Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
2.16. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 121
Uλ=4UAz+2AUz+ Bzz. (2.225)
Подстановка (2.224) в (2.225) приводит к
U
=4UAz+2AUz− A
λ
. (2.226)
zzz
Полагая в (2.226)
U = y(z)+λ, (2.227)
A(z,λ)=−y(z)+2λ, (2.228)
после интегрирования по z приходим к первому уравнению Пенлеве:
=3y2+ z. (2.229)
y
zz
Таким образом, уравнение (2.229) эквивалентно следующей линейной
системе уравнений:
ψ
=(y + λ)ψ, (2.230)
zz
ψ
=2(2λ − y)ψz+ yzψ. (2.231)
λ
Для того чтобы найти систему уравнений, эквивалентную второму
уравнению Пенлеве, введём вектор-функциюψ(z, λ):
ψ
ψ(z, λ)=
1
. (2.232)
ψ
2
Предположим, что функцияψ(z, λ) удовлетворяет следующей системе
уравнений:
=.Mψ, λψλ=/Nψ (2.233)
ψ
z
с матрицами.M и/N ввиде:
.
M =
iλ r(z)
r(z) −iλ
,/N =
A(z,λ) B(z, λ)
C(z,λ) −A(z, λ)
. (2.234)
Условия совместности системы уравнений (2.233)
(ψ
)λ=(ψ1λ)z(ψ2z)λ=(ψ2λ)
1z
z
приводят к уравнениям:
+ rB −iλ − rC =0, (2.236)
A
z
(2.235)
122 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Bz− 2iλB +2rA =0, (2.237)
C
+2iλC − 2rA =0. (2.238)
z
Будем искать элементы матриц A, B и C ввиде:
A = a
(z)λ + a1(z)λ2+ a2(z)λ3, (2.239)
0
(z)+b1(z)λ + b2(z)λ2, (2.240)
B = b
0
C = c
(z)+c1(z)λ + c2(z)λ2. (2.241)
0
Подставляя (2.239), (2.240) и (2.241) в систему уравнений (2.236),
(2.237) и (2.238) и приравнивая выражения при одинаковых степенях λ
нулю, находим коэффициенты:
=4i, a1=0,a0= iz +2ir2, (2.242)
a
2
b
=4r, b1= −2irz,b0= −α, (2.243)
2
=4r, c1=2irz,c0= −α. (2.244)
c
2
Подставляя (2.242)–(2.244) в формулы (2.239)–(2.241), получаем элементы матриц.M и/N. При этом система уравнений (2.233) эквивалентна
второму уравнению Пенлеве относительно функции r(z):
3
r
zz
Оставшиеся уравнения Пенлеве P
+ zr + α. (2.245)
3,P4,P5
и P6также могут быть представлены в виде линейных систем уравнений. Впервые эти факты были
установлены Л. Фуксом и Р. Гарнье [130, 156]. По аналогии с линейной системой уравнений, используемой при решении задачи Коши для уравнения
Кортевега – де Вриза, в последнее время системы уравнений (2.230), (2.231)
и (2.233) часто называются парами Лакса.
2.17. Алгоритм Конта – Форди – Пикеринга для
проверки уравнений на свойство Пенлеве
При исследовании дифференциальных уравнений методом Ковалевской встречаются уравнения, имеющие отрицательные индексы Фукса, отличные от −1. Так, например, анализируя уравнение
y
+3yyz+ y3=0, (2.246)
zz
2.17. АЛГОРИТМ КОНТА – ФОРДИ – ПИКЕРИНГА 123
получаем, что оно имеет два семейства решений, у которых p = −1,a0=
=1и p = −1,a
=2. Причем индексы Фукса для первого семейства
0
решений равны −1 и 1, а для второго −1 и −2. Исследование первого семейства решений может быть продолжено методом Ковалевской. Однако
при анализе второго семейства решений подход Ковалевской не позволяет
найти вторую постоянную интегрирования. Для исследования дифференциальных уравнений с отрицательными индексами Фукса Р. Контом, А. Форди
и Э. Пикерингом предложен алгоритм, названный ими методом возмущений
Пенлеве [130,132].
Пусть задано дифференциальное уравнение
E (y, y
, ..., z)=0. (2.247)
z
При реализации алгоритма предполагается, что переменная z остается
без изменения, а решения y уравнения (2.247) представляются в виде ряда
по степеням формального параметра ε
∞
y =
n=0
(n)
εny
. (2.248)
Это приводит к тому, что исходное уравнение (2.247) представляется в
виде:
E =
∞
n=0
εnE
(n)
=0. (2.249)
Исходное уравнение (2.247) в этом случае эквивалентно бесконечной
последовательности уравнений
(n)
≡ E
E
"
где E
y
Выражение R
при чем R
(0)
≡ Ey
E
+
(0)
y
(0)
,z#— производная Фреше
(1)
≡ 0. Каждое уравнение (2.251) является линейным дифферен-
(n)+R(n)
,z,y
E
[ω, z] v = lim
(n)
зависит от предшествующих решений y
(0)
,z=0,n=0, (2.250)
(0)
y
, ..., y
(n−1)
E ( ω + λv, z) − E ( ω, z)
λ→0
λ
,z=0, ∀n 1, (2.251)
. (2.252)
(0)
, ..., y
(n−1)
циальным уравнением. При n =1уравнение (2.251) является линейным и
однородным, а при n 2 — неоднородным.
,
124 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Для того чтобы решение исходного уравнения (2.247) не имело критических подвижных особых точек, необходимо, чтобы, во-первых, общие
решения уравнений (2.250) и (2.251) при n =1не имели критических подвижных особых точек, и чтобы для каждого уравнения (2.251) при n 2
нашлось частное решение без критических подвижных точек.
Анализ уравнений методом возмущений Пенлеве, как и алгоритм Ковалевской, состоит из нескольких этапов.
На первом шаге, после подстановки
(0)
= a0ξ−p,ξ= z − z
y
0
(2.253)
в ведущие члены уравнения (2.250), находятся возможные семейства решений (a
,p). При этом требуется, чтобы p имело целые значения, тогда
0
алгоритм исследования может быть продолжен. Второй шаг аналогичен ме-
тоду Ковалевской и состоит в нахождении индексов Фукса, которые также
должны быть целыми. На третьем шаге ищутся постоянные интегриро-
вания в решении исходного уравнения. При этом решение y
(0)
исходного
уравнения (2.250) ищется, как и в методе Ковалевской, в виде
∞
j=0
(0)
j−p
y
ξ
i
. (2.254)
(0)
=
y
Если метод возмущений Пенлеве применяется к уравнению с положительными индексами Фукса, то представление (2.254), как правило, позволяет определить все постоянные интегрирования уже в разложении (2.254).
Однако при отрицательных значениях индексов Фукса следует изучать уравнения (2.251) при n 1. Решение этих уравнений ищется в виде
∞
j=nr
(n)
j−p
y
ξ
j
,n 1, (2.255)
(n)
y
=
где r — наименьшее значение индекса Фукса.
Подставляя (2.255) в уравнение (2.251) при n =1
+
(0)
E
y
,z,y
(1)
=0, (2.256)
имеем, что индексы Фукса для этого уравнения определяются значениями
j − p,гдеj — индексы, определенные ранее. Решение (2.255) уравнения
(2.256) представляет собой частное решение, содержащее произвольные
2.18. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА МЕТОДОМ ВОЗМУЩЕНИЙ 125
коэффициенты, число которых равно количеству индексов Фукса. Поэтому
(0)
y
нения.
вкладом в R
(1)
+ εy
При n 2 частное решение (2.255) уравнения E
является локальным представлением решения исходного урав-
(n)
решений уравнений предыдущих порядков. В результате
(n)
=0определяется
двойного представления, по существу, получается разложение решения исходного уравнения, которое можно представить в виде
y =
∞
n=0
⎛
∞
j=nρ
(n)
y
j
n
⎝
ε
ξ
j−p
⎞
⎠
=
∞
j=−∞
j−p
yjξ
. (2.257)
Чтобы исходное уравнение проходило тест Пенлеве, в разложении решения (2.257) должны содержаться произвольные постоянные, количество
которых равно порядку уравнения.
2.18. Примеры анализа уравнений методом возмущений
Пенлеве
Рассмотрим применение метода возмущений Пенлеве к исследованию
уравнения (2.246). Решение этого уравнения, вообще говоря, может быть
найдено, если сделать замену
ϕ−1. (2.258)
y = ϕ
z
При этом исходное уравнение приводится к линейному
ϕ
=0. (2.259)
zzz
Общее решение уравнения (2.246) имеет вид
y =
1
z −a
+
1
, (2.260)
z −b
где a и b — произвольные постоянные.
Применим алгоритм Конта – Форди – Пикеринга для анализа уравнения
(2.246) на свойство Пенлеве [130].
При исследовании первого семейства решений получаем индексы Фук-
= −1,j2=1. Подставляя
са j
1
−1
получаем: a
y = x
— произвольная постоянная, a2= −a
1
+ a1+ a2x + ..., x = z −z0, (2.261)
2
ит.д.
1
126 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Применяя алгоритм Ковалевской для исследования семейства решений
с отрицательными индексами, получим
−1
y =2x
+ a1+ a2x + .... (2.262)
Коэффициенты a
и т.д. последовательно находятся. Однако они не
1,a2
приводят к второй произвольной постоянной в решении.
Применяя алгоритм Конта — Форди – Пикеринга, используем разложение решения уравнения (2.246) в виде:
−1
y =2x
+ εu(x)+ε2v(x)+ε3w(x)+.... (2.263)
Подставляя (2.263) в исходное уравнение и приравнивая выражения
при одинаковых степенях ε нулю, получим цепочку уравнений:
+6x−1ux+6x−2u =0, (2.264)
u
xx
+6x−1vx+6x−2v = −3uxu − 6x−1u2, (2.265)
v
xx
w
+6x−1wx+6x−2w = − (u3+3uvx+3vux+12x−1uv). (2.266)
xx
Полагая
u =
u
u
0
1
+
3
2
x
x
в уравнении (2.264), получим, что оно удовлетворяется.
Подставляя
v
v
0
1
v(x)=
+
5
x
4
x
в уравнение (2.265) и принимая во внимание (2.267), находим
3
v
u
=
1
0u1v0
2
1
2
u
=
. (2.269)
0
2
(2.267)
(2.268)
Полагая
в уравнении (2.266), имеем:
w
w(x)=
=
1
5
2
u
u1w0=
0
4
w
w
0
1
+
7
x
6
x
1
3
u
. (2.271)
0
4
(2.270)
2.18. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА МЕТОДОМ ВОЗМУЩЕНИЙ 127
Результаты вычислений позволяют написать разложение решения исходного уравнения в виде:
y(x)=
u
2
+ ε
x
u
0
1
+
3
2
x
x
+ ε
2
u
0
2
2x
+
5
3u
2x
0u1
4
+ ε
3
u
0
3
4x
+
7
5u
4x
2
u
1
0
+ ....
6
(2.272)
Из (2.272) следует, что решение имеет две произвольные постоянные
соответствующие отрицательным индексам Фукса. Приближённое решение
(2.272) может быть просуммировано [130] и в результате находится общее
решение уравнения (2.246).
Рассмотрим еще пример исследования методом возмущений Пенлеве
уравнения [130]
+4yyz+2y3=0. (2.273)
y
zz
Применение метода Ковалевской к уравнению (2.273) дает
(0)
= x−1,x= z − z0. (2.274)
y
Решение уравнения (2.273) имеет индексы Фукса j
Поскольку коэффициент a
не произвольный, то можно ожидать, что урав-
0
= −1,j2=0.
1
нение не является точно решаемым. Однако проведем дополнительное исследование, используя метод возмущения Пенлеве. Подставляя
−1
y = x
+ εu(x)+ε2v(x)+... (2.275)
в уравнение (2.273) и приравнивая выражения при различных степенях ε
нулю, получим цепочку уравнений:
u
+4x−1ux+2x−2u =0, (2.276)
xx
+4x−1vx+2x−2v = −4uxu − 6x−1u2. (2.277)
v
xx
Уравнение (2.276) имеет частное решение
x−1, (2.278)
u = u
0
где u
— произвольная постоянная. Из (2.277) с учётом (2.278) имеем
0
v
+4x−1vx+2x−2v = −2x−3u
xx
2
. (2.279)
0
Делая в уравнении (2.279) замену
v(x)=u
2
x−2ϕ (x) ,
0
128 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
приходим к уравнению:
+2x−1=0. (2.280)
ϕ
xx
Откуда находим решение:
ϕ (x)=−2ln xdx. (2.281)
Таким образом, решение уравнения (2.273) имеет критические подвижные особые точки логарифмического типа и, следовательно, не имеет свойства Пенлеве.
2.19. Тест Пенлеве для системы уравнений
Хенона-Хейлеса
Основу модели Хенона – Хейлеса составляет система уравнений в виде [169]:
= −x −2δxy,
x
tt
(2.282)
= −βy + γy2− δx2.
y
tt
Проанализируем эту систему уравнений на свойство Пенлеве [116].
Полагая
x = x
(t − t0)p,y= y0(t − t0)
0
и подставляя (2.283) в ведущие члены (2.282), имеем:
r
(2.283)
p (p − 1) x
r (r − 1) y
(t − t0)
0
(t − t0)
0
r−2
p−2
2
= γy
(t − t0)2r− δx
0
= −2δx0y0(t − t0)
p+r
, (2.284)
2
(t − t0)2p. (2.285)
0
Предполагая равенство степеней в (2.284) и (2.285), получаем два возможных случая:
1/2
1/2
−1
,x0−
,λ= δ/γ,
1) p = −2,x
r = − 2,y
2) p
1
±
=
±
2
= ±(3/δ)2+λ
0
= −3/δ ;
0
1
(1 − 48λ)
2
r = − 2,y0=6/γ.
(2.286)
(2.287)
2.19. ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ ХЕНОНА-ХЕЙЛЕСА 129
Наименьшая степень в (2.285) равна −4, поэтому степень (t − t0) во
втором слагаемом правой части (2.285) должна быть больше чем −4.Это
ведет во втором случае к одному семейству решений при λ>−1/2.
Система уравнений (2.282) может пройти тест Пенлеве, если степени
1
p и r в (2.283) целые. Это возможно при λ = −
1
, −
, −1, −
6
2
квадратный корень в (2.287) извлекается. В случае λ>1/48 корни p
5
, ...,когда
3
в
±
(2.287) становятся комплексными и система уравнений (2.282) не проходит
тест Пенлеве. Это соответствует тому, что стандартная система уравнений
Хенона – Хейлеса не является точно решаемой.
Для поиска индексов Фукса в первом случае подставляем выражения
x = ±(3/δ)2+λ
1/2
−1
(t − t0)−2+ xj(t − t0)
j−2
, (2.288)
y = −(3/δ)(t − t
)−2+ yj(t − t0)
0
j−2
(2.289)
в ведущие члены уравнений (2.282), имеющие вид
¨x = −2δxy, (2.290)
2
¨y = −δx
Приравнивая выражения при первых степенях x
+ γy2. (2.291)
и yjнулю, получаем
j
систему уравнений, из которой находится уравнение для индексов Фукса
(3 − j)(2− j) − 6 ± 6(2+1/λ)
±6(2+1/λ)
1/2
(3 − j)(2− j)+6/λ
1/2
=0. (2.292)
Полагая θ =(3−j)(2−j) в (2.292), имеем решения:
θ =12,θ= −6(1+1/λ) . (2.293)
Принимая во внимание (2.293), находим индексы Фукса в виде:
= −1,j2=6, (2.294)
j
1
3, 4
5
±
=
[1 − 24 (1 + 1/λ)]
2
2
j
1
При λ>0 иприλ<−24/23 из (2.295) следует, что корни j
1/2
. (2.295)
и j4—
3
комплексные, и, следовательно, система уравнений (2.282) не проходит тест
Пенлеве.
130 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Подставляя выражения, аналогичные (2.288) и (2.289), в ведущие члены
системы уравнений (2.282)
¨x = −2δxy,
¨y = γy
2
,
(2.296)
получаем индексы Фукса для второго случая в виде
j
= −1,j2=0,j3=6,j4= ∓(1 −48λ)
1
Вслучаеλ>1/48 корень j
является комплексным и система уравне-
4
1/2
. (2.297)
ний не проходит тест Пенлеве. При −1/2 <λ<1/48 решения могут иметь
четыре произвольных коэффициента. При этом p и j
=(1− 48λ)
4
1/2
—
действительные. Если λ =0, то система уравнений (2.282) является точно
решаемой, поскольку каждое из уравнений решается отдельно.
Система уравнений (2.282) может пройти тест Пенлеве, если p, r
в (2.283) и индексы Фукса (2.295) и (2.297) — целые.
Это возможно для следующих значений λ:
1
λ = −
1
, −
, −1.
6
2
Анализ произвольных постоянных при λ = −1 показал, что система
уравнений (2.282) проходит тест Пенлеве при β =1.
Вслучаеλ = −1/2 значение x
в (2.283) становится равным нулю.
0
Поскольку индексы Фукса имеют для первого случая вид: −1, 0, 5, 6,то
свойства Пенлеве в этом случае нет.
При λ = −1/6 целые индексы Фукса определяются формулами (2.295)
и (2.297). Проверка произвольных постоянных для разложений каждого семейства решений показала, что система уравнений (2.282) при этом условии
проходит тест Пенлеве [116].
Интересному случаю соответствует значение λ = −1/16, когда наименьшие степени в (2.283) имеют вид
−1/2
t
x = x
,y= y0t−2. (2.298)
0
Индексы Фукса при этом целые
j = −1, 0, 2, 6
и дают четыре произвольных коэффициента в разложении решений. Это
значение λ также соответствует точно решаемому случаю модели Хенона–
Хейлеса при β =16.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]