Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
2.9. МЕТОД ПЕНЛЕВЕ 101
Пусть задана нормальная система обыкновенных дифференциальных
уравнений
dy
k
dz
= F
k(y1,y2
, ..., yn,z,α) , (k =1, ..., n) , (2.117)
где α —малыйпараметр,n — число уравнений.
Определение 2.14. Система уравнений
d˜y
k
= F
(˜y1, ˜y2,..., ˜yn,z,0) , (k =1, ..., n) (2.118)
dz
k
называется упрощенной системой уравнений для (2.117).
Относительно системы уравнений (2.117) справедливы две теоремы
Пуанкаре, которые примем без доказательства.
Теорема 2.5. Если правые части уравнений (2.117) голоморфны при
α =0и упрощенная система уравнений (2.118) имеет голоморфные ре-
шения ˜y
(z) , (k =1, ..., n) вдоль некоторого пути L на плоскости ком-
k
плексной переменной z, то система уравнений (2.117) при достаточно
малых α имеет также голоморфные решения y
(z, α) вдоль L.
k
Теорема 2.6. Решения системы уравнений (2.117), разложенные в ря-
ды по степеням α
y
(z, α)=y
k
(0)
(z)+αy
k
(1)
(z)+α2y
k
2
(z)+ ..., (k =1, ..., n) ,
k
(2.119)
сходятся при достаточно малых α.
Первые члены y
(0)
(z) разложений (2.119) являются решениями соот-
k
ветствующей системы упрощенных уравнений (2.118)
(0)
(z)= ˜yk(z) , (k =1,..., n) .
y
k
Все остальные члены разложений y
(1)
k
(z),y
(2)
(z), ..., находятся из
k
решения системы линейных уравнений [14].
Пуанкаре применил эти теоремы для решения задач небесной механики, где малый параметр возникал из физической постановки задач. Однако
Пенлеве при поиске уравнений с решениями, являющимися однозначными функциями, искусственно ввел малый параметр в уравнения, используя
преобразования переменных. Суть α-метода Пенлеве состоит в следую-
щем [14, 130,132].
102 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Пусть дано нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение
E (y
, ..., y, z)=0. (2.120)
z
Преобразуя переменные y и z в уравнении (2.120) в соответствии с
формулами
z = z
+ αx, (2.121)
0
∞
y = α
p
l=0
(l)
αlu
, (2.122)
исходное дифференциальное уравнение (2.120) приводится к виду
∞
E = α
m
l=0
(l)
αlE
=0. (2.123)
Уравнение
в (2.123) с неизвестной функцией y
+
(0)
E
,
(0)
x, y
=0
(0)
(x) является как раз упрощенным
уравнением для (2.120). Целые значения p и m в (2.122) и (2.123) выбираются оптимальными в том смысле, чтобы упрощенное уравнение, с
одной стороны, оставалось нелинейным, а с другой стороны, содержало
постоянные коэффициенты. Фактически p и m выбираются такими, чтобы
упрощенное уравнение могло бы быть решено.
Метод Пенлеве, как и метод Ковалевской, может быть сформулирован
также в виде трех последовательных шагов. На первом шаге определяются
значения p для новых переменных, которых, вообще говоря, может быть
несколько. На втором шаге находится решение y
(0)
(x) упрощенного уравнения. Полученное решение не должно иметь критических подвижных особых, тогда и решения последующих линейных уравнений могут не иметь
их. На третьем шаге определяются y
ции постоянных как решения уравнений E
(l)
(x) для всех l 1 методом вариа-
(l)
=0. Эти решения также не
должны содержать критических подвижных точек.
Для определения y
найти общее решение y
(l)
(x), (l =1, ...) в разложении (2.119) достаточно
k
(0)
(x) упрощенного уравнения. Однако во многих
k
случаях такой необходимости нет, и можно ограничиться частным решением упрощенного уравнения, которое позволяет найти решения системы
линейных уравнений для определения всех y
(l)
(x). Это обстоятельство су-
k
щественно упрощает применение α-метода Пенлеве.
2.9. МЕТОД ПЕНЛЕВЕ 103
Рассмотрим применение α-метода Пенлеве для анализа дифференци-
ального уравнения [130]
2
y
d
− 6y2− q (z)=0. (2.124)
2
dz
Используя замену переменных (2.121) и (2.122), уравнение (2.124) мож-
но представить в виде
2
d
dx
−α
2
2−p
(0)
y
+ αy
(1)
+ ...− 6α
)+αxq(z0)+
q (z
0
p+2
(0)
y
2
α2x
q(z0)+ ... .
2
+ αy
(1)
+ ...
2
−
Вкачествеp выбираем p = −2, тогда получаем m =1.
Упрощенное уравнение для (2.124) имеет вид
(2.125)
2y(0)
d
(0)
=
E
dx
2
− 6y
2
(0)
=0. (2.126)
Общее решение этого уравнения выражается через эллиптическую
функцию Вейерштрасса
(0)
(x)=℘ (x −c0, 0,g3) , (2.127)
y
где c
и g3— произвольные постоянные.
0
Вспомогательное уравнение
+
E
x, y
(0)
,
v =
2
d
v
− 12℘ (x − c0, 0,g3) v =0 (2.128)
2
dx
имеет общее решение в виде
(x℘+2℘)+c2℘
v = c
1
и не содержит критических особых точек.
Из (2.125) имеем
= E
+
(1)
E
x, y
(0)
,
(1)
y
=0; (2.130)
(2.129)
104 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
= E
= E
,
(0)
,
(5)
y
(6)
= −12y
+
+
(4)
y
= −12y
(2)
E
(3)
E
= E
= E
+
x, y
+
+
x, y
(0)
x, y
(0)
,
y
(4)
E
(5)
E
(6)
= E
E
Частные решения уравнений (2.130), (2.131) и (2.132) можно взять в
(l)
виде y
=0, (l =1, 2, 3). Используя (2.129), из уравнений (2.133)–(2.135)
(0)
x, y
(0)
x, y
= −12y
(1)y(5)
,
y
,
y
(1)y(3)
(1)y(4)
(2)
(3)
+ y
= −6y
= −12y
− 6y
+ y
(2)y(4)
(1)
(1)y(2)
(2)
(2)y(3)
2
; (2.131)
; (2.132)
2
− q0; (2.133)
− q
x; (2.134)
0
2
(3)
− 6y
имеем частные решения в виде
−
1
q
x2.
0
2
(2.135)
#
; (2.136)
(2.138)
#
,
где q
0
(5)
y
q
(6)
y
=
48
+x
≡ q (z0) ,q
(4)
=
y
=
"
0
(x℘
3
℘ + x2ξ −2x lnσ +2-ln σdx℘
= q(z0) ,q
0
24
"
q
0
2℘℘
2x
24
+2℘)x2+2xξ − 2lnσ+
2x℘℘
+2℘2− ξ℘
+2x℘2+(x℘+2℘) ξ#; (2.137)
= q(z0).
0
"
q
0
В (2.136)–(2.138) функции ξ и σ определяются уравнениями
= −℘, σ= −ξσ.
ξ
Из (2.138) видно, что в решении y
жение, которое дает критические особые точки при q
для того чтобы уравнение (2.134) не имело критических подвижных особых точек, в нем следует полагать q
(6)
появилось логарифмическое выра-
=0. В этом случае уравнение (2.134)
0
=0. Следовательно,
0
является первым уравнением Пенлеве.
В качестве еще одного примера рассмотрим применение α-метода Пенлеве для доказательства теоремы 2.4 [14]. Пусть задано уравнение
dy
= R(y, z). (2.139)
dz
2.9. МЕТОД ПЕНЛЕВЕ 105
Найдем выражение R (y, z), для которого решение уравнения (2.139)
не имеет критических подвижных особых точек. Пусть R (y, z) не является
полиномом от y, тогда уравнение (2.139) вблизи одного из полюсов может
быть представлено в виде
dy
dz
P (y, z)
=
(y − q (z))
, (2.140)
k
где P — голоморфная функция в некоторой окрестности точки z
),причемz0не является особой точкой функции R (y, z).
= q(z
0
Полагая
y = w + q (z) , (2.141)
имеем для w (z) уравнение:
P
(w, z)
dw
dz
1
=
. (2.142)
k
w
Предполагая, что в (2.142)
p
w = α
˜y (x) ,z= z0+ αqx, (2.143)
приходим к уравнению
d˜y
dx
= α
q−p(1+k)
P1(αp˜y, z0+ αqx)
k
˜y
. (2.144)
Пусть p =1,тогдаq = k +1. Из (2.144) имеем упрощенное уравнение
P
d˜y
dx
(0,z0)
1
=
, (2.145)
k
˜y
и y0=
0
которое имеет решение
k+1
˜y =
(k +1)P1(0,z0) x + c (2.146)
с критическими особыми подвижными точками при всех k =0.
Следовательно, если R (y, z) не является полиномом от y и z, то уравнение (2.139) имеет решения с критическими подвижными особыми точками.
106 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Если R (y, z) полином от y и z, то уравнение (2.139) можно представить
ввиде
y
= A0(z) yn+ A1(z) y
z
n−1
+ ... + An(z) , (2.147)
где n 1.
Полагая в этом уравнении
y = α
−1
˜y, z = z0+ α
n−1
x, (2.148)
имеем
d˜y
dx
= A
0
n−1
+ α
z
0
x˜yn+ αA
1
n−1
+ α
z
0
x˜y
n−1
+ .... (2.149)
Откуда при α =0получаем упрощенное уравнение
d˜y
dx
= A
)˜yn, (2.150)
0(z0
решение которого при n>1 имеет вид
1
−
˜y (x)=[c −(n − 1) A
n−1
x]
0
. (2.151)
Из (2.151) следует, что при n =2уравнение (2.150) (и, следовательно, (2.147)) имеет критические особые подвижные точки. Таким образом,
уравнение (2.147) не имеет решений с критическими подвижными особыми точками лишь при n =1(линейное уравнение) и при n =2(уравнение
Риккати).
2.10. Трансцендентная зависимость решений первого
уравнения Пенлеве
Пенлеве и его ученики показали, что решения уравнений (2.52) – (2.57)
не только не имеют критически подвижных особых точек, но не имеют и
существенно особых точек. Кроме того, оказалось, что решения уравнений
Пенлеве являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования. Поскольку таких функций в то время не
было, то это обстоятельство позволило Пенлеве утверждать, что общие решения этих уравнений определяют новые специальные функции.
Теоремы существования решений утверждают, что в случае неподвижных критических точек, решение уравнения второго порядка может быть
2.10. ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ 107
полностью и единственным образом определено при заданных значениях
и y
вточкеz = z0. При этом решение можно рассматривать как функцию
y
0
0
от начальных данных y
и y
. Для зависимости решения от произвольных
0
0
постоянных возможны три различных случая.
Во-первых, решение может быть алгебраической или рациональной
функцией от y
3
=0имеет вид
+ y
и является рациональной функцией от постоянных c
и y
. Например, общее решение уравнения yzz+3yyz+
0
0
+2z
c
y =
2
c1+ c2z + z
2
и c2.
1
(2.152)
Во-вторых, решение может не являться алгебраической функцией от
постоянных, но уравнение может иметь первый интеграл, в который постоянная интегрирования входит алгебраически. Такой случай соответствует
полутрансцендентной зависимости от постоянных интегрирования. Например, уравнение
=3y2+ Ay + B, (2.153)
y
zz
где A и B — коэффициенты, имеет первый интеграл в виде
2
=2y3+ Ay2+2By + c
y
z
и линейно зависит от постоянной интегрирования c
1
.
1
(2.154)
Третий случай зависимости общего решения от постоянных интегрирования отличается от первого и второго и соответствует существенно трансцендентной функции от постоянных интегрирования. Источниками новых
трансцендентных функций, отличных от ранее известных, могут быть решения, относящиеся к этой категории.
На примере первого уравнения Пенлеве
y
zz
+3y2−
z
=0 (2.155)
2
покажем, что общее решение этого уравнения не может быть рациональной,
алгебраической или полутрансцендентной функцией относительно постоянных интегрирования [3,19,130]. Этот факт сформулируемв виде следующей
теоремы.
Теорема 2.7. Общее решение первого уравнения Пенлеве является существенно трансцендентной функцией от постоянных интегрирования.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
В начале покажем, что общее решение уравнения (2.155) не имеет рациональной или алгебраической зависимости от постоянных интегрирования.
108 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Полагая в уравнении (2.155)
z = λz
,y= λ−2y, (2.156)
приведем его к виду
5
λ
y
zz
+3y2−
z
=0 (2.157)
2
(штрихи в последнем уравнении опущены). При λ =0общее решение урав-
нения (2.157) не имеет рациональной зависимости от постоянных интегрирования, поскольку это решение выражается через эллиптическую функцию Якоби. Следовательно, уравнение (2.157) при λ =0также не имеет
рациональной зависимости от постоянных интегрирования. Однако уравнение (2.157) при λ =0имеет первый интеграл и поэтому его решение имеет
полутрансцендентную зависимость от начальных условий. Покажем, что в
отличие от (2.157) при λ =0, уравнение (2.155) не имеет первого интеграла
в виде полинома.
Предположим противоположное, что уравнение (2.155) имеет первый
интеграл
где c
— постоянная интегрирования.
1
P (y, y
,z)=c1, (2.158)
z
В соответствии с определением первого интеграла имеем, что (2.158)
удовлетворяет уравнению
∂P
E =
и y2— соответственно первая и вторая производная от y по z.
где y
1
∂z
∂P
+
∂y
∂P
y
+
1
y2=0, (2.159)
∂y
1
Поскольку (2.159) соответствует исходному уравнению (2.155), то
должно выполняться равенство
z
E = Qy
+3y2−
zz
, (2.160)
2
где Q зависит от y, y
z
и z.
Из сравнения (2.159) и (2.160) имеем, что
∂P
= Q,
∂y
1
и поэтому равенство (2.160) можно представить в виде
∂P
∂z
∂P
+
y
−3y2−
1
∂y
∂P
z
2
=0. (2.161)
∂y
1
2.10. ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ 109
Уравнение (2.161) можно рассматривать как тождество, которому удовлетворяет первый интеграл (2.158). Предположим, что он имеет вид полинома от y, y
,иz [3,19, 204]
1
m
P = y
1
+ q1(z, y) y
m−1
1
+ ...+ q
m−1y1
+ qm(y, z) , (2.162)
тогда подставляя(2.162) в (2.161) и приравнивая выражения при одинаковых
степенях y
нулю, имеем следующую систему уравнений [204,210]
1
∂q
1
=0, (2.163)
∂y
∂y
∂q
2
1
+
∂z
− 3my
2
q1+
2
q
k−1
1
2
mz =0, (2.164)
+
2
1
(m − 1) zq
2
1
(m − k +1)zq
+
2
=0, (2.165)
1
k−1
=0, (2.166)
∂q
k+1
∂y
∂q
+
∂q
3
+
∂y
∂z
∂q
k
− 3(m −k +1)y
∂z
∂q
2
− 3(m − 1) y
(k =3, 4, ..., m− 1) ,
∂q
∂z
m
− 3y
2
q
m−1
1
zq
+
2
=0. (2.167)
m−1
Система уравнений (2.163)–(2.166) может быть последовательно решена, за исключением уравнения (2.167).
Решение уравнения (2.163) имеет вид
= f1(z) , (2.168)
q
1
подставляя q
в (2.164), находим
1
q
= my3−
2
df
1
1
+
dz
zmy + f
2
(z) . (2.169)
2
Из (2.165) и (2.166) можно также получить
=(m − 1) f1y3+
q
3
df
2
dz
1
+
2
−
1
2
(m − 1) zf
2
d
f
2
dz
1
1
+
y + f
m
2
3
(z) .
2
y
−
(2.170)
110 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
df
4
5
4
f1−
d4f
dz
1
4
+
dz
2y2
−
+
1
−
4
1
q4=
2
+(m − 2) y
q
5
9
+
20
3
−
(m − 3) y
4
m (m − 1) y
3
f2+
1
y
−
6
1
(m − 1) (m − 3) y
=
2
m −
8
3
df
4
dz
1
3
y
−
6
6
−
d3f
3
dz
5
y
2
+ ...−
d3f
3
dz
1
4
d2f
dz
2
1
m (m − 2) zy
2
(m − 2) zy
+
++
1
2
1
y
2
6
1
2
d2f
2
y
d2f
2
dz
f1+
1
2
(m − 3) zyf
dz
1
3
1
2
+
3
4
−
(m − 2) y
4
df
1
2
2
1
+
m (m − 2) z
8
dz
df
1
1
4
− u
dz
m −
3
+ f
,
4
13
my
5
(m − 1) (m − 3) zy
1
y
+
3
24
df
3
2
− y
dz
4
+ f
.
5
Приведенные решения позволяют найти первые несколько членов решений q
уравнения (2.161), то найденные при этом q
(k =6, ..., m).Однако,еслиP является первым интегралом
k
и qmдолжны удовлетво-
m−1
рять уравнению (2.167). Покажем, что это не так.
Пусть f
=0, тогда имеем
1
q
= A3ky3k+ ..., q
2k
= B3ky3kf1+ ..., (2.173)
2k+1
(2.171)
(2.172)
где A
и B3k— постоянные коэффициенты. Подстановка (2.173) в уравне-
3k
ние (2.167) приводит к противоречию.
Пусть f
=0, тогда, принимая во внимание решения (2.169)–(2.172),
1
получаем
= A3ky3k−A
q
2k
и
где A
3k
, A
3k−2
q
2k+1
и B
3k−2
3k−1
3k−2
zy
= B
3k−1
+A
3k−1
y
— постоянные коэффициенты одного знака. Под-
3k−3
− B
3k−3
y
3k−2
f2+A
3k−2
y
3k−4
z2y
3k−4
df
2
+ ..., (2.175)
dz
+ ... (2.174)
ставляя (2.174) и (2.175) в уравнение (2.167), получаем также противоречие, которое и доказывает, что первого интеграла в форме полинома нет.
Таким образом, решение уравнения (2.155) является существенно трансцендентной функцией относительно постоянных интегрирования и определяет
новую специальную функцию.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]