Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
3.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОУЛА – ХОПФА 141
Например, уравнение Кортевега – де Вриза:
+6qqx+ q
q
t
=0 (3.11)
xxx
можно записать в виде [1, 28, 78,88]
∂
q
=
t
∂xδHδq
, (3.12)
где δ/δ q — вариационная производная функционала Гамильтона H [q]:
∞
1
lim
(H [q + εδq] −H [q]) =
ε
ε→0
−∞
δH
δqdx. (3.13)
δq
Гамильтониан H для уравнения (3.11) имеет вид
∞
H =
−∞
1
q
2
2
3
− q
x
dx. (3.14)
Уравнение (3.12) аналогично выражению:
˙z = J ∇H (z) , (3.15)
справедливому для конечномерных систем, где z — вектор с компонентами
(q
, ..., qn; p1, ..., pn), J — антисимметричная матрица и ∇ —оператор
1
с компонентами
∂
∂p
, ...,
1
∂
∂p
.
n
Уже упоминалось, что решение задачи Коши для уравнения Кортевега – де Вриза может быть получено методом обратной задачи рассеяния.
Эта ситуация типична для точно решаемых нелинейных уравнений. С одной стороны, их решение может быть получено методом обратной задачи
рассеяния, но с другой — их можно рассматривать как бесконечномерную
гамильтонову систему и поэтому такие уравнения часто называются интегрируемыми уравнениями.
3.2. Преобразование Коула – Хопфа для уравнения
Бюргерса
Покажем, что уравнение Бюргерса:
u
+ uux= μu
t
xx
(3.16)
142 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
с помощью преобразования [126, 178]
u = −2μ
∂ ln z
∂x
можно свести к линейному уравнению.
Действительно, учитывая (3.17), имеем соотношение:
∂
u
+ uux− μuxx= −2μ
t
∂x
1
(z
− μzxx) , (3.18)
t
z
из которого следует, что решение уравнения теплопроводности:
z
− μzxx=0 (3.19)
t
по формуле (3.17) преобразуется в решение уравнения (3.16).
Преобразование Коула – Хопфа (3.17) позволяет найти решение задачи
Коши для уравнения Бюргерса.
Пусть в начальный момент имеем
u (x, t =0)=ϕ (x) , (3.20)
тогда из (3.17) получаем
z (x, t =0)=Ψ(x)=exp
⎧
⎨
⎩
x
1
2μ
ϕ (ξ) dξ
0
−
⎫
⎬
. (3.21)
⎭
Решение задачи Коши для линейного уравнения теплопроводности находится с помощью функции Грина [5, 89]:
z (x, t)=
1
2√πμ t
∞
Ψ(θ)exp−
−∞
(x − θ)
4μt
2
dθ. (3.22)
(3.17)
Используя (3.22), получаем решение задачи Коши для уравнения Бюргерса в виде
u (x, t)=
∞
-
−∞
(x − θ)
t
∞
-
exp−
−∞
exp−
G (θ,x, t)
G (θ,x, t)
2μ
2μ
dθ
, (3.23)
dθ
3.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОУЛА – ХОПФА 143
где
θ
G (θ,x, t)=
(x − θ)
2t
2
+
ϕ (ξ) dξ. (3.24)
0
Рассмотрим решение (3.23) при фиксированных x и t иприμ → 0.
Основной вклад в интегралы в (3.23) дают окрестности стационарных точек
функции G (θ, x,t),таких,что
x − θ
=0. (3.25)
t
θ = θ
∂G
= ϕ(θ) −
∂θ
Пусть θ
∗
∗
= θ (x, t) — решение этого уравнения, тогда интеграл вблизи
вычисляется приближенно методом перевала [83] в соответствии с
формулой:
∞
g (θ)exp−
−∞
G (θ,x, t)
2μ
dθ ≈ g (θ
∗
)
4πμ
G(θ∗)
1
2
exp−
G (θ
2μ
∗
)
.
(3.26)
В этом случае из (3.23) имеем
∗
) −
x − θ
x − θ
t
, (3.27)
t
∗
=0. (3.28)
∗
— корень уравнения
где θ
u (x, t) ≈
∗
ϕ (θ
Таким образом, решение (3.23) при μ → 0 можно представить в виде
u (x, t) ≈ϕ (θ
∗
) ,x= θ∗+ ϕ (θ∗) t. (3.29)
Оно совпадает с решением задачи Коши для простейшего квазилинейного уравнения:
∂u
∂t
+ u
∂u
=0,u(x, t =0)=ϕ (x) , (3.30)
∂x
которое получено в п. 1.10 методом характеристик.
Таким образом, решение задачи Коши для уравнения Бюргерса находится в виде квадратур и это уравнение можно отнести к числу интегрируемых уравнений. Однако, как правило, о таких уравнениях говорят, как о
точно решаемых, оставляя понятие интегрируемых уравнений за гамильтоновыми системами.
144 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
3.3. Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения
Кортевега – де Вриза
После открытия солитона [270] многие исследователи предприняли
попытки найти преобразование для уравнения Кортевега – де Вриза, аналогичное преобразованию Коула – Хопфа. Это удалось сделать Р. Миуре,
который установил что преобразование
2
u = v
− v
x
позволяет находить решения уравнения Кортевега – де Вриза
(3.31)
K [u]=u
+6uux+ u
t
=0 (3.32)
xxx
при известном решении модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза
M [v]=v
− 6v2vx+ v
t
=0. (3.33)
xxx
Миура нашел, что для уравнений (3.32) и (3.33) справедливо соотношение:
K [u]=
∂
− 2vM [v] . (3.34)
∂x
Однако преобразование (3.31) само по себе не упрощает решение уравнения Кортевега – де Вриза, поскольку связывает решения двух нелинейных
уравнений. Тем не менее, именно это преобразование стало ключом к открытию метода обратной задачи рассеяния.
Заметим, что модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза (3.33)
можно представить в виде
− 6v2vx+ v
v
t
xxx
= vt+
∂
∂x
∂
∂x
+2v
v
x
− v
2
=
= v
∂
+
t
∂x
∂
+2vu =0,
∂x
и поэтому уравнения (3.31) и (3.33) можно записать как систему уравнений:
= u + v2;
v
x
∂
= −
v
t
∂x
∂
+2vu .
∂x
(3.35)
3.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МИУРЫ И ПАРА ЛАКСА 145
При этом условие совместности для уравнений (3.35)
(v
)t=(vt)
x
x
(3.36)
дает уравнение Кортевега – де Вриза (3.32). Уравнение (3.32) допускает
группу преобразований Галилея, поэтому в преобразование Миуры (3.31)
можно добавить постоянное число λ. В этом случае система уравне-
ний (3.35) примет вид
v
= u + λ + v2;
x
(3.37)
∂
= −
v
t
∂x
∂
+2v(u − 2λ) . (3.38)
∂x
Если ввести замену
Ψ
v = −
x
, (3.39)
Ψ
то систему уравнений (3.37) можно привести к системе линейных уравнений [155]
+(u + λ)Ψ=0;
Ψ
xx
(3.40)
=(c + ux)Ψ− 2(u −2λ)Ψx,
Ψ
t
где c(t) — находится при интегрировании (3.38) по x.
Система уравнений (3.40) может быть представлена в виде [215]
/
LΨ=λΨ; (3.41)
Ψ
=/AΨ, (3.42)
t
где/L — оператор Шредингера
2
/
L = −
∂
− u (3.43)
2
∂x
и/A — вспомогательный эволюционный оператор, имеющий вид
/
A =2(2λ − u)
∂
∂x
+(c + u
) . (3.44)
x
Используя условие совместности
)t=(Ψt)xx, (3.45)
(Ψ
xx
146 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
находим, что уравнение Кортевега – де Вриза эквивалентно операторному
уравнению [1,28, 78,215, 220,244]:
+
/
/L,/
L
+
t
A,=0, (3.46)
+
/L,/
где
A,— коммутатор.
Если задано нелинейное уравнение в частных производных:
u
= E (u, ux, ..., x, t) , (3.47)
t
то можно дать определение.
Определение 3.2. Система уравнений (3.41), (3.42) называется парой
Лакса для уравнения (3.47), если операторное уравнение (3.46) эквивалент-
но уравнению (3.47).
Уравнение Кортевега – де Вриза относится к классу нелинейных уравнений в частных производных, которые не могут быть сведены к одному
линейному уравнению. Однако оно эквивалентно системе линейных уравнений относительно новой функции Ψ(x, t, λ).
Используя систему уравнений (3.41) и (3.42), можно построить решение задачи Коши уравнения Кортевега – де Вриза методом, получившим
название метода обратной задачи рассеяния.
В этом методе при заданном начальном условии для уравнения (3.32)
u (x, t =0)=f (x) , (3.48)
таком, что
∞
(1 + |x|) |f (x)| dx < ∞, (3.49)
−∞
находятся данные рассеяния путем решения стационарного уравнения Шредингера (3.41). Затем из уравнения (3.42) определяется временная зависимость данных рассеяния. После чего решается обратная задача: определяется потенциал, который как раз и является решением уравнения Кортевега –
де Вриза.
3.4. Законы сохранения для уравнения Кортевега –
де Вриза
Законы сохранения являются важнейшими свойствами физических систем и широко используются при формулировке математических моделей и
3.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ 147
при решении различных задач математической физики. Они занимают особое место в газовой динамике, поскольку математические модели газовой
динамики включают в себя законы сохранения массы, импульса и энергии.
Так, уравнение непрерывности, отражающее закон сохранения массы газа,
имеет вид
∂ρ
∂t
∂
+
(ρu)=0, (3.50)
∂x
где ρ — плотность газа; u — его скорость; x — координата; t —время.
Интегрируя это уравнение по x, получаем
∞
d
dt
−∞
ρdx = ρu|
∞
. (3.51)
−∞
Предполагая, что потоки массы газа при x →±∞равны нулю,
из (3.51) находим, что интеграл от плотности
∞
ρdx = const (3.52)
−∞
не зависит от времени и является сохраняющейся величиной. Аналогичные соображения могут быть высказаны относительно любого уравнения
математической физики, которое представляется в виде [78, 136]
∂X
∂T
∂t
+
=0. (3.53)
∂x
Определение 3.3. Говорят, что уравнение в частных производных
E (u, u
, ... ,x, t)=0 (3.54)
x,ut
имеет n законов сохранения, если оно может быть представлено в виде
∂T
где T
— плотность; Xi— поток; причем Tiи Xiзависят от u и ее произ-
i
∂t
∂X
i
i
+
=0,i=1, ..., n, (3.55)
∂x
водных по x и t.
Открытие солитонов поставило вопрос о законах сохранения для уравнения Кортевега – де Вриза:
+6uux+ u
u
t
=0. (3.56)
xxx
148 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Очевидно, что это уравнение может быть представлено в виде
∂u
∂t
∂
+
∂x
u
xx
+3u
2
=0, (3.57)
и поэтому для этого уравнения можно взять
= u, X1= uxx+3u2, (3.58)
T
1
что дает
∞
udx = const. (3.59)
−∞
Были найдены также два других закона сохранения:
2
T
= u2,X2=2uuxx− u
2
x
+4u
3
(3.60)
и
T
3
= u3−
1
2
u
,X3=3u2uxx+
x
2
9
4
u
2
− 6uu
2
+ uxu
x
xxx
1
2
u
+
2
. (3.61)
xx
Однако новые законы сохранения для уравнения Кортевега – де Вриза
оказалось найти сложнее. К. Гарднер предложил для этой цели использовать
преобразование Миуры в виде [1, 78]
u = w −εw
− ε2w2, (3.62)
x
позволяющее получить соотношение между:
2
w
+6w − ε2w
t
w
x
+ w
=0 (3.63)
xxx
и уравнением Кортевега – де Вриза (3.56). Это соотношение имеет вид
u
+6uux+ u
t
=1 − 2ε2w − ε
xxx
∂
∂x
"
w
+6w − ε2w
t
2
w
+ w
x
#
xxx
(3.64)
Из (3.64) следует, что u (x, t) не содержит параметр ε.Этовозможно, если w = w (x, t, ε).Будемискатьw (x, t, ε) в виде разложения по
степеням ε:
w (x, t, ε)=
∞
wn(x, t) εn. (3.65)
n=0
.
3.5. ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА 149
Из (3.63) получаем
∞
w (x, t, ε) dx = const, (3.66)
−∞
ипоэтому
∞
wn(x, t) dx = const,n=1, 2, .... (3.67)
−∞
Подставляя (3.65) в формулу (3.62) и приравнивая выражения при одинаковых степенях ε нулю, имеем
= u, w1= w
w
0
= w
w
2
1,x
+ w
2
0
= ux,
0,x
= uxx+ u2,
(3.68)
= w
w
3
= w
w
4
+2w0w2+ w
3,x
+2w0w1= u
2,x
2
= u
1
xxx
+6uuxx+5u
xxxx
+4uux,
2
+2u3.
x
Все эти выражения дают законы сохранения для уравнения Кортевега –
де Вриза. Процедура поиска w
может быть продолжена, что ведет к беско-
n
нечному множеству законов сохранения. Это важное свойство типично для
точно решаемых уравнений методом обратной задачи рассеяния.
3.5. Отображения и преобразования Бэклунда
Можно заметить, что преобразования играют важную роль при исследовании нелинейных уравнений в частных производных. Мы видели, что
преобразование Коула – Хопфа позволило свести уравнение Бюргерса к линейному уравнению теплопроводности. С помощью преобразования Миуры
уравнение Кортевега – де Вриза удалось представить в виде пары Лакса.
Обобщение К. Гарднером преобразования Миуры позволило найти бесконечное количество законов сохранения для уравнения Кортевега – де Вриза.
Перечисленные преобразования позволяют при известном решении одного
из уравнений находить решения других уравнений и, по существу, являются отображениями решений одного уравнения на решение другого. Дадим
определение.
150 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Определение 3.4. Пусть заданы два дифференциальных уравнения:
D [u]=0 (3.69)
и
E [v]=0. (3.70)
Будем говорить, что дифференциальная подстановка
u = F [v, v
, ...] (3.71)
x
является отображениемуравнения (3.70) на уравнение (3.69), если найдется
оператор/B,такой,что
D [F [v]] =/BE [v] . (3.72)
Дифференциальная подстановка (3.71) очень важна для поиска решений уравнения (3.70). Однако при построении решений точно решаемых
уравнений более важными подстановками являются преобразования Бэклунда [1, 70,78, 117,256].
Определение 3.5. Два соотношения:
[u, v, λ]=0,i=1, 2 , (3.73)
R
i
называются преобразованиями Бэклунда для уравнений (3.69) и (3.70), если
уравнения (3.69) и (3.70) и соотношения (3.73) являются совместными.
Под совместностью уравнений (3.69), (3.70) и соотношений (3.73) имеется в виду следующее. Если задано решение уравнения (3.69), то из соотношений (3.73) находится однозначно решение уравнения (3.70), и наоборот.
Определение 3.6. Если уравнения (3.69) и (3.70) совпадают при замене
u → v, то соотношения (3.73) называются автопреобразованием Бэклунда.
Очень важным обстоятельством является то, что в соотношения (3.73)
входит постоянный параметр λ.
В качестве примера рассмотрим условия Коши – Римана и покажем, что
они являются автопреобразованием Бэклунда для уравнения Лапласа [1]:
2
∂
∂x
2
∂
u
u
+
2
=0. (3.74)
2
∂y
Пусть u — решение уравнения (3.74). Покажем, что v, которое находится из условий Коши — Римана
∂u
∂x
= −
∂v
∂y
∂v
∂x
∂u
=
, (3.75)
∂y
,
является также решением уравнения (3.74).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]