Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Редакционный совет:
А. В. Болсинов
А. В. Борисов
В. В. Козлов
И. С. Мамаев
И. А. Тайманов
Д. В. Трещев
Вышли в свет:
А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Динамика твердого тела
П. И. Голод, А. У. Климык. Математические основы теории симметрии
М. Громов. Гиперболические группы
М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны
Дж.Д.Мур. Лекции об инвариантах Зайберга – Виттена
Дж. Милнор. Голоморфная динамика
И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры
И. Добеши. Десять лекций по вейвлетам
Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. Элементы современной теории
функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения
Э. Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин. Вейвлеты в компьютерной графике
К. Кассел, М. Россо, В. Тураев. Квантовые группы и инварианты узлов
Ж. П. Рамис. Расходящиеся ряды и асимптотические теории
О. В. Богопольский. Введение в теорию групп
А. Д. Морозов. Введение в теорию фракталов
Д. Рюэль. Термодинамический формализм
В. В. Козлов. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы
и бифуркации векторных полей
С. П. Новиков. Топология
А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Современные методы теории интегрируемых систем
Х. В. Брур, Ф. Дюмортье, С. ван Стрин, Ф. Такенс. Структуры в динамике.
Конечномерные детерминированные системы
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский. Интегрируемые системы.
Теоретико-групповой подход
А. С. Холево. Статистическая структура квантовой теории
Я. Песин. Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и
приложения
Р. д е л а Яве. Введение в КАМ-теорию
Ю. П. Соловьев, В. А. Садовничий, Е. Т. Шавгулидзе, В. В. Белокуров. Эллиптические
кривые и современные алгоритмы теории чисел
А. А. Женсыкбаев. Проблемы восстановления операторов
С. В. Матвеев. Лекции по алгебраической топологии
А. Н. Тюрин. Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Теория экстремальных сетей
Н. А. Кудряшов. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
Готовятся к печати:
Д. Бураго, Ю. Бураго, С. Иванов. Курс метрической геометрии
В. П. Маслов. Квантование термодинамики и ультравторичное квантование
Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. Методы качественной
теории в нелинейной динамике
А. И. Шафаревич. Введение в теорию квазиклассического квантования изотропных
многообразий
Н.А. КУДРЯШ ОВ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Издание второе, исправленное и дополненное
МоскваИжевск
2019
УДК 517.9
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-
ваний по проекту №04-01-14103.
Кудряшов Н.А.
Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. —
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019, 360 с.
Книга является введением в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных уравнений и посвящена анализу нелинейных математических моделей
и динамических систем на предмет их точного решения (интегрируемости).
Предложены выводы нелинейных математических моделей, интенсивно изучаемых в последнее время. Представлены алгоритмы анализа особых точек решений дифференциальных уравнений. Обсуждаются свойства точно решаемых нелинейных уравнений. Дано обобщение аналитической теории на случай нелинейных
уравнений в частных производных. Представлены методы нахождения аналитических решений нелинейных уравнений. Применение методов проиллюстрировано
многочисленными примерами.
Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников, интересующихся нелинейными математическими моделями, теорией солитонов, методами
построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теорией
уравнений Пенлеве и их высших аналогов.
ISBN 978-5-4344-0673-4
c
Н. А. Кудряшов, 2019
c
Институт компьютерных исследований, 2019
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............................. 9
Г
ЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ... 13
1.1 Уравнение Кортевега – де Вриза для описания волн на воде . 13
1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега – де Вриза . . . . 23
1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс 26
1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения Корте-
вега–деВриза .......................... 32
1.5 Фазоваяигрупповаяскоростиволн............... 35
1.6 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волно-
вогопакета............................. 39
1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением
Шредингераигрупповойсолитон................ 42
1.8 Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом
теле ................................. 44
1.9 Простейшие решения уравнения sin-Гордона и топологиче-
скийсолитон............................ 48
1.10 Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса . . . 51
1.11МодельХенона–Хейлеса .................... 57
1.12СистемаЛоренца ......................... 60
1.13Задачииупражнениякглаве1.................. 68
ЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ
Г
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ............ 71
2.1 Классификация особых точек функций комплексной пере-
менной ............................... 71
2.2 Неподвижныеиподвижныеособыеточки ........... 74
2.3 Уравнения, не имеющие решений с критическими подвиж-
нымиособымиточками...................... 76
2.4 ЗадачаКовалевскойоволчке................... 82
2.5 ОпределениесвойстваПенлевеиуравненияПенлеве..... 85
6ОГЛАВЛЕНИЕ
2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического по-
лявполупроводниковомдиоде.................. 87
2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений 91
2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве . 96
2.9 Метод Пенлеве для анализа дифференциальных уравнений . 100
2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения
Пенлеве...............................106
2.11НеприводимостьуравненийПенлеве ..............111
2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения
Пенлеве...............................113
2.13 Рациональные и специальные решения второго уравнения
Пенлеве...............................114
2.14ДискретныеуравненияПенлеве .................116
2.15 Асимптотические решения первого и второго уравнений
Пенлеве...............................118
2.16ЛинейныепредставленияуравненийПенлеве .........120
2.17 Алгоритм Конта – Форди – Пикеринга для проверки уравне-
нийнасвойствоПенлеве .....................122
2.18 Примеры анализа уравнений методом возмущений Пенлеве . 125
2.19 Тест Пенлеве для системы уравнений Хенона-Хейлеса . . . . 128
2.20ТочнорешаемыеслучаисистемыЛоренца ...........131
2.21Задачииупражнениякглаве2..................135
ЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТ-
Г
НЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ...................... 138
3.1 Интегрируемыесистемы .....................138
3.2 Преобразование Коула – Хопфа для уравнения Бюргерса . . . 141
3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Корте-
вега–деВриза...........................144
3.4 Законы сохранения для уравнения Кортевега – де Вриза . . . 146
3.5 ОтображенияипреобразованияБэклунда............149
3.6 ПреобразованияБэклундадляуравненияsin-Гордона.....151
3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега – де Вриза153
3.8 СемействоуравненийКортевега–деВриза ..........155
3.9 СемействоуравненийАКНС...................157
3.10 Тест Абловица – Рамани – Сигура для нелинейных уравнений
вчастныхпроизводных......................160
3.11 Метод Вайса – Табора – Карневейля для анализа нелинейных
уравнений .............................163
3.12Пенлеве-анализуравненияБюргерсаметодомВТК ......165
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
3.13АнализуравненияКортевега–деВриза ............168
3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега – де Вриза
методомВТК............................169
3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза 171
3.16 Усеченные разложения, как отображения решений нелиней-
ныхуравнений...........................172
3.17Инвариантныйпенлеве-анализ..................174
3.18 Применение инвариантного пенлеве-анализа для нахождения
парЛакса..............................176
3.19 Соотношения между основными точно решаемыми нелиней-
нымиуравнениями ........................179
3.20СемействоуравненийБюргерса .................187
3.21Задачииупражнениякглаве3..................189
ЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИ-
Г
АЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ...................... 193
4.1 Применение усеченных разложений для построения частных
решенийнеинтегрируемыхуравнений .............193
4.2 ТочныерешенияуравненияБюргерса–Хаксли ........197
4.3 Частные решения уравнения Бюргерса – Кортевега – де Вриза 205
4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото –
Сивашинского ...........................208
4.5 Кноидальные волны, описываемые уравнением Курамото –
Сивашинского ...........................215
4.6 Частные решения простейшего нелинейного волнового урав-
ненияпятогопорядка .......................217
4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для
описанияволннаводе ......................220
4.8 Решения уравнения Кортевега – де Вриза пятого порядка в
переменныхбегущейволны ...................230
4.9 ТочныерешениямоделиХенона–Хейлеса...........235
4.10 Метод нахождения рациональных решений некоторых точно
решаемыхнелинейныхуравнений................237
4.11Задачииупражнениякглаве4..................241
ЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ И ИХ
Г
СВОЙСТВА ............................. 244
5.1 Анализ уравнений четвертого порядка на свойство Пенлеве . 244
5.2 Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест Пенлеве . . . 251
8ОГЛАВЛЕНИЕ
5.3 Трансценденты, определяемые нелинейными уравнениями
четвертогопорядка ........................253
5.4 Локальные представления решений для уравнений четверто-
гопорядка .............................258
5.5 Асимптотические свойства трансцендент
уравненийчетвертогопорядка..................264
5.6 Семейства уравнений с решениями в виде трансцендент . . . 266
5.7 ПарыЛаксадляуравненийчетвертогопорядка ........271
5.8 ОбобщенияуравненийПенлеве .................277
5.9 Преобразования Бэклунда для высших аналогов уравнений
Пенлеве...............................284
5.10 Рациональные и специальные решения высших аналогов
уравненийПенлеве ........................291
5.11 Дискретные уравнения, соответствующие высшим аналогам
уравненийПенлеве ........................295
5.12Задачииупражнениякглаве5..................304
ЛАВА 6. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ
Г
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ВРИЗА ..... 306
6.1 ЗадачаКошидляуравненияКортевега–деВриза.......306
6.2 Прямаязадачарассеяния .....................307
6.3 Интегральный вид стационарного уравнения Шредингера . . 313
6.4 Аналитическиесвойстваамплитудырассеяния.........315
6.5 УравнениеГельфанда–Левитана–Марченко .........318
6.6 Интегрирование методом обратной задачи рассеяния уравне-
нияКортевега–деВриза.....................321
6.7 Решение уравнения Кортевега – де Вриза в случае безотра-
жательных потенциалов . . ....................323
6.8 ОператорХиротыиегосвойства ................326
6.9 Нахождение солитонных решений уравнения Кортевега –
деВризаметодомХироты ....................327
6.10 Метод Хироты для модифицированного уравнения Кортеве-
га–деВриза............................331
6.11Задачииупражнениякглаве6..................333
Литература ............................... 337
Предметный указатель ........................ 357
Светлой памяти моих родителей
Екатерины Алексеевны
и Алексея Александровича
посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ
При решении различных задач естествознания исследователи часто используют язык математики, с помощью которого разрабатываются математические модели явлений в биологии, физике, химии, экономике, экологии
и т.д. С этой целью для математического описания процессов вводятся количественные характеристики: зависимые и независимые переменные, соотношения между которыми и составляют основу математической модели.
В последние десятилетия возник огромный интерес к изучению нелинейных математических моделей, что связано с их широким применением
при описании многих явлений в физике и в природе. Два революционных события послужили мощным толчком к исследованиям в нелинейной
науке: открытие солитона и открытие странного аттрактора. И хотя оба открытия были сделаны при проведении вычислительных экспериментов, их
подробное описание стало возможным лишь при использовании методов
аналитической теории дифференциальных уравнений.
При построении математических моделей, прежде всего, принимаются
во внимание законы сохранения, в которых, как правило, содержатся производные от переменных. Это обстоятельство приводит к дифференциальным
уравнениям, решение которых, с учетом начальных и граничных условий,
позволяет представить эволюцию процесса во времени и его изменения
в пространстве.
Коль скоро описана математическая модель изучаемого явления, состоящая обычно из дифференциального уравнения вместе с начальными
(а может быть и граничными) условиями, возникает вопрос: имеем ли мы
в рамках предложенной модели адекватное описание явления, что, как правило, сводится к вопросу существования и единственности решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. Применительно к нелинейным математическим моделям в этой книге вопрос
решается путем анализа решений дифференциальных уравнений как аналитических функций.
Первым математиком, применившим аналитическую теорию дифференциальных уравнений для решения задач механики, была С. В. Ковалев-
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
ская, которая получила замечательные результаты при анализе движения
твердого тела вокруг неподвижной точки в поле сил тяжести.
Существенный прогресс в аналитической теории дифференциальных
уравнений был достигнут П. Пенлеве и его учениками, выполнившими
классификацию уравнений второго порядка первой степени. В изучаемом
классе дифференциальных уравнений они нашли пятьдесят канонических
уравнений, решения которых не имели критических подвижных точек. Решения сорока четырех уравнений из 50-ти выражались через известные
к тому времени функции, а для оставшихся шести уравнений, Пенлеве и
его ученики ввели новые функции, называемые теперь трансцендентами
Пенлеве.
Огромный интерес к аналитической теории дифференциальных уравнений в последние годы возник из обнаруженной в 1980 г. М. Абловицем, А.
Рамани и Х. Сигуром связи нелинейных уравнений в частных производных,
имеющих солитонные решения, с уравнениями Пенлеве. Это обстоятельство, наряду с появлением уравнений Пенлеве при описании физических явлений, дало мощный импульс развитию аналитической теории нелинейных
дифференциальных уравнений. Обобщение метода Ковалевской, сделанное
в 1983 г. Дж. Вайсом, М. Табором и Г. Карневейлем, на случай нелинейных
уравнений в частных производных, по существу, привело к созданию универсальных методов нахождения аналитических решений широкого класса
нелинейных уравнений.
Упомянутые выше и многие другие темы рассмотрены в данной книге.
В первой главе предложены выводы нелинейных математических моделей, интенсивно изучаемых в последнее время, а именно: уравнения
Кортевега – де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера, уравнения sinГордона, модели Хенона – Хейлеса и системы Лоренца. Эти уравнения
служат иллюстрацией методов аналитической теории дифференциальных
уравнений, рассматриваемых в данной книге.
Во второй главе приведены результаты, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Дается классификация особых точек решений. Обсуждаются решение С.В. Ковалевской задачи о движении
твердого тела вокруг неподвижной точки в поле сил тяжести и уравнения
Пенлеве.
Основной момент этой главы — исследование особых точек решения
дифференциальных уравнений. Отсутствие критических подвижных особых точек у решения дифференциального уравнения является, по существу,
критерием существования решения. Поэтому во второй главе предложены
три алгоритма для тестирования дифференциальных уравнений, применение которых иллюстрируется на примерах. Обсуждаются также некоторые
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]