Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
5.2. УРАВНЕНИЯ, ПРОШЕДШИЕ ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ 251
5.2. Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест
Пенлеве
Используя данные таблиц 5.3 и 5.4, можно искать уравнения вида (5.3)
и (5.4), проходящие тест Пенлеве при F
предполагаем, что
4
F
(y, z)=
1
qk(z) yk,F2(y,z)=
k=0
и снова применим тест Пенлеве к исходным уравнениям.
Для семейства (5.3) получаем следующие уравнения, проходящие тест
Пенлеве [177, 208, 211]:
y
+6y5− 10yy
zzzz
+ y5− 5yy
y
zzzz
где ε
и ε1— произвольные постоянные,
0
y
+(g −6)2y3yz+2yy
zzzz
2
− 10y2yzz= ε1zy + ε0, (5.34)
z
2
− 5y2yzz+5yzyzz= ε1zy + ε0, (5.35)
z
2
+ y2y
z
zz
=0и F2=0.Сэтойцелью
1
2
k=0
qk(z)y
k
+ gy
zyzz
+2yy
= F (z) , (5.36)
zzz
(5.33)
где
⎧
q
(z),g=6
⎪
0
⎨
F (z)=
y
y
zzzz
⎪
⎩
y
zzzz
+4y3yz+12yy
zzzz
+y5+10y3yz+15yy
,g=6 g =
ε
0
2
+6yy
+3y2yzz+9yzyzz+3yy
z
2
+6y2yzz+10yzyzz+4yy
z
2
+10y2yzz+10yzyzz+5yy
z
2
6n
n2− 1
− 54
,n∈ Z, n =0, ±1
= q0(z) , (5.37)
zzz
= q0(z) , (5.38)
zzz
zzz=q0
(z)+yq1(z) .
(5.39)
Все перечисленные уравнения проходят тест Пенлеве. Уравнения (5.34)
и (5.33) совпадают с уравнениями, полученными из нелинейных точно решаемых уравнений в частных производных, если их решения искать, используя автомодельные переменные. Уравнение (5.36) при g =6приводится к уравнению Риккати, а при g =6оно может быть представлено в
виде
2
6n
1
(g −6)ω
+
ω
zz
2
2
= ε0z + c1,g=
− 54
n2− 1
,n∈ Z, n =0, ±1, (5.40)
252 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
где
ω = y
+ y2. (5.41)
z
Уравнение (5.40) является первым уравнением Пенлеве, имеющим решения в виде трансцендент Пенлеве.
Уравнения (5.37) и (5.28) могут быть представлены в виде
y
+ y3+3yyz= Q2(z) , (5.42)
zz
+ y4+6y2yz+3y
y
zzz
2
+4yyzz= Q1(z) (5.43)
z
после интегрирования по z.
С помощью преобразования
ϕ
z
y =
ϕ
(5.44)
уравнения (5.42) и (5.43), как и уравнение (5.39), могут быть приведены к
линейным уравнениям в виде
ϕ
= Q2(z) ϕ, (5.45)
zzz
= Q1(z) ϕ, (5.46)
ϕ
zzzz
ϕ
= q0(z) ϕ + q1(z) ϕz. (5.47)
zzzz
Проверка уравнений (5.4) при F
=0, с учетом данных таблицы 5.4,
2
привела к следующим уравнениям, прошедшим тест Пенлеве:
y
+60y3+30yyzz+ ε0+ α1y =0, (5.48)
zzzz
y
zzzz
y
zzzz
где α, β, ε
y
+40y3+20yyzz+10y
zzzz
+24y3+18yyzz+9y
+15y3+15yyzz+
y
zzzz
=12yyzz+12y
и n1— произвольные постоянные.
0,n0
2
z
2
+(αx + β)yz+2αy −
z
+ αy2+
2
+ αy + n1z + n0=0, (5.49)
z
1
2
α
y + n1z + n0=0, (5.50)
9
45
2
y
+ αy + ε0=0, (5.51)
z
4
1
(αx + β)
6
2
, (5.52)
Уравнение (5.52) при α = β =0после интегрирования по z приводится
к первому уравнению Пенлеве
y
=6y2+ c1z + c2. (5.53)
zz
Остальные уравнения (5.48) — (5.51) вида (5.4) соответствуют нелинейным точно решаемым уравнениям в частных производных пятого порядка,
если их решения искать, используя автомодельные переменные.
5.3. ТРАНСЦЕНДЕНТЫ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 253
5.3. Трансценденты, определяемые нелинейными
уравнениями четвертого порядка
В списке нелинейных уравнений четвертого порядка, приведенном ранее, содержатся уравнения, общие решения которых по своим свойствам
аналогичны решениям уравнений Пенлеве. Для решений уравнений (5.34),
(5.35), (5.49) и (5.50) справедлива теорема [59, 62,210].
Теорема 5.1. Общие решения уравнений (5.34), (5.35), (5.49) и (5.50)
являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Доказательство этой теоремы состоит из двух частей.
Вначале мы покажем, что общее решение является трансцендентной
функцией относительно начальных данных. Затем докажем, что общие
решения перечисленных уравнений являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования. Уравнения
(5.34), (5.35), (5.49) и (5.50) можно представить в виде:
y
+10yyzz+5y
zzzz
2
+10y3+ αy −z =0, (5.54)
z
+18yyzz+9y
y
zzzz
y
− 10y2yzz− 10yy
zzzz
− 5y2yzz+5yzyzz− 5yy
y
zzzz
2
+24y3+ αy2+
z
2
+6y5− zy − α =0, (5.56)
z
2
z
1
2
α
y − z =0, (5.55)
9
+ y5− zy − β =0. (5.57)
Рассмотрим доказательство теоремы для уравнения (5.54), поскольку
доказательства для уравнений (5.55)–(5.57) проводятся аналогично. Используя переменные
y = λ
−2y
,z= λz, (5.58)
где λ — некоторый параметр, уравнение (5.54) можно свести к следующему
y
zzzz
(штрихи у переменных y
+10yyzz+5y
и zв (5.59) опущены). При λ =0уравнение (5.59)
2
+10y3= λ7z (5.59)
z
совпадает со стационарным уравнением Кортевега – де Вриза пятого порядка, решение которого было изучено Б.А. Дубровиным. Им показано, что
решение уравнения
y
+10yyzz+5y
zzzz
2
+10y3=0 (5.60)
z
254 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
выражается через тэта-функцию на римановой поверхности. Это решение
имеет трансцендентную зависимость от постоянных интегрирования. Следовательно, общее решение уравнения (5.59) при λ =0также имеет транс-
цендентную зависимость от постоянных интегрирования. Однако уравнение
(5.60) имеет первый интеграл в виде
y
zyzzz
1
2
−
+5yy
y
zz
2
5
2
4
+
z
= C1, (5.61)
y
2
поэтому общее решение уравнения (5.60) является полутрансцендентной
функцией относительно постоянных интегрирования.
Покажем, что в отличие от уравнения (5.60), общее решение уравнения (5.54) является существенно трансцендентной функцией по отношению
кначальнымусловиям.
Доказательство этого факта проведем методом от противного. Предположим, что уравнение (5.54) имеет первый интеграл в виде полинома:
P (y, y
z,yzz,yzzz
Обозначим для удобства вычислений y
= y
y
4
, тогда в соответствии с определением первого интеграла полу-
zzzz
,z)=C2. (5.62)
= yz, y2= yzz, y3= y
1
zzz
чаем, что (5.62) удовлетворяет уравнению
E =
∂P
∂z
∂P
+
∂y
∂P
y
+
1
∂y
y2+
1
∂P
∂y
2
y3+
∂P
y4=0. (5.63)
∂y
3
С другой стороны, это уравнение должно соответствовать уравнению (5.54), так что имеет место равенство
E = Qy
где Q — полином от y, y
+10yy2+5y
4
, y2, y3и z.
1
2
+10y3− z, (5.64)
1
Из (5.64) следует, что
∂P
= Q. (5.65)
∂y
3
И поэтому (5.64) можно упростить
∂P
∂z
∂P
+
∂y
∂P
y
+
1
∂y
y2+
1
∂P
y3−10yy2+5y
∂y
2
2
+10y3− z
1
∂P
∂y
=0. (5.66)
3
Предположим, что первый интеграл уравнения (5.54) имеет вид полинома
P =
m
k=0
rky
m−k
, (5.67)
3
и
5.3. ТРАНСЦЕНДЕНТЫ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 255
где
= rk(y, y1,y2,z) . (5.68)
r
k
Подставляя (5.67) в уравнение (5.66), получаем цепочку уравнений
∂r
0
=0, (5.69)
∂y
2
∂r
∂r
∂y
∂r
∂r
1
0
+
+
∂y
∂r
∂r
2
1
1
+
+
∂z
2
∂y
∂z
1
y2= r
1
∂y
2
∂r
y
+
1
∂y
0
0
y
1
10yy
∂r
0
+
y2=0, (5.70)
∂y
1
2
+5y
2
+10y3− z, (5.71)
1
∂r
k+1
+
∂y
2
×10yy
∂r
m
∂z
2
∂r
m
+
∂y
Решения системы уравнений r
∂r
∂r
k
+
∂z
∂y
2
+5y
+10y3− z, (k =2, ..., m−1) ,
1
∂r
y
m
+
1
∂y
1
k
y
1
y2= r
∂r
k
+
y2=(m − k +1)r
∂y
1
10yy
m−1
(k =0, 1,..., m − 1) могут быть
k
2
+5y
×
k−1
2
+10y3− z. (5.73)
1
(5.72)
последовательно найдены из (5.69)–(5.72). Причем если P является интегралом уравнения (5.54), то уравнение (5.73) удовлетворяется.
Из (5.69) получаем, что
r
= r0(y, y1,z) . (5.74)
0
Решение уравнения (5.70) может быть представлено в виде
∂r
0
1
r
= −
1
2
y
− b0y2+ f1(y, y1,z) , (5.75)
2
2
∂y
1
где
∂r
∂r
0
0
+
b
=
0
∂z
y
. (5.76)
1
∂y
Приравнивая в уравнении (5.72) выражения при одинаковых степе-
, имеем
нях y
2
∂
∂y
m+1
m+1
1
m
r
0
=0,
∂
b
0
=0. (5.77)
m
∂y
1
256 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Можно найти полную зависимость (5.74), однако без нарушения общности в качестве решения можно взять r
r
0
ввиде
0
m
= y
. (5.78)
1
Далее находим
1
m−1
r
1
= −
my
2
2
y
+ f1(y, y1,z) (5.79)
2
1
и поэтому решение уравнения (5.71) принимает вид
1
r
m (m − 1) y
=
2
−
8
2
5y
+10y3− zy
1
m−2
1
m
−
1
y
∂f
∂z
1
4
+
2
2
1
+
∂f
∂y
10yy
1
y
1
m
1
∂f
1
−
∂y
+ f2(y, y1,z) .
y
2
2
−
y
2
1
Учитывая полученное решение, предполагаем, что
(5.80)
r
где коэффициенты a
= aky
k
k,bk
+ bky
2k−2
2
2k
2
и ckзависят от y, y1и z.
+ cky
2k−3
+ ..., (5.81)
2
Подставляя (5.81) в уравнение (5.72) и приравнивая одинаковые степе-
, получаем рекуррентные соотношения
ни y
2
∂a
k
, (5.82)
∂y
1
∂b
k
k−1
−
∂c
∂y
, (5.83)
∂y
1
∂b
k
1
k
−
∂z
+ y
c
k+1
=
1
2k − 1
a
k+1
b
k+1
1
=
2k
(m − k +1)5y
= −
1
2k +2
10 (m − k +1)ya
2
+10y3− z−
1
(k =1, ..., m− 1) .
Кроме того, из уравнения (5.73) находим
∂a
m
=0, (5.85)
∂y
1
1
∂b
∂y
k
(5.84)
,
5.3. ТРАНСЦЕНДЕНТЫ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 257
∂b
m
∂y
= −10a
1
y, (5.86)
m−1
∂c
∂y
∂b
m
1
m
+
∂z
+ y
∂b
m
1
∂y
=5y
2
+10y3− za
1
. (5.87)
m−1
Решение (5.82) и (5.85) имеет вид
a
k
=(−1)
k
2kk!
m−k
, (5.88)
y
1
m (m − 1) ... (m − k +1)
откуда получаем
m−1
m−1
m
y1,am=(−1)m2−m. (5.89)
m−1
2
"
m 2
1−m
2
5yy
+ g (y, z)#. (5.90)
1
=(−1)
a
m−1
Из (5.86) находим b
=(−1)
b
m
ввиде
m
Подставляя (5.89) и (5.90) в (5.87) и приравнивая выражения при одинаковых степени степенях y
нулю, имеем
1
g (y, z)=
5
4
y
− zy + p(z) , (5.91)
2
где p(z) — функция от z, появившаяся при интегрировании.
Используя метод математической индукции, из уравнения (5.83) получаем коэффициенты b
m (m − 1) ... (m − k +1)
b
k
=(−1)
k−1
ввиде
k
k−1
2
(k − 1)!
y
m−k
1
5yy
5
2
4
y
+
1
− zy + p(z) ,
2
откуда следует, что
b
1
= my
m−1
1
5yy
5
2
4
y
+
1
− zy + p(z) . (5.93)
2
(5.92)
Используя значения b
, из (5.84), находим
1
= −my
c
2
m−1
1
∂p
− y. (5.94)
∂z
258 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Предполагая, что
c
k
=(−1)
k−1
Aky
m−k+1
1
∂p
− y, (5.95)
∂z
находим следующий коэффициент
∂p
c
k+1
=(−1)kA
k+1
y
m−k
1
− y, (5.96)
∂z
где
k+1
(m − k +1)
=
A
Поэтому коэффициент c
(2k − 1)
c
m
m
=(−1)
m (m − 1) ... (m − k)
+
A
k
2
k−1
имеет вид
m−1
Amy
∂p
1
∂z
. (5.97)
(k − 1) !
− y. (5.98)
Подставляя (5.89), (5.90) и (5.98) в уравнение (5.87), получаем
m
m−1
2
+ A
m
∂p
− y=0. (5.99)
∂z
Это противоречие показывает, что уравнение (5.54) не имеет интеграла
в виде полинома, и следовательно, общее решение уравнения (5.54) является существенно трансцендентной функцией относительно постоянных
интегрирования.
5.4. Локальные представления решений для уравнений
четвертого порядка
Уравнения Пенлеве имеют решения с подвижными полюсами первого и второго порядка. Покажем, что трансценденты уравнений четвертого
порядка (5.54)–(5.57), имеют также подвижные полюса первого и второго
порядка. Справедлива теорема [17, 59,189, 190,195, 208, 211].
Теорема 5.2. Для ∀z
∈ C уравнения (5.54) и (5.55) имеют решения
0
с полюсами второго порядка, а уравнения (5.56) и (5.57) —сполюсами
первого порядка.
5.4. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 259
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Доказательство теоремы проведем, рассматривая локальные представления решений уравнений (5.54) – (5.57) в ряд Лорана.
В начале рассмотрим уравнение (5.54) при α =0
+10yyzz+5y
y
zzzz
2
+10y3− z =0. (5.100)
z
Оно имеет два семейства решений, поскольку подставляя выражение
ξp,ξ= z − z
y = a
0
в ведущие члены (5.100), имеем p = −2 и корни a
(1)
= −2,a
a
0
(2)
0
0
ввиде
0
= −6. (5.102)
Индексы Фукса, соответствующие первому и второму семействам имеют вид
= −1,j2=2,j3=5,j4=8, (5.103)
j
1
j
= −1,j2= −3,j3=8,j4=10. (5.104)
1
Подставляя разложение
ξ−2+a1ξ−1+a2+a3ξ+a4ξ2+a5ξ3+a6ξ4+a7ξ5+a8ξ6+..., ξ = z−z
y = a
0
в ведущие члены уравнения (5.100) в случае a
= −2, имеем локальное
0
разложение решений первого семейства:
3
2
3
2
+
(z − z
a
(z −z0)2+ a5(z −z0)3−
2
2
z
0
(z −z
56
)5+ a8(z −z0)6+ ....
0
0
)4−
y = −2(z −z
1
80
+
−
)−2+ a2+
0
5a
−
2
3a
2a5
4
Из формулы (5.106) видно, что в разложении (5.106) имеется четыре
произвольных постоянных z
0,a2,a5,a8
, соответствующих (5.103) и поэтому
первое семейство решений проходит тест Пенлеве.
Полагая a
= −6 в (5.105), имеем локальное разложение решения
0
второго семейства уравнения (5.100):
z
0
504
(z −z
0
)4+
y = −6(z − z
1
(z −z
+
240
)5+ a8(z −z0)6+ a10(z −z0)8+ ....
0
)−2+
0
(5.101)
0
(5.105)
(5.106)
(5.107)
260 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Это разложение имеет три произвольных постоянных, соответствующих индексам Фукса (5.104). Выражение (5.107) может быть использовано как первое приближение в методе возмущений, предложенном в работе [132] для анализа семейств решений с отрицательными индексами Фукса.
Для уравнения
+18yyzz+9y
y
zzzz
2
+24y3− z =0 (5.108)
z
подстановка (5.101) в ведущие члены приводит к корням a
(1)
a
= −1,a
0
(2)
= −5. (5.109)
0
:
0
Индексы Фукса, соответствующие первому и второму семействам, имеют вид
j
= −1,j2=3,j3=4,j4=8; (5.110)
1
j
= −1,j2= −5,j3=8,j4=12. (5.111)
1
Подставляя a
= −1 и (5.105) в уравнение (5.108), приходим к локаль-
0
ному разложению решений первого семейства:
y = −(z −z
3a
−
4
3
2
+
)−2+ a3(z −z0)+a4(z −z0)2−
0
z
84
0
(z −z
+a
8
1
96
+
)4−
0
(z −z0)6+ ....
3a
3a4
4
(z −z
0
)5+
(5.112)
Локальное разложение (5.112) содержит четыре произвольных постоянных z
0,a3,a4,a8
соответствующих индексам (5.110) и поэтому первое
семейство решений уравнения (5.108) удовлетворяет тесту Пенлеве.
Полагая a
= −5 в (5.105) и подставляя полученное выражение в урав-
0
нение (5.108), находим разложение решения второго семейства уравнения
(5.108):
z
y = −5(z − z
+a
8
0
924
(z −z
0
)−2+
0
(z −z0)6+ a12(z −z0)10+ ....
)4+
1
480
(z −z
)5+
0
(5.113)
Разложение (5.113) имеет три произвольных постоянных, соответствующих индексам Фукса (5.111). Оно может быть использовано как первое
приближение в методе возмущений для анализа семейства решений с отрицательными индексами Фукса.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]