Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
ПРЕДИСЛОВИЕ 11
свойства первого и второго уравнений Пенлеве, широко распространенных
при описании явлений в физике.
Третья глава посвящена обсуждению свойств точно решаемых нелинейных уравнений в частных производных. Рассмотрены такие характерные
свойства, как законы сохранения, преобразования Бэклунда и их применение. Предложен ряд широко известных семейств точно решаемых уравнений в частных производных.
В этой же главе обсуждается применение аналитической теории для
нелинейных уравнений в частных производных. Эта часть аналитической
теории получила развитие лишь только в последние два десятилетия. Необходимость поиска критерия «интегрируемости» нелинейных математических моделей вернула к жизни идеи, которые ранее применялись к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В результате были получены
новые методы построения аналитических решений нелинейной математической физики. Идея этих методов состоит в разложении исходного уравнения
в ряд по степеням новой функции и дальнейшего использования нескольких членов этого разложения. Эта процедура приводит к преобразованиям,
которые особенно эффективны при построении решений нелинейных уравнений, что иллюстрируется многочисленными примерами в четвертой главе
данной книги.
В пятой главе рассмотрены нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого и более высокого порядка. Найдены уравнения, решения которых являются аналитическими функциями во всей области их существования. Особое внимание уделено высшим аналогам уравнений Пенлеве и изучению их свойств.
В шестой главе рассмотрены метод обратной задачи рассеяния и метод Хироты для построения решений нелинейных уравнений в частных
производных. Исторически эти методы предложены раньше и могут изучаться вне связи с предшествующими разделами. Однако преобразования,
используемые в этих методах, в аналитической теории дифференциальных
уравнений находятся естественным путем и поэтому метод обратной задачи
рассеяния и метод Хироты примыкают к рассматриваемой теме.
Предлагаемая книга написана на основе лекций, читаемых автором в
Московском инженерно-физическом институте (государственном университете).
Автор искренне надеется, что эта книга будет полезна широкому кругу
читателей. Тот, кто интересуется выводом нелинейных математических моделей, найдет в первой главе нелинейные уравнения в частных производных
и нелинейные динамические системы, интенсивно изучаемые в последние
десятилетия.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ
Студенты, интересующиеся теорией солитонов, могут прочесть первую, третью и шестую главы, чтобы получить представление о нелинейной
математической физике.
Математики и физики, желающие узнать об уравнениях типа Пенлеве, а также о связи этих уравнений с теорией солитонов и нелинейными
уравнениями в частных производных, могут изучить вторую и третью главы. Эти главы могут рассматриваться, как элементарное введение в теорию
уравнений Пенлеве, позволяющие понять, что такое свойство Пенлеве и какая польза может быть от того, что дифференциальное уравнение имеет это
свойство.
Читатель, интересующийся методами построения частных решений,
как нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, так и нелинейных уравнений в частных производных, найдет ряд рецептов в четвертой
главе.
Особое место в книге занимает пятая глава, которая выходит за рамки
введения в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных уравнений. Эта глава посвящена высшим аналогам уравнений Пенлеве, направление, которое интенсивно развивается лишь в последние несколько лет. Она
будет полезна читателям, интересующимся самыми последними работами
в теории уравнений Пенлеве. Задачи и упражнения этой главы являются
нерешенными задачами данного направления и могут быть использованы
в качестве тем для исследования.
Рассматриваемые в книге вопросы автором неоднократно обсуждались
с профессорами В.И. Громаком, Р. Контом, М. Крускалом, М. Мусет и Э. Пикерингом. Всем им выражаю свою искреннюю признательность.
Хочу выразить благодарность своим коллегам по кафедре прикладной
математики за многочисленные обсуждения проблем, затронутых в книге.
Особая благодарность проф. Д.А. Василькову и доценту А.П. Карташеву,
прочитавшим рукопись и сделавшим много замечаний, способствовавших
улучшению книги; также признателен Н.В. Малышевой за нелегкий труд
по набору текста.
Автор
ГЛАВА 1
НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
1.1. Уравнение Кортевега – де Вриза для описания волн
на воде
Явление распространения волн на поверхности воды издавна привлекало к себе внимание исследователей. Это пример волн, который каждый
мог наблюдать еще в детстве и который обычно демонстрируется в рамках
школьного курса физики. Однако, это довольно сложный тип волн. По выражению Ричарда Фейнмана «более неудачного примера для демонстрации
волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни
на свет; здесь собрались все трудности, которые могут быть в волнах» [93].
Если рассмотреть бассейн, наполненный водой, и на его поверхности
создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости,
которые находятся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие
этого явления с течением времени и приведет к распространению волны
на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по окружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы являются смесью тех и других.
С глубиной, радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьшаются до тех пор, пока они не станут равными нулю [57, 66].
Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее амплитуды. Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного падения умноженному на сумму амплитуды волны и глубины бассейна. Причиной возникновения таких волн является сила тяжести.
Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна
14 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
корню квадратному из частного, в числителе которого стоит поверхностное
натяжение, а в знаменателе — произведение длины волны на плотность воды. Для волн средней длины волны скорость их распространения зависит
от всех перечисленных выше параметров задачи. Из сказанного ясно, что
волны на воде и в самом деле довольно сложное явление.
Любопытную волну на воде наблюдал шотландский ученый Джон
Скотт Рассел в 1834 году. Рассел занимался изучением пропускной способности канала Юнион, который начинается у Эдинбурга и соединяет через
канал Форз – Клайд два берега Шотландии. Обратимся к замечательному
описанию этого наблюдения самим Расселом [77, 85,86, 94].
«Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды,
которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она
собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая
форму большого одиночного возвышения, т. е. округлого, гладкого и четко
выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала,
нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я поскакал за ним
верхом, и, когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью
приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута
до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной
или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 г.
мне впервые довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением,
которое я назвал волной трансляции; теперь это название общепринято.
С тех пор я обнаружил, что такие волны играют важную роль почти во
всех случаях, когда жидкость оказывает сопротивление движению, и пришел к убеждению, что к тому же типу относятся огромные движущиеся
повышения уровня моря, которые с регулярностью обращения небесного
тела входят в наши реки и катятся вдоль наших побережий.
Для подробного изучения этого явления, с целью точно установить
его природу и управляющие им законы, я придумал другие способы его
вызывать, чем только что описанный, и применил разнообразные методы
наблюдения. Описание этих методов, надеюсь, поможет мне передать истинное представление о природе этой волны».
Джон Рассел на протяжении всей своей жизни неоднократно возвращался к наблюдению за уединенной волной. Он верил, что открытая им
волна играет очень важную роль во многих явлениях в природе. Им были
установлены некоторые свойства этой волны. Во-первых, он заметил, что
она движется с постоянной скоростью и без изменения формы. Во-вторых,
1.1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА – ДЕ ВРИЗА 15
он нашел зависимость скорости этой волны от глубины канала h ивысоты
волны a:
C =
g (a + h),
где g — ускорение свободного падения; причем a<h. В-третьих, Рассел
обнаружил, что возможен распад одной большой волны на несколько волн.
В-четвертых, он отмечал, что в экспериментах наблюдаются только волны
возвышения. Известно также, что он заметил, что открытые им уединенные
волны проходят друг через друга без каких-либо изменений, но на последнее
очень важное свойство он не обратил серьезного внимания.
Работа Рассела, которая была опубликована им в 1844 году как «Доклад
о волнах» [242], вызвала осторожную реакцию в среде ученых. В Европейских странах ее не заметили, но в самой Англии на нее обратили внимание
Эйри и Стокс. Эйри подверг критике результаты экспериментов, которые
наблюдал Рассел. Он отметил, что из теории длинных волн на мелкой воде
выводы Рассела не получаются, и утверждал, что длинные волны не могут
сохранять неизменной формы. Он не поверил наблюдениям Рассела.
Один из основателей современной гидродинамики Джордж Габриэль
Стокс также не согласился с результатами наблюдений уединенной волны, полученными Расселом и критически отнесся к факту существования
уединенных волн.
После столь негативного отношения к уединенной волне, долгое время о ней никто не вспоминал, кроме самого Рассела. Даже приближаясь
к старости он писал [86]: «Это самое прекрасное и необычайное явление;
день, когда я впервые увидел его, был лучшим днем моей жизни. Никому
никогда не посчастливилось наблюдать его раньше, или, во всяком случае,
понять, что оно значит. Теперь оно известно как уединенная волна трансляции. Никто прежде и вообразить не мог, что уединенная волна возможна.
Когда я описал ее сэру Джону Гершелю, он сказал: «Это просто вырезанная
половина обычной волны». Но это не так, поскольку обычные волны идут
отчасти ниже поверхности воды; кроме того ее форма совсем иная. Это не
половина волны, а, несомненно, вся волна целиком, с тем отличием, что
волна как целое не находится попеременно то ниже, то выше поверхности,
а всегда выше ее. Этого вполне достаточно, чтобы такой холм воды не стоял
на месте, а двигался».
Определенную ясность в наблюдения Рассела внесли Буссинеск
(1872 г.) и Рэлей (1876 г.), которые независимо друг от друга нашли формулу
для возвышения свободной поверхности на воде в виде квадрата гиперболического секанса и вычислили скорость распространения уединенной волны
на воде.
16 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями, которые подтвердили его результаты.
Окончательная ясность в проблеме, возникшей после опытов Джона
Рассела по уединенной волне, наступила только после работы датских ученых Кортевега и де Вриза, которые попытались разобраться в существе
дела. Эти ученые, обобщив метод Рэлея, вывели в 1895 году уравнение
для описания одноволнового приближения при распространении волн на
воде [184].
Следуя их работе, рассмотрим распространение малых, но конечных
возмущений на поверхности жидкости. О таких возмущениях обычно говорят как о гравитационных волнах, подчеркивая тем самым, что ответственными за возникновение и распространение этих волн являются гравитационные силы.
Предположим, что плотность жидкости при возмущениях поверхности
не меняется (ρ
38,70]
= const), тогда уравнение непрерывности запишется [1,22,
0
→
u
=0. (1.1)
div
Уравнение движения в поле сил тяжести можно представить в виде:
→
u
∂
+
∂t
→
j
— единичный вектор в направлении против силы тяжести.
где
→
→
u
1
+
ρ
0
∇P = −g
u
, ∇
→
j
, (1.2)
Как правило, при распространении возмущений движение жидкости
можно считать безвихревым, поскольку типичные задачи, возникающие в
теории волн, рассматриваются при первоначально покоящейся жидкости
или в однородном потоке. Известно, что если в начальный момент времени
вихрь
→
ω
=rot
→
u
=0, то и в последующие моменты времени
→
ω
=0[66].
Если ввести потенциал скорости ϕ, определенный выражением
→
u
= gradϕ, (1.3)
то уравнение (1.1) перейдет в уравнение Лапласа:
Δϕ =0. (1.4)
Пользуясь формулой векторного анализа
−→
u × (rot−→u )+(−→u,∇)−→u =
1
2
∇
−→
2
u
,
1.1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА – ДЕ ВРИЗА 17
уравнение (1.2) для безвихревого движения можно привести к виду
→
u
∂t
1
+
2
∂
∇u
∇P
2
+
ρ
→
j
=0, (1.5)
+ g
0
откуда после интегрирования по z, с учетом (1.3), получаем
∂ϕ
∂t
1
+
(∇ϕ)
2
2
+
P − P
ρ
0
0
+ gz =0. (1.6)
Здесь принято, что ось z направлена вверх против ускорения свободного падения (рис. 1.1), зависимость от времени, полученная при интегрировании уравнения (1.5) по z включена в потенциал, P
- давление окружающей
0
атмосферы на поверхность жидкости.
Рис. 1.1. Характеристики плоского возмущения на поверхности жидкости, используемые при выводе уравнения Кортевега – де Вриза (a —амплитудавозмущения,
l — длина волны, h — глубина бассейна при невозмущенной поверхности).
Пусть над поверхностью воды находится воздух и пусть эта поверхность определяется уравнением
f(x, y, z, t)=0. (1.7)
Здесь x, y и z — пространственные координаты, t —время.Поопределению поверхность раздела – это поверхность, которую не пересекают
частицы жидкости [90]. Вследствие этого, компонента скорости жидкости
нормальная к поверхности раздела и нормальная компонента скорости самой поверхности раздела должны совпадать. Обозначим компоненты скорости жидкости в x, y и z направлении: u
,v и u2.
1
Нормальная компонента скорости поверхности раздела равна
f
−
t
2
f
+ f
x
. (1.8)
2
2
+ f
y
z
18 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Нормальная компонента скорости жидкости определяется выражением
u
+ vfy+ u2f
1fx
2
f
+ f
x
y
2
z
. (1.9)
2
+ f
z
Условие равенства (1.8) и (1.9) приводит к уравнению [90]
f
+ u1fx+ vfy+ u2f2=0. (1.10)
t
Пусть поверхность раздела описывается уравнением
z = η(x, y, t)+h, (1.11)
где η(x, y, t) — отклонение от положения равновесия. Тогда
f = h + η(x, y, t) − z. (1.12)
Подставляя (1.12) в (1.10), имеем
η
+ u1ηx+ vηy= u2. (1.13)
t
Для волны, у которой η
=0, условие (1.13) принимает вид
y
η
+ u1ηx= u2. (1.14)
t
Поскольку
где ϕ
(1)
∂ϕ
∂x
,u
2
u
=
1
(1)
(x, z, t) — значение потенциала на поверхности жидкости, то урав-
(1)
∂ϕ
=
, (1.15)
∂z
нение (1.14) может быть представлено через потенциал скорости
(1)
ϕ
z
= ηt+ ηxϕ
(1)
. (1.16)
x
Нелинейное граничное условие (1.14) является кинематическим условием, оно отражает тот факт, что нормальная компонента скорости частиц
жидкости на поверхности совпадает со скоростью самой поверхности. Принимая во внимание динамическое условие на поверхности, которое без учета сил поверхностного натяжения сводится к равенству давлений в жидкости и в атмосфере, из (1.6) получаем еще одно граничное условие
2
∂ϕ
∂t
(1)
+
∇ϕ
(1)
+ gz
=0. (1.17)
2
1
1.1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА – ДЕ ВРИЗА 19
Дифференцируя последнее выражение по x, имеем
∂u
∂t
∂u
1
+ u
1
∂x
∂u
1
+ u
2
+ gη
2
∂x
=0. (1.18)
x
В случае неподвижной границы для решения уравнения Лапласа требуется лишь одно условие, однако, в рассматриваемой задаче положение
самой границы неизвестно, поэтому для описания гравитационных волн
следует принимать во внимание условия (1.14) и (1.18).
Предполагая, что на нижней границе жидкости твердое горизонтальное дно, считаем, что нормальная компонента скорости жидкости на этой
границе равна нулю:
∂ϕ
∂z
=0. (1.19)
z=0
Рассмотрим плоские волны, описываемые уравнением (1.4) с учетом
граничных условий (1.14), (1.18) и (1.19), предполагая, что, во-первых, длина возмущений много больше глубины жидкости (h l), а во-вторых,
амплитуда волны много меньше глубины жидкости (a h).
Эти предположения соответствуют тому, что в задаче рассматриваются
длинные волны на мелкой воде, когда выполняются условия малости двух
параметров [11, 70]
ε =
a
h
1,δ=
h
1. (1.20)
l
Далее эти параметры будут играть важную роль при выводе уравнения
Кортевега – де Вриза.
Поскольку δ 1, то решение уравнения Лапласа
∂
∂x
2
2
∂
ϕ
2
ϕ
+
=0 (1.21)
2
∂z
ищем в виде
∞
ϕ(x, z, t)=
ϕn(x, t)zn,z∈ [0,z1] . (1.22)
n=0
Подставляя (1.22) в (1.21) и приравнивая выражения при одинаковых
степенях z нулю, приходим к рекуррентной формуле
ϕ
+(n +2)(n +1)ϕ
nxx
=0. (1.23)
n+2
20 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Учитывая граничное условие (1.19), находим, что ϕ1=0,приэтомиз
рекуррентной формулы (1.23) следует, что ϕ
=0и все нечетные члены
2k+1
в (1.22) обращаются в нуль.
Теперь (1.22) превращается в
ϕ(x, z, t)=ϕ
(x, t) −
0
2
z
ϕ
0xx
2
4
z
ϕ
+
24
+ ... . (1.24)
0xxxx
Компоненты вектора скорости движения жидкости на свободной поверхности представляются формулами
2
z
(1)
u
= ϕ
1
= ϕ
u
2
x
(1)
= −z1fx+
z
= f −
1
+ ..., (1.25)
f
xx
2
2
z
1
f
+ .... (1.26)
xxx
6
Здесь введено обозначение
(1)
∂ϕ
(x, t)
f(x, t)=
0
. (1.27)
∂x
Введем безразмерные переменные и параметры в приведенных выше
выражениях. Учитывая, что
x = lx
,t=
u
f = εc
l
t,c0=gh, η = aη,
c
0
= εc0u
1
,u2= εδc0u
1
f,z1= h(1 + εη) ,
0
,
2
(1.28)
и подставляя (1.28) в (1.25) и (1.26), получаем, с точностью до первого
порядка малости по ε и δ
2
, следующие выражения (далее штрихи в безраз-
мерных переменных опускаем):
2
2
∂
f
= f −
δ
2
∂f
∂x
, (1.29)
2
∂x
3
2
f
∂
δ
+
. (1.30)
3
6
∂x
u
1
= −(1 + εη)
u
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]