Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
2.11. НЕПРИВОДИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 111
2.11. Неприводимость уравнений Пенлеве
Пенлеве не сомневался, что открытые им уравнения определяют новые
специальные функции. Однако его аргументы были скорее интуитивными,
основанными на вере в то, что если дифференциальное уравнение не имеет первых интегралов в форме полиномов и его общее решение является
существенно трансцендентной функцией, то оно должно определять новую функцию. Однако для того, чтобы уравнение определяло новую функцию, требуется строгое доказательство его неприводимости. Под свойством
неприводимости нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения понимается, что оно никаким преобразованием не приводится к линейному дифференциальному уравнению или к нелинейному дифференциальному уравнению меньшего порядка. Соответственно, неприводимость
уравнений Пенлеве означает, что ни одно из этих уравнений не может быть
сведено к линейному уравнению или к нелинейному уравнению первого
порядка.
Новые трансцендентные функции определяются непосредственно самими уравнениями Пенлеве. Попытка сформулировать определение неприводимости впервые было предпринята самим Пенлеве. Он полагал, что
если общее решение дифференциального уравнения второго порядка y
= R(y, y
,z),(R(y, yz,z) — рациональная функция от y, yzи z) не имеет
z
критических подвижных точек и является существенно трансцендентной
функцией от постоянных интегрирования, то такое уравнение неприводимо.
Строгие доказательства свойства неприводимости первого и второго
уравнений Пенлеве даны сравнительно недавно в работах [252–254]. Для доказательства неприводимости первого уравнения Пенлеве Х. Умемура [253]
ввел понятие классической функции. Он определил шесть допустимых операций, с помощью которых строятся новые классические функции.
В своем определении Умемура предложил использовать следующие
операции.
Если f (x) — классическая функция, то производная от f(x) по x является новой классической функцией.
Если f (x) и g(x) — классические функции, то сумма f (x)+g(x),разность f(x) − g(x), произведение f (x)g(x) и частное f(x)/g(x) являются
новыми классическими функциями.
Пусть a
,...,an— n классических функций, тогда алгебраическая
1,a2
функция f или решение f алгебраического уравнения
n
f
+ a1f
n−1
+ a2f
n−2
+ ...+ an=0
zz
=
будет новой классической функцией.
112 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Если f — классическая функция, тогда интеграл-fdx является новой
классической функцией.
Пусть a
,...,an— n классических функций, тогда любое решение f
1,a2
линейного дифференциального уравнения:
n
d
f
n
dx
будет новой классической функцией.
Пусть A = C
структурой Γ ⊂ C
n
/Γ является абелевым многообразием с топологической
n
и проекцией π: Cn→ A.Тогдаеслиf1,f2,...,fn,
+ a
n−1
d
f
dx
+ ...+ anf =0
n−1
1
будут классическими голоморфными функциями, то ϕ ◦ π ◦ F ,гдеF =
=(f
(x),f2(x),...,fn(x)) является новой классической функцией для лю-
1
бой мероморфной функции ϕ на абелевом многообразии A.
Перечисленные допустимые операции имеют групповую природу.
Функция f (x) называется неприводимой на C, если она не является классической.
Привлекая для анализа первого уравнения Пенлеве конечномерные
дифференциальные группы Галуа, Умемура доказал теорему [253].
Теорема 2.8. Любое голоморфное решение y(z) первого уравнения Пен-
леве — не классическое. Другими словами, общее решение первого уравнения
Пенлеве y(z) не выражается через постоянные интегрирования с помощью
шести описанных выше допустимых операций для классических функций.
Фактически идея классической и не классической функции была также упомянута Пенлеве. Однако, чтобы дать строгое определение свойства
неприводимости дифференциального уравнения потребовались современные понятия алгебраической геометрии и дифференциальной алгебры.
Умемура также доказал, что отсутствие первых интегралов для уравнений Пенлеве эквивалентно свойству неприводимости этих уравнений.
Поэтому доказанная выше теорема о том, что общее решение первого уравнения Пенлеве является существенно трансцендентной функцией, по существу, является доказательством неприводимости этого уравнения.
Доказательство неприводимости второго уравнения Пенлеве потребовало выделить возможные рациональные и специальные решения, которые
имеет второе уравнение Пенлеве при некоторых фиксированных значениях
параметров уравнения. Эти решения могут быть получены с помощью так
называемых преобразований Бэклунда.
2.12. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 113
2.12. Преобразования Бэклунда для решений второго
уравнения Пенлеве
Решения всех уравнений Пенлеве являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования, однако
все они, за исключением P
при некоторых значениях параметров уравнений. Эти решения находятся с
помощью преобразований, называемых преобразованиями Бэклунда [68].
Найдем эти преобразования для второго уравнения Пенлеве
Уравнение (2.176) может быть представлено в виде системы двух уравнений
Это легко проверяется подстановкой p из (2.178) в (2.177).
Кроме того, уравнение (2.176) может быть представлено системой уравнений вида
что доказывается подстановкой n из (2.180) в (2.179).
С другой стороны, подставляя y из (2.177) в (2.178), имеем уравнение
для p(z)
, имеют рациональные и специальные решения
1
y
=2y3+ zy + α. (2.176)
zz
1
− 2py −
p
z
y
+ y2+
z
n
+2n˜y −
z
˜y
− ˜y2−
z
2
p
p
zz
z
−
4p
+
2
p
− α =0, (2.177)
2
1
z −p =0. (2.178)
2
1
+˜α =0, (2.179)
2
1
z + n =0, (2.180)
2
8p
2
+ z =2p (2.181)
2
(1 + 2α)
и уравнение для n(z)
8n
2
+ z =2n, (2.182)
2
2
n
n
zz
−
n
4n
z
2
(1 − 2˜α)
+
которое получается путем подстановки ˜y из (2.179) в (2.180).
Из сравнения уравнений (2.181) и (2.182) следует, что они совпадают
вдвухслучаях:
114 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
1) p = n и α = −˜α и2)p = n и ˜α = α +1.
При этом из (2.177) и (2.179) получаем две формулы
p
1+2α
z
y =
2p
−
4p
и
n
1 − 2˜α
z
˜y = −
2n
+
. (2.184)
4n
Первый случай соответствует очевидной симметрии второго уравнения
Пенлеве
˜y (z, ˜α)=−y (z, −α) . (2.185)
Для второго случая из (2.183) и (2.184) находим соотношение
(2.183)
y (z, α)+
1+2α
4p
= −˜y (z, ˜α)+
1 − 2˜α
. (2.186)
4n
Откуда, с учетом (2.178) и (2.180), приходим к соотношениям между
решениями y(z,α +1),y(z,α),y(z,α − 1) второго уравнения Пенле-
ве [68]:
y (z, α +1)=−y (z, α) −
y (z, α − 1) = −y (z, α) −
1+2α
2yz+2y2+ z
1 − 2α
2yz− 2y2− z
,α= −
,α=
1
, (2.187)
2
1
. (2.188)
2
Эти преобразования для решений второго уравнения Пенлеве носят
название преобразований Бэклунда, а иногда бирациональных преобразова-
ний. Они позволяют находить некоторые рациональные (в виде отношения
многочленов от z) и специальные решения второго уравнения Пенлеве.
2.13. Рациональные и специальные решения второго
уравнения Пенлеве
С помощью преобразований, полученных в п 2.12, найдем рациональные и специальные решения уравнения (2.176).
Используя (2.187), вначале найдём несколько рациональных решений
уравнения (2.176). Очевидно, что y =0при α =0. Тогда из (2.187) имеем
3
− 2
y (z, 1) = −
1
,y(z, 2) = −
z
2z
zz3+4
,
2.13. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 115
y (z, 4) = −
6
+8z3+ 160z
y (z, 3) = −
15
4z
+50z12+ 1000z9− 22400z6− 112000z3− 224000
3z
3
z
+4z6+20z3− 80
2
, (2.189)
.
zz6+20z3− 80z9+60z6+ 11200
Таким образом, при целых положительных значениях α существуют
рациональные решения второго уравнения Пенлеве. Решения при отрицательных целых значениях α можно найти из (2.189), принимая во внимание
симметрию решений (2.185) второго уравнения Пенлеве.
Используя преобразования (2.187) и (2.188), можно найти также специальные решения второго уравнения Пенлеве.
Подставляя (2.179) в (2.180), имеем соотношение
˜y
− 2˜y3− z ˜y − ˜α =
zz
d
+2˜y˜y
dz
− ˜y2−
z
1
2
z+
1
− ˜α, (2.190)
2
из которого следует, что решение уравнения Риккати
1
˜y
z
− ˜y2−
z =0 (2.191)
2
является так же решением второго уравнения Пенлеве при ˜α =1/2.
Заменой
˜y = −
ω
z
ω
(2.192)
(2.191) приводится к линейному уравнению
1
ω
zω =0, (2.193)
+
zz
2
решения которого выражаются через функцию Эйри.
Таким образом, имеем специальные решения
= −
3
+ zωzω
z
ω2ω
2
ω
z
,
ω
2
z
2
+ zω
z
2zω
ω2− ω3+4ω
z
− ω
2
yz,
1
yz,
2
2ω
3
yz,
5
=
2
ω6ω
3
z
=
2
ω + z3ω4+3zω3ωz+4z2ω2ω
2
zω
+2ωz
3
, (2.194)
2
+4zω
z
3
z
4
z
− ω
4
116 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
при полуцелых значениях α,гдеω — решение уравнения для функций
Эйри (2.193). Решения для отрицательных полуцелых значений α находятся
из (2.194) с учетом симметрии уравнения.
Аналогичные типы решений получены и для остальных уравнений
Пенлеве [19]. Однако для первого уравнения Пенлеве рациональных и
специальных решений, выраженных через классические трансцендентные
функции, нет.
2.14. Дискретные уравнения Пенлеве
Уравнения Пенлеве можно рассматривать как нелинейные аналоги
уравнений, определяющих специальные функции. Из курса математической физики известно, что для большинства специальных функций имеются
рекурсивные формулы, связывающие решения специальных функций при
различных параметрах уравнений. Например, для функции Бесселя J
полиномов Лежандра P
(x) и полиномов Чебышева Hn(x) справедливы
n
следующие соотношения [5,89]:
J
ν+1
(x)+J
(x)=Jν(x), (2.195)
ν−1
ν
(x),
(n +1)P
(x)+(2n +1)xPn(x)+nP
n+1
H
(x) − 2xHn(x)+2nH
n+1
(x)=0, (2.196)
n−1
(x)=0. (2.197)
n−1
В последнее десятилетие проявляется интерес к дискретным уравнениям Пенлеве, которые, по существу, являются функциональными соотношениями для решений уравнений Пенлеве. Дискретные уравнения Пенлеве
можно представить в виде [39]:
P
где P
,n)+x
x
n+1
,n), (j =1, 2, 3, 4) —многочленыотxnстепени не выше четырех.
j(xn
1(xn
=
P3(xn,n)+x
n−1P2(xn
n−1P4(xn
,n)
, (2.198)
,n)
Дискретные уравнения Пенлеве встречаются в физических приложениях,
например, в теории двумерной квантовой гравитации [130,166] и обладают замечательными свойствами, как и обычные уравнения Пенлеве. У них
имеются преобразования Бэклунда, частные решения, выраженные через
полиномы, специальные функции и многие другие свойства, которые типичны для уравнений Пенлеве.
Имеется несколько подходов для получения дискретных аналогов уравнений Пенлеве [12, 39, 130, 229]. Ряд дискретных уравнений Пенлеве могут
2.14. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ 117
быть получены исходя из соответствующих преобразований Бэклунда. Алгоритм получения дискретных уравнений Пенлеве из преобразований Бэклунда достаточно прост [39, 152]. Преобразования Бэклунда, как правило,
состоят из двух или более соотношений, связывающих два решения при
различных значениях параметров уравнения и производные от зависимых
переменных. Исключение производных из двух соотношений приводит к рекуррентным соотношениям для трёх различных решений соответствующего
уравнения Пенлеве. Полученная алгебраическая зависимость, по существу,
соответствует нелинейному принципу суперпозиции для решений уравнений Пенлеве, и может рассматриваться как дискретное уравнение Пенлеве.
Проиллюстрируем этот подход на примере вывода дискретного уравнения
Пенлеве исходя из преобразований Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве.
Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве
имеют вид:
y(z, α +1)=−y(z, α) −
y(z, α − 1) = −y(z,α)+
Исключив производную y
2y2(z,α)+2yz(z,α)+z
2y2(z,α) − 2yz(z,α)+z
z
чим:
1+2α
y(z, α +1)+y(z,α)
2
+4y
(z,α)+2z =0,α =
Пусть
α
= α +1,αn= α, α
n+1
тогда находим
α = α
где k — произвольная постоянная.
Полагая x
= y(z,αm) в (2.201), имеем разностное уравнение
m
x
n+1
n + k
+ x
+
n
n − 1+k
xn+ x
1+2α
1 − 2α
,α= −
,α=
1
, (2.199)
2
1
. (2.200)
2
из преобразований (2.199) и (2.200), полу-
+
= n + k −
n
n−1
2α − 1
y(z, α)+y(z, α − 1)
1
2
+2x
,α= −
n−1
1
2
1
.
2
= α − 1, (2.202)
,
2
+ z =0. (2.203)
n
+
(2.201)
118 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
где z — параметр. Уравнение (2.203) известно, как альтернативная форма
первого дискретного уравнения Пенлеве (dP
Пенлеве удовлетворяют разностному уравнению (2.203). Полагая x
= −1/z при k=1/2 из (2.203) находим семейство рациональных решений
x
1
). Решения второго уравнения
1
0
=0,
второго уравнения Пенлеве, которое получено в п. 2.13. В случае k =
=1,x
= ωz/ω, x0= −ωz/ω,гдеω(z) — решение уравнения Эйри
−1
1
zω =0, (2.204)
+
ω
zz
2
из (2.203) находится семейство специальных решений второго уравнения
Пенлеве.
В непрерывном пределе дискретные уравнения Пенлеве переходят в
уравнения Пенлеве. Однако некоторые дискретные уравнения Пенлеве в
предельном переходе дают более чем одно уравнение Пенлеве. Одно из
принципиальных отличий дискретных уравнений Пенлеве от непрерывных
уравнений заключается в том, что они не имеют одной единственной канонической формы. Обычно у каждого дискретного уравнения Пенлеве имеется несколько канонических форм.
2.15. Асимптотические решения первого и второго
уравнений Пенлеве
Покажем, что асимптотические решения первого и второго уравнений
Пенлеве при |z|→∞выражаются через эллиптические функции Якоби и
Вейерштрасса [19, 109].
Вначале рассмотрим первое уравнение Пенлеве
y
− 3y2− z =0. (2.205)
zz
Введём в (2.205) новые переменные
n
Y (x),x = ϕ(z). (2.206)
y = z
Тогда имеем соотношения:
n−1
= n(n −1)z
y
zz
n−2
= nz
y
z
Y +2nz
Y + znϕzYx, (2.207)
n−1
ϕzYx+ znϕzzYx+ znϕ
Подставляя (2.206) и (2.208) в уравнение (2.205), получим:
nϕ2
z
Yxx+ n(n −1)z
z
n−2
Y +2nz
n−1
ϕzYx+ znϕzzYx− 3z2nY2− z =0.
2
Yxx. (2.208)
z
(2.209)
2.15. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 119
Выберем ϕ(z) и n такими, что ведущие члены в уравнении (2.209)
соответствовали ведущим членам уравнения (2.205), а остальные слагаемые
стремились к нулю при |z|→∞. В этом случае приходим к переменной
5
4
x = ϕ(z)=
4
z
+ C1.
5
Уравнение (2.209) принимает вид:
Y
− 3Y2− 1 −
xx
5
−
1
2
z
Y +
4
5
−
5
4
z
Yx=0. (2.210)
4
Откуда при |x|→∞приходим к уравнению для Y (x):
− 3Y2− 1=0. (2.211)
Y
xx
Умножая (2.211) на Y
,получим:
x
2
Y
=2Y3+2Y +4C2. (2.212)
x
Полагая Y =2F (x) в (2.212), имеем уравнение для функции Вейер-
штрасса:
2
=4F3+ F + C2. (2.213)
F
x
Таким образом, асимптотическое решение первого уравнения Пенлеве
при |z|→∞выражается формулой:
y(z) ≈
1
1
2
z
2
5
4
4
z
℘
5
+ C1, 1,C
. (2.214)
2
Асимптотическое решение (2.214) получено Бутру, который подробно
исследовал вопрос применимости формулы (2.214) [109].
Для второго уравнения Пенлеве
y
− 2y2− zy − α =0, (2.215)
zz
используя аналогичный подход, находим переменные
y = z
1
2
Y (x) x = ϕ(z)=
3
2
2
z
+ C1. (2.216)
3
120 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Подставляя (2.216) в (2.215), приходим к уравнению:
Y
− 2Y3− Y +
xx
3
−
3
2
z
2
Yx−
1
4
−3
z
Y − αz
3
−
2
=0. (2.217)
Откуда следует, что при |x|→∞,дляY (x) имеем уравнение:
Y
− 2Y3− Y =0. (2.218)
xx
Умножая (2.218) на Y
Используя Y
2
= ω(x), уравнение (2.219) запишем в виде:
,получим:
x
2
Y
= Y4+ Y2+ C2. (2.219)
x
2
=4ω3+4ω2+4C2ω. (2.220)
ω
x
Решение уравнения (2.220) получено в п. 1.2. Следовательно, асимптотическое решение второго уравнения Пенлеве при |z|→∞выражается
через эллиптическую функцию Якоби.
2.16. Линейные представления уравнений Пенлеве
Все уравнения Пенлеве могут быть представлены в виде линейных систем уравнений [1, 78,130, 156,250]. Эти представления позволяют изучить
задачу Коши для этих уравнений так же детально, как и решения линейных уравнений [150, 168]. Поэтому, несмотря на то, что уравнения Пенлеве
не имеют первых интегралов в виде полиномов и их решения определяют новые неклассические функции, без сомнения, они — точно решаемые
уравнения.
Рассмотрим систему уравнений:
ψ
= U(z, λ)ψ, (2.221)
zz
ψ
=2A(z, λ)ψz+ B(z,λ)ψ. (2.222)
λ
Условие совместности уравнений (2.221) и (2.222)
(ψ
)λ=(ψλ)
zz
zz
приводит к соотношениям:
B
+ Azz=0, (2.224)
z
(2.223)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]