Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
5.10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 291
2α
+1
y(z, 1 − αn)=y(z, αn) −
2L
где в (5.336) и (5.337) введено обозначение y = y(z, α
n
"
n
y
z
− y
#
, (5.337)
2
+ z
). Соотношения
n
(5.336) и (5.337) как раз и являются преобразованиями Бэклунда для семейства уравнений (5.183). Однако, как правило, они используются в более
удобном виде, поскольку с учетом симметрии
y(z, α
)=−y(z, −αn) (5.338)
n
формулы (5.336) и (5.337) принимают вид
y(z, α
y(z, α
+1)=−y(z, αn)+
n
− 1) = −y(z, αn)+
n
2L
2L
n
"
n
−y
− y
z
− 1
2α
n
"
n
2
y
− y
z
, (5.339)
#
2
− z
#
. (5.340)
− z
2α
+1
При этом для нахождения решений достаточно использовать только одну из формул (5.339) или (5.340), поскольку есть симметрия решений (5.338).
Преобразования Бэклунда для семейства уравнений (5.185) могут быть
найдены также из полученных выше уравнений. Из (5.332) и (5.334) имеем
соотношения в виде
y(z, 2 − β
y(z, −1 −β
)=y(z, βn) −
n
)=y(z, βn) −
n
n
+
1
y
H
"
G
n
n
2β
−2y
z
n
z
−
+1
− 2y
y
2
2
, (5.341)
,
2
− z
#
. (5.342)
− z
2β
− 2
Формулы (5.341) и (5.342) являются преобразованиями Бэклунда для
семейства уравнений (5.185). При известном решении уравнения семейства (5.185) соотношения (5.341) и (5.342) могут быть использованы для
нахождения решений при других значений параметров уравнения.
5.10. Рациональные и специальные решения высших
аналогов уравнений Пенлеве
Общие решения уравнений Пенлеве выражаются в виде функций, имеющих существенно трансцендентную зависимость от постоянных интегрирования и могут быть представлены лишь в виде локальных разложений
292 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
в ряд Лорана вблизи подвижных полюсов. Однако все уравнения Пенлеве,
кроме первого, имеют частные и специальные решения. Это объясняется
тем, что при некоторых значениях параметров уравнений, решения в виде
трансцендент вырождаются в решения, представимые через элементарные
и специальные функции. В этой связи возникает вопрос о специальных и
рациональных решениях семейств уравнений (5.182)–(5.185), также определяющих существенно трансцендентные функции относительно постоянных
интегрирования.
Для того чтобы найти такие решения для уравнений семейства (5.183),
воспользуемся преобразованиями Бэклунда (5.340). Рассмотрим в начале
уравнение (5.183), которое в случае n =2имеет вид
y
zzzz
− 10yy
− 10y2yzz+6y5− zy − α =0. (5.343)
z
2
Преобразование (5.340) в этом случае принимает вид
y (z, α − 1) = −y (z, α) −
2y
zzz
+2y
2α +1
2
− 4yyzz− 12yzy2+6y4− z
z
.
(5.344)
Уравнения семейства (5.183) имеют очевидное решение y(z,0) = 0 при
α =0. Полагая эти значения в (5.344), получаем решение уравнения (5.343)
в виде [191]
y(z, −1) =
1
. (5.345)
z
Далее, подставляя решение (5.345) в (5.344), имеем решения при других
значениях параметра α
5
3z
y(z, −2) =
y(z, −4) =
2
,y(z, −3) =
z
15
4z
− 72z10+ 217728z5− 1741824
+96
zz5− 144
, (5.346)
. (5.347)
zz5− 144z10− 1008z5− 48384
Для уравнения шестого порядка, которое находится из семейства
(5.183) при n =3, рациональные решения имеют вид [191]
y(z, −1) =
y(z, −4) =
1
,y(z, −2) =
z
4z
2
,y(z, −3) =
z
7
− 108000
3
, (5.348)
z
. (5.349)
zz7+ 14400
5.10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 293
При n =4решения семейства уравнений (5.183) принимают вид [191]
y(z, −1) =
1
,y(z, −2) =
z
2
,y(z, −3) =
z
3
,y(z, −4) =
z
4
. (5.350)
z
В случае положительных значений параметра α рациональные решения
уравнений семейства находятся, используя симметрию (5.338).
Найдем специальные решения уравнений семейства (5.183). Заметим,
что можно написать соотношение, связывающее семейства (5.182) и (5.183)
в виде [191]:
d
dz
+2yL
"
n
y
#
2
− zy − α =
− y
z
d
dz
+2yL
n
[ω] −
z
2
− α +
1
,
2
(5.351)
где в правой части (5.351) введено обозначение
ω = y
− y2. (5.352)
z
Соотношение (5.351) может быть использовано при нахождении специальных решений семейства (5.183). Из (5.351) следует, что если ω —
решения семейства уравнений
[ω] −
z
=0, (5.353)
2
n
L
то решение уравнения Риккати (5.352) дает частное решение уравнения
(5.183) при α =1/2, поскольку, учитывая замену переменных
Ψ
y = −
z
, (5.354)
Ψ
уравнение (5.352) сводится к линейному уравнению второго порядка, имеющему вид
+ ωΨ=0. (5.355)
Ψ
zz
В случае второго уравнения Пенлеве (n =1)уравнение (5.353) принимает вид ω = z/2. Уравнение (5.355) становится в этом случае уравнением
Эйри.
Таким образом, семейство уравнений (5.183), как и второе уравнение
Пенлеве, имеет рациональные решения при целых α и специальные решения, определяемые через решения семейств первого уравнения Пенлеве при
полуцелых значениях параметра α.
294 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Покажем, что семейство уравнений (5.185) также имеет рациональные
и специальные решения. Для нахождения рациональных решений уравнений семейства (5.185) воспользуемся преобразованиями Бэклунда (5.341)
и (5.342).
Рассмотрим уравнение четвертого порядка семейства
− 5yzyzz− 5yy
y
zzzz
2
+5y2yzz+ y5− zy − β =0. (5.356)
z
Преобразования (5.341) и (5.342) для этого уравнения имеют вид
[177,211]
y (z, 2 −β)=y (z, β) −
y (z, −1 −β)=y (z, β)+
y
2y
zzz
zzz
+3y
+3y
2β −2
2
− yyzz− 4yzy2+ y4− z
z
2β +1
2
+4yyzz− 2yzy2− y4+ z
z
, (5.357)
. (5.358)
Уравнения семейства (5.185) имеют очевидное решение y(z, 0) = 0,
при β =0. Принимая эти значения в (5.357) и (5.358), получаем решение
уравнения (5.356) в виде [211]
y(z, −1) =
1
,y(z, 2) = −
z
2
. (5.359)
z
Далее, используя решения (5.359), из (5.357) и (5.358) находим решения
уравнения (5.356) при следующих значениях параметра β
5
3z
y(z, 3) = −
y(z, −4) =
4
y(z, 5) = −
z
3
,y(z, −3) =
z
10
z
4
5z
− 108z5− 5184
− 24
zz5+36
5
z
+ 216
, (5.360)
. (5.361)
Вслучаеn =2в (5.185) рациональные решения могут быть получены,
используя преобразования Бэклунда (5.341) и (5.342). Несколько первых
рациональных решений уравнения шестого порядка (5.185) имеют вид [211]
y(z, −1) =
y(z, 3) = −
1
,y(z, 2) = −
z
3
,y(z, −3) =
z
2
, (5.362)
z
3
, (5.363)
z
5.11. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 295
,y(z, 5) = −
5
. (5.364)
z
y(z, −4) =
7
+ 1296
4z
zz7− 1728
Найдем специальные решения уравнений семейства (5.185). Из (5.319)
получаем соотношение, связывающее семейства (5.184) и (5.185) в виде [195]:
d
dz
+ yH
y
n
z
1
2
y
−
2
− zy − 1=
d
+ y(H
dz
[ω] −z) , (5.365)
n
где в правой части (5.365) введено обозначение
1
2
y
−
ω = y
z
. (5.366)
2
Из (5.321) находим еще одно соотношение, связывающее семейства
(5.184) и (5.185) [211]:
d
− 2yG
dz
k
"
−2y
z
− 2y
#
2
− zy +
1
2
d
=
− 2y(G
dz
[F ] −z) , (5.367)
k
где в правой части (5.365) принято обозначение
F = −2y
− 2y2. (5.368)
z
Соотношения (5.365) и (5.367) могут быть использованы при нахождении специальных решений уравнений семейства (5.185). Из (5.365) и (5.367)
следует, что если ω и F — решения семейств уравнений (5.184), имеющих
вид
[ω] −z =0,Gk[F ] −z =0, (5.369)
H
n
то решения уравнений Риккати (5.366) и (5.368) дают частные решения
уравнения (5.185) при β = −1/2 иприβ =1.
Специальные решения семейства уравнений (5.185) при других значениях параметров находятся по формулам (5.341) и (5.342).
Таким образом, семейство уравнений (5.185), также имеет рациональные и специальные решения при целых и полуцелых β.
5.11. Дискретные уравнения, соответствующие высшим
аналогам уравнений Пенлеве
В п. 2.14 было показано, что дискретное уравнение, соответствую-
, может быть получено, используя преобразования Бэклунда.
щее P
2
296 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Найдем дискретные уравнения, соответствующие уравнению семейства (5.183) при n =2[193]. Преобразования Бэклунда для решений уравнения (5.183) могут быть записаны в виде:
2y
2y
zzz
zzz
+4yyzz−2y
− 4yyzz+2y
2
−12y2yz−6y4+ z = −
z
2
− 12y2yz+6y4− z =
z
y (z, α)+y (z,α +1)
y (z, α)+y (z,α − 1)
2α +1
2α − 1
, (5.370)
. (5.371)
Для решений семейства уравнений (5.183) справедлива следующая теорема.
Теорема 5.15. Пусть y (z, α − 1) и y (z,α) — решения уравнения
(5.183), тогда имеет место соотношение
y
(z,α) − y2(z,α)=−yz(z,α − 1) −y2(z,α − 1) . (5.372)
z
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Продифференцируем (5.371) и исключим y
нения (5.183). Исключая в получившемся выражении y
с помощью урав-
zzzz
zzz
спомощью
(5.371) и приводя все слагаемые к общему знаменателю, получаем выражение (5.372).
Теорема 5.16. Соотношение (5.372) сохраняется для решений всего
семейства уравнений (5.183).
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Доказательство проводится аналогично с помощью преобразования
Бэклунда (5.339) и (5.340).
Обозначим
y (z, α − 2) = p, y (z, α − 1) = h, y (z,α)=f,
y (z, α +1)=g, y (z,α +2)=r,
(5.373)
тогда сумма и разность соотношений (5.370) и (5.371) может быть записана
ввиде:
2α +1
−
2α − 1
f + h
, (5.374)
f + g
2α +1
−
f + g
. (5.375)
8ff
zz
4f
− 24f2fz=
zzz
2
− 4f
− 12f4+2z = −
z
2α − 1
f + h
5.11. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 297
Теорема 5.17. Пусть p, h, f, g, r — решения семейства (5.183), опре-
деляемые формулами (5.378), тогда имеем соотношения:
g
= g2− f2− fz, (5.376)
z
g
= −fzz− 2ffz+2g3− 2gf2− 2gfz, (5.377)
zz
= f2− h2− fz, (5.378)
h
z
h
= −fzz+2ffz− 2hf2+2h3+2hfz. (5.379)
zz
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Следует из теоремы 5.16.
Производя в (5.375) замену α → α +1 и α → α − 1, получаем соотно-
шения для g и h ввиде:
8gg
8hh
zz
zz
2
− 4g
− 12g4+2z +
z
2
− 4h
− 12h4+2z +
z
2α +1
f + g
2α − 3
h + p
2α +3
+
2α − 1
+
=0, (5.380)
g + r
f + h
=0. (5.381)
Исключим g
ные h
и hzzиз (5.381) с помощью (5.378) и (5.379).
z
Далее исключим f
и gzzиз (5.380) с помощью (5.376) и (5.377) и производ-
z
из полученных выражений, принимая во внимание
zz
уравнение (5.375), и умножим их на f/(f + g) и f/(f + h) соответственно.
В результате приходим к следующим двум уравнениям:
2
− 8f2fz− 8gffz− 4f4− 8f3g +2z +
−4f
z
2α +1
+
f + g
2
−4f
+8f2fz+8hffz− 4f4− 8f2h +2z +
z
2α +1
+
f + g
Вычитая (5.382) из (5.383), находим выражение для f
f
=
z
8(2f + g + h)
+
(2α − 1) f
−
(f + h)(f + g)
(2α +1)f
−
(f + h)(f + g)
1
8f
2α +3
(f + g)(g + r)
2
(h − g)+
−
(2α +3)f
+
(f + g)(g + r)
(2α − 3) f
+
(f + h)(h + p)
(f + g)(f + h)
2α − 3
(f + h)(h + p)
2α − 1
f + h
2α − 1
f + h
2
.
=0,
=0.
+
(5.382)
+
(5.383)
:
z
+
(5.384)
298 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Подставляя (5.384) в (5.382), получаем рекуррентную формулу для ре-
шений уравнения (5.183) с различными значениями параметра α
f (f + g)+
−
8(f + h)(h + p)
2f + g + h
2α − 3
1
2
f
(h − g)+
+
2α +3
8(f + g)(g + r)
4(f + h)(f + g)
1
2
− g2f2−
−
(5.385)
−
z
−
2
2α +1
4(f + g)
g (2α − 1)
−
4(f + g)(f + h)
f (2α +3)
−
4(f + g)(g + r)
=0.
Следует заметить, что уравнение (5.385) имеет место для всех α,за
исключением α = −3/2, −1/2, 1/2, 3/2.
Подстановка (5.384) в (5.383) дает уравнение, аналогичное уравнению
(5.385). Однако вычисляя r при фиксированных p, h, f и g с помощью найденных рекуррентных соотношений, получаются два решения для r,одно
из которых не удовлетворяет уравнению (5.183).
Рекуррентная формула, позволяющая единственным образом определять решение уравнения (5.183), может быть получена из уравнения (5.384)
и соотношения (5.376).
Эта рекуррентная формула связывает шесть решений уравнения (5.183)
и имеет вид:
2
g
− f2−f2(h − g)+
1
4(f + g)(f + h)
+
2α +3
8(f + g)(g + r)
−
−
2α +3
8(f + h)(h + p)
1
(2f + g + h)
−
(2g + r + f)
1
"
2
(f − r)+
g
(5.386)
+
4(f + g)(g + r)
1
+
2α +5
8(g + r)(r + d)
−
2α − 1
8(f + g)(f + h)
=0,
где d = y (z, α +3). Уравнение (5.386) верно для всех α, за исключением
α = −5/2, −3/2, −1/2, 1/2, 3/2.
Это уравнение позволяет находить единственные решения d =
= y (z,α +3) или p = y (z, α − 2) по заданным пяти решениям уравне-
ния (5.183).
5.11. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 299
Полагая xn= y (z,αn) ,α
= αn+1, получаем следующее дискрет-
n+1
ное уравнение из уравнения (5.386).
+
+
8(x
2
x
− x
n+1
4(xn+ x
−
8(xn+ x
2
×x
n+1
+ x
n+1
n+1
2α
n+2
2
−
n
2xn+ x
1
)(xn+ x
2α
n−1
(xn− x
+5
n
)(x
n+2
n
)(x
− 3
n+2
+ x
n−1
1
n+1
n−1
+ x
)+
n+3
+ x
n−1
+
)
8(xn+ x
)
n−2
4(xn+ x
−
)
8(xn+ x
−
2
x
n
2x
n+1
x
2α
n+1
n+1
1
)(x
2α
n+1
− x
n−1
+3
n
)(x
n+1
1
+ x
n+1
− 1
n
)(xn+ x
n+2
+ x
n+1
+ x
+ x
n+2
n+2
)
n−1
+
−
)
×
n
+
=0.
)
(5.387)
Как и (5.386), это уравнение имеет место для всех α
,кромеαn=
n
= −5/2, −3/2, −1/2, 1/2, 3/2.
Уравнение (5.387) может быть использовано для поиска решения x
уравнения (5.183) по заданным x
n−2,xn−1,xn,xn+1,xn+2
.
n+3
Найдем дискретное уравнение, соответствующее уравнению (5.185).
Полагая в (5.185) n =1, получаем следующее дифференциальное урав-
нение четвертого порядка [177, 211]:
+5yzyzz− 5yy
y
zzzz
2
− 5y2yzz+ y5− yz − β =0. (5.388)
z
Преобразования Бэклунда для решений уравнения (5.388) находятся
из (5.332) и (5.334) при n = k =1. Они могут быть представлены в виде:
z −y
z +2y
+ yyzz− 3y
zzz
+4yyzz+3y
zzz
2
+4y2yz− y4=
z
2
−2y2yz−y4=
z
y (z, β) − y (z, 2 − β)
−y (z, β)+y (z,−1 − β)
2 − 2β
2β +1
, (5.389)
В (5.389) и (5.390) использовано обозначение y = y (z, β). Докажем
следующую теорему.
Теорема 5.18. Пусть y (z, β) ,y(z, 2 − β) и y (z, −1 −β) — решения
уравнения (5.388); тогда имеют место равенства
y
(z,β) −
z
1
2
y
(z,β)=yz(z,2 − β) −
2
1
2
y
(z,2 − β) , (5.391)
2
. (5.390)
300 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
yz(z,β)+ y2(z,β)=yz(z,−1 − β)+ y2(z,−1 − β) . (5.392)
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Продифференцируем (5.389) и (5.390), затем исключим y
щью уравнения (5.388). Исключая y
из получившихся выражений с помо-
zzz
zzzz
спомо-
щью (5.389) и (5.390) соответственно и проводя преобразования, приходим
к равенствам (5.391) и (5.392).
Исключая y
из уравнений (5.389) и (5.390), имеем
zzz
2yy
2
− y
zz
+2y2yz− y4+ z +
z
+
3(y (z, β) − y (z, −1 − β))
2β +1
3(y (z, β) − y (z, 2 − β))
4(β −1)
=0,β= −
1
2
+
, 1 .
Для упрощения выкладок введем следующие обозначения
f = y (z, β) ,g= y (z, 2 −β) ,h= y (z,−1 − β) ,
r = y (z, β − 3) ,p= y (z,β +3).
Соотношения (5.391) и (5.392) могут быть переписаны в виде
g
z
h
= fz−
z
1
2
= fz+ f2− h2. (5.396)
1
2
f
2
g
+
, (5.395)
2
Из (5.395) и (5.396) следует, что
g
= fzz− ffz+ gfz−
zz
2
2
g
= f
z
h
− f2fz+ g2fz+
z
= fzz+2ffz− 2hfz− 2f2h +2h3, (5.399)
h
zz
2
2
= f
z
+2f2fz− 2h2fz+ f4− 2f2h2+ h4. (5.400)
z
1
2
1
4
−
f
4
1
2
f
1
2
g +
f
3
g
, (5.397)
2
1
2g2
4
+
, (5.398)
g
4
Соотношения (5.393) для f,g и h принимают вид
(5.393)
(5.394)
2ff
zz
2
− f
+2f2fz− f4+ z +
z
β − 1
4
3
f − g
+
2β +1
1
3
f − h
=0, (5.401)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]