Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
2.3. УРАВНЕНИЯ БЕЗ КРИТИЧЕСКИХ ПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 81
но среди решений таких уравнений не нашли новых функций. Действительно, среди всех нелинейных уравнений вида
= F (y, z) , (2.35)
y
z
где F — рациональная функция от y и аналитическая по z,естьлишьодно уравнение Риккати (2.29) с решениями, не имеющими критических подвижных особых точек. Однако, это уравнение преобразуется к линейному
уравнению (2.34) и, следовательно, не приводит к новым функциям.
Когда степень производной в дифференциальном уравнении больше
единицы, то как было показано в работах Брио и Буке, в решениях уравнений первого порядка появляется эллиптическая функция Вейерштрасса.
Канонические уравнения первого порядка с биномиальными правыми
частями и с решениями, не имеющими критических подвижных особых
точек, имеют вид [130]:
n
=(y − a)
y
z
n+1
(y − b)
n−1
,n 2,
y − b
y − a
b − a
=
n
(z −z
)
0
n
; (2.36)
2
y
=(y −a)2(y − b)(y −c) ,
z
2
y
=(y −a)(y −b)(y −c)(y −d) ,
z
1
y − a
= Ach
y −a
−2
1
= A℘(z − z
[B (z −z0)] + C; (2.37)
0,g2,g3
)+B;
(2.38)
3
y
=[(y − a)(y −b)(y −c)]2,
z
4
y
=(y − a)3(y − b)3(y − c)2,
z
1
y −a
1
y − c
= A℘
−
a − c
1
(z −z0, 0,g3)+B; (2.39)
1
= A℘
2
(z −z0,g2, 0) ;
(2.40)
6
y
=(y − a)5(y − b)4(y − c)3,
z
В уравнениях и решениях (2.36)–(2.41) a, b,
A, B, C, g
и g3— постоянные, которые являются выражениями от a, b,
2
1
y − c
= A℘
3
(z −z0, 0,g3)+B. (2.41)
и d — комплексные числа;
и d. Уравнения (2.36) – (2.41) с решениями, не имеющими критических
подвижных особых точек, относятся к уравнениям вида P (y
,y)=0,ко-
z
торые впервые изучались Брио и Буке, и поэтому они часто называются
уравнениями Брио и Буке [14, 19].
82 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
2.4. Задача Ковалевской о волчке
Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (задача о волчке) является одной из самых замечательных задач теоретической механики, поскольку волчок является основной деталью многих
приборов и механизмов в технике [7–9, 15, 40–42].
В 50-х годах XVIII столетия Л. Эйлер вывел уравнения движения волчка, которые теперь носят его имя, и нашел простейший случай, для которого
задача может быть решена в аналитическом виде. Эйлер рассмотрел случай,
при котором центр тяжести твердого тела совпадает с точкой опоры. Спустя
несколько десятилетий Пуансо предложил геометрическое толкование этого
случая, а К. Якоби нашел аналитические решения, полученные с помощью
разработанной им теории эллиптических функций.
В 1788 г. Ж.Л. Лагранж установил еще один случай (более сложный,
чем у Эйлера, поскольку центр тяжести твердого тела расположен выше
точки опоры), для которого решение задачи о волчке находится также в
аналитическом виде.
Таким образом, в трудах выдающихся ученых Эйлера и Лагранжа были заложены основы теории движения твердого тела около неподвижной
точки. Многие ученые XIX столетия пытались продвинуться дальше в решении задачи о волчке. Однако все попытки получить новые решения не
имели успеха на протяжении почти ста лет. «Математическая русалка» (по
выражению С.В. Ковалевской) оказалась очень трудной задачей.
Система уравнений Эйлера для описания вращения твердого тела в
поле сил тяжести состоит из шести уравнений, которые имеют вид [7, 15,
40,41]:
dp
A
=(B −C) qr + y
dt
dq
B
=(C −A) rp + z
dt
dr
=(A − B) pq + x
C
dt
dα
dt
dβ
dt
dγ
dt
= rβ − qγ,
= pγ − rα,
= qα − pβ
γ −z0β,
0
α − x0γ,
0
β −y0α,
0
(2.42)
2.4. ЗАДАЧА КОВАЛЕВСКОЙ О ВОЛЧКЕ 83
В этой системе переменные p, q и r являются составляющими вектора
угловой скорости тела; α, β и γ — направляющие косинусы неподвижной
оси относительно трехподвижных осей x, y и z; A, B и C — положительные
постоянные, равные моментам инерции деленным на вес твердого тела;
и z0— координаты центра тяжести тела.
x
0,y0
Решение задачи о вращении твердого тела вокруг оси сводится к решению системы уравнений (2.42) при начальных условиях p (t = t
q (t = t
= γ
)=q0, r (t = t0)=r0, α (t = t0)=α0, β (t = t0)=β0, γ (t = t0)=
0
и при заданных значениях параметров A, B, C, x0,y0и z0.
0
)=p0,
0
Система уравнений (2.42) имеет три первых интеграла, получаемых из
механических и геометрических соображений
2
+ Bq2+ Cr2− 2(x0α + y0β + z0γ)=C1, (2.43)
Ap
Apα + Bqβ + Crγ = C
2
+ β2+ γ2=1. (2.45)
α
, (2.44)
2
Для решения системы из шести уравнений в общем случае необходимо найти шесть первых интервалов. Однако система уравнений (2.42)
является автономной и ее можно свести к пяти уравнениям. Кроме того,
для зависимых переменных выполняется соотношение
∂
∂p
dp
dt
dq
∂
+
∂q
dt
∂
∂r
dr
dt
+
∂
∂α
dα
dt
+
dβ
∂
+
∂β
dt
dγ
∂
+
∂γ
dt
=0,
(2.46)
которое позволяет при известных четырех первых интегралах найти еще
один первый интеграл путем решения некоторого уравнения в полных дифференциалах. Таким образом, для решения системы уравнений (2.42) достаточно найти дополнительный к (2.43)–(2.45) первый интеграл.
Поскольку математики неоднократно возвращались к решению задачи
о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, то Парижская академия наук учредила специальную премию Бордена, которую предполагалось
выдать за существенное продвижение в решении задачи о волчке. В 1888 году на премию Бордена была представлена работа, которая вызвала восторг
членов конкурсной комиссии, единодушно решившей выдать автору работы премию, увеличенную с трех до пяти тысяч франков. Автором этого
замечательного исследования была С.В. Ковалевская.
При решении задачи о волчке Ковалевская впервые использовала идеи
теории функций комплексной переменной и сформулировала оригинальную постановку задачи, характерную для аналитической теории дифференциальных уравнений. Ковалевская заметила, что во всех известных до нее
84 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
случаях (Эйлера и Лагранжа) решения задачи о движении твердого тела
около неподвижной точки представляют собой однозначные функции, мероморфные на всей комплексной плоскости переменной t. Поэтому она
поставила следующую задачу: найти все случаи, когда решения уравнений
движения твердого тела вокруг неподвижной точки представляют собой
однозначные, мероморфные функции на всей плоскости переменной t.
Реализация этой идеи привела Ковалевскую к замечательному результату. Оказалось, что решения задачи о вращении твердого тела являются
мероморфными функциями от переменной t лишь при четырех следующих
ограничениях на параметры:
1) x0= y0= z0=0, (2.47)
когда дополнительный (четвертый) первый интеграл имеет вид
2
+ B2q2+ C2r2= C4;
Ap
2) x
при дополнительном первом интеграле в виде: r = C
= y0=0,A= B, (2.48)
0
;
4
3) A = B = C, (2.49)
когда дополнительный интеграл равен:
x
p + y0q + z0r = C4;
0
4) z
=0,A= B =2C, (2.50)
0
при дополнительном первом интеграле в виде
2
p
− q2−
αx
C
2
0
+2pq −
βx
2
0
= C4.
C
Решение задачи о волчке в первом и втором случаях было получено
в работах Эйлера и Лагранжа. Условия (2.49) соответствуют кинетической
симметрии, при которой эллипсоид инерции вырождается в сферу и является частным случаем (2.48). Четвертый случай (2.50) ранее был не известен
и оказался новым. Таким образом, рассматривая систему уравнений (2.42)
как дифференциальные уравнения на комплексной плоскости, Ковалевской
удалось найти совершенно новый случай аналитического решения задачи о
движении твердого тела вокруг неподвижной точки.
2.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВОЙСТВА ПЕНЛЕВЕ 85
Исследуя задачу о волчке, Ковалевская искала решения системы уравнений (2.42), не имеющие критических подвижных особых точек, но допускала существование простых (не критических) полюсов. Приведенные
выше четыре условия на параметры задачи, как раз и соответствуют тому,
что решения задачи не имеют критических подвижных особых точек. Решение задачи о вращении твердого тела для этих случаев удалось определить
через известные функции.
2.5. Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве
Из работы Ковалевской следует, что отсутствие критических подвижных точек в решениях задачи о вращении твердого тела позволило ей построить решения в аналитическом виде. Открытие этого факта вдохновило
многих исследователей на изучение нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В 1887 г. Пикар предложил исследовать класс уравнений второго порядка
= R(yz,y, z), (2.51)
y
zz
где R — рациональная функция от y
и найти среди (2.51) уравнения с решениями не имеющими критических
подвижных особых точек.
Реализация этой идеи принадлежит П. Пенлеве и его ученикам [232–
234]. Пенлеве по существу решал две задачи. Первая задача заключалась
в нахождении всех канонических уравнений второго порядка вида (2.51) с
решениями, не имеющими критических подвижных особых точек. Вторая
задача состояла в том, чтобы среди полученных уравнений найти такие,
решения которых определяют новые, ранее не изученные функции.
Для решения этих задач Пенлеве разработал принципиально новый метод, существенно отличающийся от методов Фукса и Ковалевской, позволяющий находить необходимые условия отсутствия критических подвижных
особых точек в решениях уравнений.
В результате многолетних исследований школе Пенлеве удалось найти 50 канонических уравнений вида (2.51) с решениями, не имеющими
критических подвижных особых точек. При этом решения 44-х уравнений
из этих 50-ти выражались через известные функции (элементарные и эллиптические), а решения шести уравнений определяли новые специальные
функции, которые теперь называются трансцендентами Пенлеве.
Определение 2.9. Уравнения, решения которых определяют трансценденты Пенлеве, называются уравнениями Пенлеве.
и y и аналитическая функция от z
z
86 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Они имеют вид [1,2, 14,19, 78,98,130, 181]:
) yzz=6y2+ z, (2.52)
(P
1
(P
) yzz=2y3+ zy + α, (2.53)
2
(P
) yzz=
5
(P
(P
(P
4
) yzz=
6
y (y −1) (y − z)
+
z2(z −1)
) yzz=
3
) yzz=
1
+
2y
y − 1
1
1
+
y
2
1
2
y
2
y
z
2y
+ δ
1
y −1
2
z
−
y
3
+
y
2
2
y
−
z
y (y +1)
+
α + β
y
z
z
3
y
z
y − 1
y − z
y
2
+ β
αy
+
z
+ γy
3
+
+4zy2+2z2− αy +
z
+
(y − 1)
2
z
αy+
β
y
2
,
1
2
−
y
z
+ γ
z −1
(y − 1)
z
2
1
1
+
z
z −1
z (z −1)
+ δ
2
(y − z)
δ
, (2.54)
y
β
, (2.55)
y
y
+ γ
+
z
(2.56)
1
+
y − z
y
z
.
2
+
(2.57)
Пять уравнений Пенлеве зависят от комплексных параметров α, β, γ
и δ, при этом третье уравнение Пенлеве (P
) зависит лишь от двух произ-
3
вольных комплексных параметров α и β,посколькудляγ и δ есть ограничение: γ (γ − 1) = 0 и δ (δ −1) = 0. Для пятого уравнения Пенлеве (P
5
имеется аналогичное ограничение: δ (δ −1) = 0.
В действительности, самому Пенлеве принадлежит открытие лишь
трех первых уравнений (P
1,P2,P3
), а остальные три уравнения (P4,P5,P6)
нашел его ученик Гамбье [130].
Если допустить, что зависимость R от y в (2.51) является алгебраической, то список уравнений с решениями, не имеющими критических
подвижных особых точек, расширяется до 53-х, но количество уравнений,
определяющих новые функции, при этом не увеличивается. Список этих
53-х уравнений второго порядка можно найти в книге [3].
)
2.6. ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕНЛЕВЕ 87
Из работ Пенлеве и его учеников по классификации уравнений второго порядка (2.51) следует, что отсутствие критических подвижных точек
в решениях уравнений является признаком существования решений. При
этом оказалось, что решения уравнений Пенлеве (2.52)–(2.57) не являются классическими функциями в общепринятом смысле, поскольку, как мы
увидим ниже, они являются существенно трансцендентными функциями
относительно постоянных интегрирования.
Из сказанного следует, что отсутствие критических подвижных особых
точек является очень важным свойством дифференциального уравнения.
Дадим определение.
Определение 2.10. Будем говорить, что обыкновенное дифференциальное уравнение обладает свойством Пенлеве, если общее решение этого
уравнения не имеет критических подвижных особых точек.
Определение 2.11. Дифференциальные уравнения, имеющие свойство
Пенлеве, называются уравнениями типа Пенлеве.
Одной из главных задач аналитической теории дифференциальных
уравнений является анализ исходного дифференциального уравнения на
свойство Пенлеве. Если исследуемое дифференциальное уравнение имеет
свойство Пенлеве, то можно надеяться найти решение этого дифференциального уравнения [139,140, 187, 188]. Если такого свойства нет, то проводимый анализ может подсказать замену (как мы увидим далее), с помощью
которой уравнение может быть приведено к уравнению, имеющему свойство Пенлеве. Но если свойства Пенлеве нет, и соответствующая замена,
с помощью которой исходное дифференциальное уравнение приводится к
уравнению типа Пенлеве, не находится, то решение исходного дифференциального уравнения в аналитическом виде едва ли может быть найдено.
2.6. Второе уравнение Пенлеве для описания
электрического поля в полупроводниковом диоде
Впервые уравнения (2.52)–(2.57) были получены Пенлеве и его учениками при классификации нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка, как уравнения, не имеющие решений с критическими подвижными особыми точками. Однако в последние годы эти
уравнения появились при описании многих явлений в физике.
Среди первых моделей, где возникло уравнение Пенлеве (P
двумерная модель Изинга для корреляционной функции спинов в статистической физике, предложенная Барухом, Маккоем и Ву [130]. Второй,
),была
3
88 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
довольно обширной областью применения трансцендент Пенлеве, являются частные решения многих нелинейных математических моделей, поскольку используя автомодельные переменные из целого ряда точно решаемых уравнений в частных производных (уравнения Кортевега – де Вриза, sin-Гордона, Буссинеска и др.) можно прийти к уравнениям Пенлеве [1, 2, 20, 78, 108, 213, 227]. Уравнения Пенлеве встречаются также при
описании явлений в квантовой гравитации [110,166], в плазме [107], общей
теории относительности [98], нелинейной оптике [78] и т.д.
Покажем, как возникает второе уравнение Пенлеве при описании электрического поля в полупроводниковом диоде [209].
Известно, что динамика электронов и дырок в полупроводниковом диоде описывается следующей системой феноменологических уравнений:
∂2ϕ
n − p = k
2
, (2.58)
2
∂x
− n
+ p
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂x
, (2.59)
= I
n
= I
, (2.60)
p
∂n
∂x
∂p
∂x
где n и p — концентрации электронов и дырок в полупроводниковом диоде
соответственно, ϕ — потенциал электрического поля, k — постоянная Больцмана, I
электронов), I
μ
p
= −jn/μn(jn— плотность тока электронов, μn—подвижность
n
= −jp/μp(jp— плотность тока, создаваемого дырками,
p
— подвижность дырок).
Для полного описания концентрации электронов и дырок в полупроводнике к (2.58)–(2.60) следует добавить два уравнения сохранения концентрации электронов и дырок в диоде, имеющих вид
∂j
∂n
∂t
∂p
∂t
n
+
+
∂x
∂j
∂x
= g − R
p
= g − R
(n, p), (2.61)
1
(n, p). (2.62)
2
Здесь g — скорость фотогенерации электронно-дырочных пар в диоде;
(n, p) и R2(n, p) — соответствующие скорости рекомбинаций. При на-
R
1
писании системы уравнений (2.58)–(2.62) использованы безразмерные переменные, которые общеприняты при численном решении соответствующих
задач.
2.6. ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕНЛЕВЕ 89
Проблема численного моделирования полупроводникового диода связана с малым параметром k. В частности, для кремниевого диода типичных
размеров параметр k имеет величину ∼ 10
−3
÷ 10−8.
Предположим, что токи электронов и дырок зависят лишь от t,что
характерно для коротких диодов, но n и p зависят от x и t.
Вычитая (2.60) из уравнения (2.59) и учитывая (2.58), имеем
∂3ϕ
2
k
∂x
3
− (n + p)
∂ϕ
∂x
Обозначая
∂ϕ
= −E,
∂x
из (2.63) получим
n + p =
1
E
− Ip+ k2E
I
n
xx
Из (2.58) и (2.64) находим
1
2E
1
2E
2
Exx+ In− I
k
2
Exx+ In− I
k
n =
p =
Подставляя (2.65) в (2.59), получаем уравнение
∂
∂x
k
1
E
2
Exx−
2
k
Exx+ In− I
1
2E3
k
2
− (I
p
n
− (In+ Ip) xE + In− Ip=2c1E, (2.68)
= I
− Ip. (2.63)
n
,E
1
−
p
2
1
+
p
2
k
2
∂
E
≡
xx
2
k
Ex, (2.65)
2
Ex. (2.66)
. (2.64)
2
∂x
+ Ip) − k2EEx=0, (2.67)
где c
— постоянная интегрирования, которую можно положить равной ну-
1
лю.
Используя переменные в (2.68)
E =2y
In+ I
1
−
2
k
3
,x= z
p
k
In+ I
1
3
2
,α=
p
− I
I
p
2(Ip+ In)
n
, (2.69)
90 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
получаем второе уравнение Пенлеве
y
=2y3+ zy + α. (2.70)
zz
Система уравнений (2.58) - (2.60) может быть использована для построения асимптотического решения уравнения (2.70) при |z|→∞. Полагая
p = p
+ k2p1+ k4p2+ ...,
0
n = n
E = E
+ k2n1+ k4n2+ ..., (2.71)
0
+ k2E1+ k4E2+ ...,
0
имеем после приравнивания выражений при одинаковых степенях k:
0
при k
:
− n0=0,n0x+ n0E0= In,p0x− p0E0= Ip; (2.72)
p
0
2
:
при k
p
− n1= E0x,n1x+ n1E0+ n0E1=0,p1x− p1E0− p0E1=0; (2.73)
1
4
при k
:
p
− n2= E1x,n2x+ n2E0+ n1E1+ n0E2=0,
2
(2.74)
p
− p2E0− p1E1− p0E2=0.
2x
Из (2.72) находим
2(I
− Ip)
n
0
= p0=
1
(I
+ Ip) x, E0=
n
2
n
(In+ Ip) x
. (2.75)
Учитывая (2.73) и (2.74), имеем
E
1
2E
0xx
=
2(n0+ p0)
− E
3
0
,E
=
2
2E
1xx
2(n0+ p0)
Используя переменные (2.69) и формулу (2.71) для
+ E
2
E
1
0
. (2.76)
, находим асим-
птотическое решение второго уравнения Пенлеве в виде [19]:
2
2αα
α
∼
y
−
+
=
z
− 1
+
4
z
4αα
2
− 1α2+10
7
z
+ ... (2.77)
Таким образом, система уравнений (2.58)–(2.60) не только эквивалентна второму уравнению Пенлеве, но и может быть использована при построении асимптотического решения этого уравнения при z →∞.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]