Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
2.20. ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ СЛУЧАИ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 131
2.20. Точно решаемые случаи системы Лоренца
В зависимости от значений параметров σ, r и b система уравнений Лоренца (1.184) может быть как точно решаемой так и неинтегрируемой [249].
Используя замену переменных
x → x/ε, y → y/σ ε
где
2
,z→ z/σ ε2,t→ εt, (2.299)
ε =1/ (σr)
1/2
,
систему уравнений (1.184) можно представить в виде
dx
= y − σεx,
dt
dy
= −xz+ x −εy,
dt
dz
= xy− εbz.
dt
(2.300)
В предельном случае при ε → 0(r →∞) эта система уравнений
сводится к консервативной точно решаемой системе уравнений, поскольку
(2.300) при ε =→ 0 приводится к уравнению для эллиптической функции
Якоби:
d
dt
2
x
2
= −
3
x
+(c
+1)x. (2.301)
1
2
Проанализируем систему уравнений (2.300) на свойство Пенлеве при
ε =0.
Подставляя
x = x
(t − t0)p,y= y0(t − t0)q,z= z0(t − t0)
0
s
(2.302)
в ведущие члены системы уравнений (2.300), находим, что p = −1, x
= ±2i ; q = −2,y
Полагая
= ∓2i; s = −2,z0= −2.
0
x =2i (t − t
y = −2i (t − t
z = −2(t − t
)−1+ xj(t − t0)
0
)−2+ yj(t − t0)
0
)−2+ zj(t − t0)
0
j−1
j−2
j−2
,
,
(2.303)
,
=
0
132 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
и подставляя эти выражения снова в ведущие члены системы уравнений (2.300), получаем алгебраическую систему уравнений относительно
x
и zjввиде
j,yj
(j −1) x
−2x
2ix
− yj=0,
j
+(j −2) yj+2izj=0,
j
− 2iyj+(j − 2) zj=0.
j
(2.304)
Из этой системы находим кубическое уравнение для индексов Фукса
3
j
− 5j2+2j +8=0. (2.305)
Решение (2.305) имеет вид
j
= −1,j2=2,j3=4.
1
Вычисляя последовательно коэффициенты разложения решений x, y и
z при j =2иприj =4, приходим к условиям на параметры системы
уравнений Лоренца в виде [249]
2
2
ε
6σ
− bσ −2σ= b(b − 1) ε2, (2.306)
2
ε
(b − 1) (57 (σ − 1) − 15 (b − 1) + 24) = 9σε2(2σ − 1) , (2.307)
2(1+b − σ) a
2
c1ε + ε
1
2σ − b −5
2
3
b1 − σε
2
2
+2σa
2
+ ba1c
1
=0,
1
(2.308)
где
(3σ −2b − 1) ε
=
a
1
x
1
=
6
,c
2i
(b − 1 − 3σ) ε
=
1
z
1
3
= −
(2.309)
2
(x
и z1— первые коэффициенты в разложении решений в ряд Лорана).
1,y1
Анализ системы уравнений (2.306), (2.307) и (2.308) показал, что разложения решений имеют два произвольных коэффициента при j =2ипри
j =4в следующих четырех случаях [249]:
(1) σ =0;
(2) σ =1/2,b=1,r=0 (ε = ∞);
(3) σ =1,b=2,r=1/9(ε =3);
(4) σ =1/3,b=0,r−
.
2.20. ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ СЛУЧАИ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 133
Общее решение системы уравнений во всех этих случаях зависит от
трех произвольных постоянных.
В первом случае система уравнений (1.184) становится линейной и
точно решаемой по определению.
Во втором случае система уравнений (1.184) принимает вид:
1
(y − x) , (2.310)
=
x
t
2
= −y − zx, (2.311)
y
t
= xy − z. (2.312)
z
t
Подставляя y из (2.310) в (2.312), находим
e−t+ x2. (2.313)
z = c
1
С другой стороны, сравнивая (2.311) и (2.312), получим
2
+ z2= c2e
y
−2t
. (2.314)
Принимая во внимание (2.310) из (2.313) и (2.314), имеем
(2x
+ x)2+c1e−t+ x
t
2
= c2e
−2t
. (2.315)
2
Используя в (2.315) новые переменные
x (t)=e
t
−
2
X(τ ) ,τ= e
t
−
2
, (2.316)
приходим к уравнению
X
которое заменой ω =X
ции
2
+4ω3+4c
ω
τ
2
+X4+c
τ
2
приводится к уравнению для эллиптической функ-
2
1
2
1
− c
− c
2
2
+2c
X2=0, (2.317)
1
ω +8c
ω2=0. (2.318)
1
В третьем случае система уравнений (1.184) принимает вид
x
= y − x, (2.319)
t
= −xz+
y
t
z
t
1
x − y, (2.320)
9
= xy− 2z. (2.321)
134 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Из (2.319) следует
+ x. (2.322)
y = x
t
Подставляя (2.322) в (2.321), находим
4
1
2
3
x
z =
где c
— произвольная постоянная. Принимая во внимание (2.322) и (2.323),
3
−
2
−2t
c
e
, (2.323)
3
9
из (2.320) имеем уравнение
x
tt
+2xt+
1
3
x
+
2
8
9
x −
4
3
−2t
c
e
x =0. (2.324)
3
9
Используя замену переменных
x(t)=
4ic
2
−
t
3
3
e
3
X(τ),τ= c3e
2
−
t
3
, (2.325)
уравнение (2.324) можно привести ко второму уравнению Пенлеве
X
=2X3+ τ X. (2.326)
ττ
В четвертом случае система уравнений (2.184) принимает вид:
1
=
x
y
t
(y − x) , (2.327)
t
3
= rx −y −xz, (2.328)
z
= xy. (2.329)
t
Из (2.327) имеем
y =3x
+ x. (2.330)
t
Подставляя (2.330) в (2.328) и (2.329), получим систему уравнений
3x
+4xt+ x − rx + xz =0, (2.331)
tt
z
=3xxt+ x2. (2.332)
t
Подставляя z(t) из (2.331) в уравнение (2.332) и умножая полученное
выражение на x
3
dt
2
, приходим к уравнению:
d
xx
2
− x
tt
t
+4
1
4
x
+
4
xx
2
− x
tt
t
1
4
x
+
=0. (2.333)
4
2.21. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2 135
Откуда находим первый интеграл
4
4
4c
−
t
1
3
e
=0, (2.334)
t
−
3
(2.335)
где c
— произвольная постоянная.
1
Полагая
x(t)=
xx
1
2
4
− x
tt
2ic
x
+
t
4
t
−
1
3
X(τ),τ= c1, e
e
3
+
81
в (2.334), имеем третье уравнение Пенлеве
2
X
X
X
ττ
τ
τ
−
X
− X
+
τ
1
3
−
=0. (2.336)
X
Таким образом, все четыре случая, при которых система уравнений
Лоренца (1.184) проходит тест Пенлеве, соответствуют случаям точно решаемых уравнений.
2.21. Задачи и упражнения к главе 2
1) Найти особые точки функций и выяснить их характер
y = e
1
,y= ze−z,y= thz,
3
z −z
1
2
z
,y=
1
sin z
,y=
1
(2.337)
.
√
z
y = −
2) Определить типы особых точек решений уравнений
3
=1,yz= −
2yy
z
1
, 2(y −z)yz=1. (2.338)
y
2
3) Найти локальные представления общих решений третьего, четвертого и пятого
уравнений Пенлеве.
1
2
+c1(c1— произволь-
4) Используя замену переменных y(z)=zY (x),x=
z
2
ная постоянная), показать, что асимптотическое решение третьего уравнения
Пенлеве представляется через общее решение уравнения
2
Y
x
−
Y
xx
Y
− γY
3
=0.
(2.339)
136 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
5) Найти общие решения уравнений (2.339) и (2.334) при c
1
=0.
6) Используя метод Ковалевской, провести анализ на свойство Пенлеве следую-
щих уравнений:
где a
0,a1,a2,b0,c0
y
zzzz
y
+4y
zzzz
zy
+ b0yz+ a0y + a1y2+ a2y3,
y
zz
y
− yzz+ αy2+ c0y + c2=0,
zzzz
y
zzz
и
— постоянные.
2
2
− 6y
− 6yyzz=0,
z
2
+4yyzz+ a0yzz=0,
z
+ yz+ sh y =0,
zz
+6yyz+ a0yz=0,
(2.340)
(2.341)
(2.342)
(2.343)
(2.344)
(2.345)
7) Используя α-метод Пенлеве, исследовать на свойство Пенлеве систему урав-
нений Лоренца.
8) Используя алгоритм Конта – Форди – Пикеринга, проверить на свойство Пенлеве уравнения:
y
zzzz
y
− 10y2yzz− 10yy
zzzz
2
+5y
+10yyzz+10y3= z,
z
2
+6y5= zy + α.
z
(2.346)
(2.347)
9) Используя метод Ковалевской, проверить на свойство Пенлеве систему уравнений Эйлера (2.42).
10) Показать, что общее решение второго уравнения Пенлеве является существенно трансцендентной функцией от постоянных интегрирования.
11) Доказать, что первое уравнение Пенлеве не имеет частных решений, определяемых через классические функции.
12) Преобразования Бэклунда для третьего уравнения Пенлеве при δ =0,β=
= γ =1имеют вид [19]:
y(z, α +2) =
y(z, α − 2) =
zyz+(1+α)y + zy
zyz+(1− α)y − zy
1
1
,
2
.
2
(2.348)
(2.349)
Используя формулы (2.348) и (2.349), найти соответствующие дискретные
уравнения.
13) Найти асимптотические решения четвертого уравнения Пенлеве.
2.21. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2 137
14) Найти пару Лакса для второго уравнения Пенлеве, используя уравнение
ω(λ)U
=4UAz+2AUz+ A
λ
полагая
ω(λ)=1,A= a
15) Полагая ω(λ)=λ, A = a
(z)+a1(z)λ, U = p(z) − 2λy + λ2.
0
(z)+a1(z)λ и U = p(z) −2λy+ λ2в (2.350), найти
0
пару Лакса для четвертого уравнения Пенлеве.
zzz
,
(2.350)
ГЛАВА 3
СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
3.1. Интегрируемые системы
Процедура нахождения решений дифференциальных уравнений назы-
вается интегрированием уравнений, и в этой связи различают интегрируе-
мые и неинтегрируемые системы. Дать точное определение интегрируемого
уравнения в общем случае не представляется возможным, поскольку «если мы попытаемся сформулировать точное понятие интегрируемости, то
оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес» [81]. Сказанное вполне
соответствует замечанию Пуанкаре, что «система дифференциальных уравнений может быть только более или менее интегрируемой» [4]. Тем не менее, в ряде случаев относительно уравнений, заданных в конкретной форме,
можно утверждать, что они являются интегрируемыми.
Различают несколько типов интегрируемости уравнений [4, 9, 42, 88,
149, 161, 163, 246, 248, 267–269]. Один из них — системы, интегрируемые
в квадратурах, когда решение уравнений может быть найдено с помощью
конечного числа алгебраических операций. Для интегрирования системы N
обыкновенных дифференциальных уравнений в общем случае нужно знать
N первых интегралов. Однако для интегрирования гамильтоновых систем
в квадратурах, как правило, достаточно знать N /2 первых интегралов, что
следует из теоремы Лиувилля [42, 246].
Теорема 3.1. Пусть задана гамильтонова система 2n дифференци-
альных уравнений с гамильтонианом H (p, q, t),гдеp и q —обобщенные
координаты и импульсы. Тогда если эта система уравнений имеет n интегралов F
, ..., Fn, находящихся в инволюции, т. е. таких, что для них
1
3.1. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ 139
выполняются соотношения:
∂F
i
+ {F
∂t
,H} =0, {Fi,Fk} =0, (3.1)
i
где {F
в пространстве переменных p, q и t,намножествеM
} — скобка Пуассона, и если функции F1, ..., Fkнезависимы
i,Fk
, определяемом
a
выражениями:
F
(p, q, t)=ai,i=1, ..., n, (3.2)
i
то решения уравнений Гамильтона
лежащие на M
∂H
˙p
= −
i
, можно найти в квадратурах.
a
∂q
i
, ˙qi=
∂H
, (3.3)
∂p
i
Одним из важных свойств уравнений Гамильтона является то, что они
допускают широкий класс преобразований переменных p и q, которые не
изменяют общей формы уравнений, но могут быть полезны при построении решений. Часто используемым преобразованием переменных p и q
является каноническое преобразование, в котором используются перемен-
ные действияJ и переменные типа угол α.
Функция Гамильтона H
, записанная в этих переменных (существующих не всегда), не зависит от координат α. В этом случае система уравне-
ний (3.3) имеет вид
∂H
˙α
=
i
,˙Ji=0,i=1, ..., n (3.4)
∂J
i
и легко решается. В результате получаем
J =J
= const,α = α0+ ωt. (3.5)
0
Таким образом, решение проблемы интегрирования уравнений Гамильтона (3.3) сводится к отысканию переменных действие-угол. Можно дать
следующее определение.
Определение 3.1. Гамильтонова система (3.3) называется полностью интегрируемой, и соответствующий гамильтониан интегрируемым, если существует каноническое преобразование, с помощью которого можно перейти
к переменным действие-угол.
140 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
В качестве простейшего примера рассмотрим интегрирование системы
двух гармонических осцилляторов единичной массы, для которых гамильтониан и уравнения Гамильтона имеют вид [69]
1
2
H =
= pi, ˙pi= −ω
˙q
i
+ p
p
1
2
1
2
+
2
2
2
q
ω
1
1
2
2
qi,i=1, 2. (3.7)
i
+ ω
2
2
q
, (3.6)
2
2
Каноническое преобразование, позволяющее перейти к переменным
действие-угол, выражается формулами:
p
=(2ωiJi)
i
1
2
cos αi,qi= −
2J
ω
1
2
i
sin αi,i=1, 2. (3.8)
i
При этом гамильтониан в новых переменных и решение системы уравнений принимают вид
H
= ω1J1+ ω2J2,J1= J
α
= ω1t + α
1
(0)
1
(0)
,J2= J
1
,α2= ω2t + α
(0)
, (3.9)
2
(0)
. (3.10)
2
Полагая, что переменные действия соответствуютвнутреннему и внешнему радиусам поперечного сечения тора, а угловые переменные α
и α
1
меняются при поворотах радиусов, получаем, что при фиксированных J
и J2эволюция системы (3.7) описывается движением по поверхности двумерного тора. В трехмерном пространстве все фазовое пространство системы (3.7) можно представить как совокупность вложенных друг в друга торов, большой и малый радиусы которых определяются значениями J
1
и J2.
Схожая картина реализуется для любой полностью интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Фазовые траектории всегда
располагаются на двумерных концентрических торах. Для полностью интегрируемых систем с n степенями свободы любая возможная траектория
в переменных действие-угол располагается на множестве n-мерных торов.
Одни из этих траекторий будут замкнуты, а другие всюду плотно заполняют
поверхность соответствующего тора.
Определение полностью интегрируемых гамильтоновых систем формально подходит и для точно решаемых нелинейных уравнений в частных
производных, поскольку они могут быть интерпретированы как бесконечномерные гамильтоновы системы.
2
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]