+ v
t
=0, (6.158)
xxx
имеем
D
t
+ D
2
x
GF +
6
2
F
(DxGF )
1
D
2
2
FF − G
x
2
=0. (6.159)
Отсюда, учитывая произвольность функций F и G, получаем, что v,
которое находится по формуле (6.157), удовлетворяет уравнению (6.157),
если F и G являются решениями системы уравнений
D
D
3
GF =0, (6.160)
+ D
t
x
2
FF =2G2. (6.161)
x
Функции F и G можно искать также в виде формальных разложений
F =1+ε
2
f2+ ε4f4+ ..., (6.162)
G = εg
+ ε3g3+ .... (6.163)
1
Из (6.160), (6.161) с учетом (6.162) и (6.163) находим
1
∂
∂x
+
2
f
2
3
1
3
g
∂
1
=0, (6.164)
3
∂x
2
2
= g
. (6.165)
1
и f2:
1
(0)
t + ϕ
gk=0, (k 3) , (6.166)
1
∂g
∂t
Откуда получаем решения для g
g
=exp{θ1},θ1= k1x − k
1
f
=exp{2θ1},fi=0, (i 4) , (6.167)
2
которые при ε =1приводят к односолитонному решению мКдВ в виде
2
4k
exp {θ1}
v =
1
2
4k
+exp{2θ1}
1
ch−1{θ1}. (6.168)
= k
1
6.11. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 6 333
Двухсолитонное решение мКдВ находится, если g1взять в виде суммы
двух экспонент, тогда g
=0и f4=0,ноgk=0и fi=0при k 5,i 6.
3
Функции F и G, соответствующие двухсолитонному решению модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза, могут быть представлены
ввиде:
G =exp{θ
} +exp{θ2} +
1
1
+
2
4k
1
4k
− k
k
1
k1+ k
k
1
2
k1+ k
2
2
2
exp {2θ1+ θ2},
2
1
− k
2
2
exp {θ1+2θ2}+
2
(6.169)
1
exp {2θ2}+
2
4k
2
k
1
2
2
k1+ k
k
1
2
1
− k
4
2
exp {2θ1+2θ2}.
2
+
(k1+ k2)
F =1+
2
exp {θ1+ θ2} +
2
1
exp {2θ1} +
2
4k
1
16k
Используя аналогичные подходы, в настоящее время получены солитонные решения многих точно решаемых нелинейных уравнений.
6.11. Задачи и упражнения к главе 6
1) Пусть y1и y2два решения уравнения
y
+ p (x) yx+ q (x) y =0. (6.171)
xx
Показать, что определитель Вронского W (y
W
+ p (x) W =0. (6.172)
x
2) Показать, что собственные значения и собственные функции задачи
Ψ
xx
+λ − x
2
Ψ=0, Ψ(x) → 0 при |x|→∞ (6.173)
имеют вид
λ =1+2n, (n =0, 1, 2,...) ,
Ψ
(x)=exp−
n
1
2
) удовлетворяет уравнению
1,y2
2
Hn(x) ,
x
(6.170)
(6.174)
(x) — полином Эрмита степени n.
где H
n
334 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
3) Найти решения интегрального уравнения
∞
+
x
K (x, y) e
−(y+z)
dy =0. (6.175)
K (x, z)+e
−(x+z)
4) Пусть F (x, z) — решение уравнения [1]
F
− Fzz=0; (6.176)
xx
показать, что решение интегрального уравнения
∞
K (x, z)+F (x, z)+
K (x, y)F (y, z) dy =0 (6.177)
x
является решением нелинейного дифференциального уравнения
K
− Kzz− uK =0, (6.178)
xx
где
u = −2
K (x, x) ,K
dx
→ 0,Kz→ 0 (6.179)
x
d
при z →∞.
5) Используя определение оператора Хироты, доказать тождества [171]
D
ab
x
=
2
D
x
b
, (6.180)
2
b
2
ab
−
ab
D
x
a
. (6.181)
2
b
b
∂
∂x
a
∂
∂x
b
2
a
2
=
b
6) Пусть [95]
a
Ψ=
,u=2(lnb)
b
; (6.182)
xx
доказать, что
D
ab
x
=Ψxx+ uΨ. (6.183)
2
b
7) Показать, что
= a0+ a1x + a2x2+ a3x3+ a4x4+ bt − 24a4xt
Z
1
является решением уравнения (6.138).
(6.184)
6.11. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 6 335
8) Показать, что (6.184) удовлетворяет уравнению (6.139), если
a
=0, 3a1a3= a
4
2
,b=12a3.
2
(6.185)
9) Используя (6.184), (6.185), найти рациональное решение уравнения Кортевега –
де Вриза
3
− 24t)
u = −
6x(x
(x3+12t)
, (6.186)
2
удовлетворяющее условию u(x =0,t)=0.
10) Показать,что,используязамену
u =2
ln f (6.187)
2
∂x
2
∂
и определение оператора Хироты, уравнение Кадомцева – Петвиашвили [171]
u
+6(uux)x+ u
xt
xxxx
+ u
yy
(6.188)
можно представить в виде
DtDx+ D
2
y
4
+ D
f · f =0. (6.189)
x
11) Показать, что уравнение Кортевега – де Вриза пятого порядка
+45u2ux+15(uxuxx+ uu
u
t
xxx
)+u
=0 (6.190)
xxxxx
заменой (6.187) приводится к виду
D
Dt+ D
x
5
f · f =0. (6.191)
x
12) С помощью замены (6.187) представить уравнение Буссинеска
− uxx− 3u
u
tt
2
xx
− u
=0 (6.192)
xxxx
в форме Хироты.
13) Показать, что уравнение sin-Гордона [173]
u
− utt=sinu (6.193)
xx
спомощьюзамены
u =4arctg(g/f) (6.194)
приводится к билинейной форме
2
D
2
D
x
2
− D
x
− D
− 1(fg)=0, (6.195)
t
2
(f · f − g · g)=0 (6.196)
t
336 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
14) Для нелинейного уравнения Шредингера
iu
+ uxx+ |u|2u =0 (6.197)
t
с помощью замены [171]
u = G/F (6.198)
найти билинейный вид
1
2
F
iDt+ D
2
x
GF −
G
2
D
FF− GG∗=0. (6.199)
x
3
F
15) Полагая в (6.199)
iDt+ D
2FF= GG∗, (6.201)
D
x
найти солитонные решения уравнения (6.197).
2
GF =0, (6.200)
x
ЛИТЕРАТУРА
[1] Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи рассея-
ния. М.: Мир, 1987, 480 с.
[2] Адлер В.Э., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к пробле-
ме интегрируемости. Теоретическая и математическая физика, 2000,
т. 125, вып. 6, с. 355–427.
[3] Aйнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков:
ГНТИУ, 1939, 70 с.
[4] Арнольд В.И. Математические методы классической механики.М.:
Наука, 1974, 432 с.
[5] Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функ-
ции. М.: Наука, 1984, 384 с.
[6] Борисов А.А., Шарыпов О.В. Самоподдерживающиеся уединенные
волны в неравновесных средах. Физика горения и взрыва, 1993, с. 80–
87.
[7] Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела.Москва–
Ижевск: Изд-во РХД, 2001, 384 с.
[8] Борисов А.В., Мамаев И.С. Неголономные динамические системы.
Москва–Ижевск: ИКИ, 2002, 328 с.
[9] Борисов А.В., Мамаев И.С. Современные методы теории интегри-
руемых систем. Москва–Ижевск: ИКИ, 2003, 296 с.
[10] Браже Р.А. Влияние вязкости на условия формирования центробеж-
ных солитонов в поступательно-вращательном потоке жидкости.
Прикладная математика и механика, 1989, 1035–1037.
[11] Бхатнагар П. Нелинейные волны в однородных дисперсных системах.
М.: Мир, 1983, 136 с.
[12] Веселов А.П. Интегрируемые отображения. Успехи математических
наук, 1991, т. 46, вып. 5, с. 3–45.
338 ЛИТЕРАТУРА
[13] Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального
уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР. Сер. матем,
1951, т. 45, №4, с. 309–360.
[14] Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных
уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1941, 400 с.
[15] Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тя-
желого твердого тела около неподвижной точки. М.: ГИТТЛ, 1953,
288 с.
[16] Гордеев Ю.Н., Кудряшов Н.А. Уединенные волны в диссипативно-
дисперсных системах с неустойчивостью . Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1989, №2, с. 99–104.
[17] Громак В.И. Первое уравнение Пенлеве высшего порядка. Дифферен-
циальные уравнения, т. 35, №1, 1999, с. 38–42.
[18] Громак В.И. Нелинейные эволюционные уравнения и уравнения
типа. Дифференциальные уравнения, т. 20, №12, 1984, с. 2042–2047.
[19] Громак В.И., Лукашевич Н.А. Аналитические свойства решений урав-
нений Пенлеве. Минск: Университетское, 1990.
[20] Громак В.И., Цегельник В.В. Уравнения Пенлеве, групповой анализ и
нелинейные эволюционные уравнения. Минск, Препринт, 1988.
[21] Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. М.: Постмаркет, 2001,
184 с.
[22] Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д., Моррис X. Солитоны и нелинейные
волновые уравнения. М.: Мир, 1988, 694 с.
[23] Дрюма В.С. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кор-
тевега – де Вриза. Письма в ЖЭТФ, т. 19, вып. 12, 1974, с. 753–755.
[24] Дубровин Б.А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения.
Москва–Ижевск: РХД, 2001, 152 с.
[25] Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микрострукту-
рой. М.: Издательство Московского университета, 1999, 328 с.
[26] Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных
уравнений. Минск: Наука и техника, 1979, 664 с.
[27] Ефимова О.Ю., Кудряшов Н.А. Точные решения уравнения Бюргерса
–Хаксли. Прикладная математика и механика, 2004, т. 68, вып. 1.
-
ЛИТЕРАТУРА 339
[28] Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория
солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980, 320 с.
[29] Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки
и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде. ЖЭТФ, т. 61,
1971, с. 118–134.
[30] Захаров В.Е., Шабат А.Б., Схема интегрирования нелинейных уравне-
ний математической физики методом обратной задачи рассеяния.
Функциональный анализ и приложения, т. 6, вып. 3, 1973, с. 43–53.
[31] Землянухин А.И. Точное солитоноподобное решение нелинейного эво-
люционного уравнения пятого порядка. Известия вузов. Прикладная
нелинейная динамика, т. 7, №2, 3, 1999, с. 29–32.
[32] Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндри-
ческих оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. Саратов, 1999,
132 c.
[33] Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике.
М.: Наука, 1983, 280 с.
[34] Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн
в слабодиспергирующих средах. Докл. АН СССР, т. 192, 1970, с. 753–
756, 272 с.
[35] Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986.
[36] Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и соли-
тоны. М.: Мир, 1985, 470 с.
[37] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравне-
ниям. М., Наука, 1971, 576 с.
[38] Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах.М.:Наука,
1973.
[39] Кларксон П.А., Менсфилд Э.Л., Вебстер Х.Н. О соотношениях между
дискретными и непрерывными уравнениями Пенлеве. Теоретическая
и математическая физика, 2000, т. 122, №1, с. 5–22.
[40] Ковалевская С.В. Научные работы. М., Изд-во АН СССР, 1948.
[41] Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твёрдого
тела. Ижевск: Изд-во РХД, 2000, 256 с.
340 ЛИТЕРАТУРА
[42] Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоно-
вой механике. Успехи математических наук, т. 38, №1, 1983, с. 3–67.
[43] Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование
уравнения диффузии, соединенного с возрастанием количества веще-
ства и его применение к одной биологической проблеме. Бюлл. МГУ.
Серия А, 1937, №6, с. 1–26.
[44] Корсунский С.В. Нелинейные волны в вязкой сжимаемой жидкости
с релаксацией. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, №3, 1993,
с. 31–35.
[45] Корсунский С.В., Селезов И.Т. Нелинейные магнитозвуковые волны
в электропроводящей жидкости с пузырьками газа. Изв. АН СССР,
Механика жидкости и газа, №2, 1991, с. 142–147.
[46] Корсунский С.В., Селезов И.Т. Уравнения типа Кортевега – де Вриза
в теории волн на поверхности электропроводной жидкости.Изв.АН
СССР, Механика жидкости и газа, №2, 1989, с. 177–180.
[47] Кудряшов Н.А. Нелинейные волны и солитоны. Энциклопедия Со-
временное естествознание. Физика волновых процессов, т. 7. М.,
Магистр-пресс, с. 194–198.
[48] Кудряшов Н.А. Ударные волны в газе. Энциклопедия Современное
естествознание. Физика волновых процессов, т. 7, М., Магистр-пресс,
с. 188–193.
[49] Кудряшов Н.А. Преобразование Бэклунда для уравнения в частных
производных четвертого порядка с нелинейностью Бюргерса – КдВ.
Доклады АН СССР, т. 300, 1988, №2, с. 342–345.
[50] Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения нелинейного пятого
порядка для описания волн на воде. Прикладная математика и меха-
ника, т. 65, вып. 5, 2001, с. 884–994.
[51] Кудряшов Н.А. Точные решения нелинейных волновых уравнений
встречающихся в механике. Прикладная математика и механика, т. 54,
№3, 1990, с. 450–453.
[52] Кудряшов Н.А. Точные решения обобщенного уравнения Гинзбурга –
Ландау. Математическое моделирование, 1989, №9, с. 151–158.
[53] Кудряшов Н.А. Точные решения уравнения N-го порядка с нелинейно-
стью Бюргерса – Кортевега – де Вриза. Математическое моделиро-
вание, т. 1, №6, 1989, с. 57–65.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]