Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
3.19. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 181
Предложение 3.3. Пусть
ω = {z; x}, (3.276)
тогда для уравнений семейства (3.275) справедливы соотношения:
z
xx
=
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
−
z
x
2z
3
t
∂
∂x
∂
+
∂x
∂
∂x
3
+ ωx+2ω
1
2
−
z
z
x
ω
x
−
z
∂
∂x
∂
R [ω]=
∂x
+ zxR [{z; x}]) .
(z
t
(3.277)
Принимая во внимание соотношение Миуры:
2
u
= {z; x}
−
x
2
− uна обе части (3.273), получаем (3.277).
и действуя оператором
ω = u
∂
∂x
Соотношения (3.273), (3.274) и (3.272) показывают, что при известных
решениях уравнений семейства (3.267) можно найти решения уравнений
(3.271) и (3.275), используя формулы (3.269) и (3.276).
В качестве еще одного семейства уравнений рассмотрим класс уравнений вида
u
t
uR
∂
+
∂x
u
xx
u
2
u
3
x
−
2
2
u
2
u
−
=0. (3.278)
2
Для (3.278) справедливо следующее.
Предложение 3.4. Пусть
∂
u =
ln z, (3.279)
∂x
тогда для семейства уравнений (3.278) справедливы соотношения:
uR
u
∂
u
+
t
∂x
∂
=
∂x
xx
u
1
(z
+ zxR [{z; x}]) .
t
z
2
u
3
x
−
2
2
u
2
u
−
=
2
(3.280)
182 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Подставляя (3.279) в левую часть (3.280), приходим к тождеству.
В качестве следующего семейства уравнений рассмотрим частный случай семейства уравнений Калоджеро – Дегаспериса – Фокаса [36]:
1
2kv
e
2
=0. (3.281)
v
+kvx+
t
∂
∂x
R
kv
xx
2
k
2
v
−
−
x
2
Предложение 3.5. Пусть
z
v =
1
k
ln
x
, (3.282)
z
тогда для семейства уравнений (3.281) справедливо равенство:
1
2kv
e
2
=
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
v
+kvx+
t
R
∂
∂x
z
kz
∂
∂x
x
=
kv
1
(z
t
z
2
k
2
v
xx
−
−
x
2
+ zxR [{z; x}]) .
Полагая в (3.283)
z
x
y =
=exp(kv) (3.284)
z
и принимая во внимание соотношение (3.280), получаем (3.283).
Остановимся на семействе нелинейных уравнений:
v
+ v
t
∂y
Rvv
∂
2
yy
1
2
v
−
=0. (3.285)
y
2
(3.283)
Предложение 3.6. Уравнение (3.267), заменой z(x, t) по формулам
z
= v(y),z= y, (3.286)
x
приводится к уравнению семейства (3.285).
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Принимая во внимание, что
z
= vvy,
xx
= v2vyy+ vv
z
xxx
= vt+ vyzt,
z
xt
2
,
y
(3.287)
3.19. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 183
после дифференцирования уравнения (3.267) по x получаем
∂
(z
+ zxR [{z; x}]) = vt+ v
t
∂x
2
∂
∂y
Rvv
yy
1
2
v
−
. (3.288)
y
2
Из приведенных соотношений следует, что семейства уравнений
(3.271), (3.275), (3.278), (3.281) и (3.285) формулами (3.269), (3.276), (3.279),
(3.282) и (3.286) непосредственно связаны с семейством уравнений (3.267).
Решения уравнений этих семейств могут быть найдены при известных решениях (3.267). Далее увидим, что к перечисленным семействам относятся
многие хорошо известные нелинейные уравнения в частных производных.
В общем случае семейство уравнений (3.267), как и остальные семейства уравнений, связанные с ним, не является точно решаемым. Однако эти
семейства содержат в себе многие иерархии точно решаемых нелинейных
уравнений в частных производных.
Полагая
R [ω]=ω (3.289)
в (3.267), имеем уравнение для сингулярной поверхности в виде
2
z
3
+ z
z
t
xxx
xx
−
=0. (3.290)
z
x
2
Это уравнение впервые появилось в работе С.П. Новикова и И.М. Кричевера, и поэтому его часто называют уравнением Кричевера – Новикова.
Семейства уравнений (3.271) и (3.275) в этом случае, как хорошо известно, дают модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза и уравнение
Кортевега – де Вриза соответственно, а уравнение (3.281) переходит в уравнение Калоджеро – Дегаспериса – Фокаса. Уравнение (3.285) приводится
при этом к уравнению Гарри Дима [1]:
v
t
+ v3v
=0. (3.291)
yyy
Естественно, что уравнение (3.291), как и уравнение (3.290), относится
к числу точно решаемых нелинейных уравнений, которые определенными
соотношениями связаны с уравнениями Кортевега – де Вриза.
Возникает важный вопрос: каким следует взять оператор R в уравнении (3.267), чтобы это уравнение, как и все остальные, связанные с ним,
были точно решаемыми уравнениями? Знаем, что уравнение (3.267) пред-
ставляется через инвариантные переменные
и S, и поэтому оно допускает
группу гомографических преобразований (3.230). Имея это в виду, Дж. Вайс
184 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
предложил для уравнения (3.267) искать такие операторы R, которые позволили бы этому уравнению иметь еще одну симметрию в виде [261]
m
= ϕ
z
x
,m<0. (3.292)
x
В этом случае уравнение (3.267) имеет бесконечное число рациональных решений, что соответствует свойству точно решаемого уравнения.
Для полиномиальных уравнений оператор R в (3.267) определяется
тремя рекуррентными формулами.
Первый оператор определяется рекуррентной формулой:
∂
n+1
L
∂
x
= L
n
xxx
+2ωL
n
+ ωxLn,L0[ω]=1.
x
(3.293)
Из (3.293) находятся следующие операторы
1
[ω]=ω, L2[ω]=ωxx+
L
3
L
[ω]=ω
xxxx
5
+
2
2
ω
+5ωωxx+
x
3
2
ω
, (3.294)
2
5
3
ω
. (3.295)
2
Эти операторы приводят к семейству уравнений (3.267), называемому
иерархией Шварца – Кортевега – де Вриза. Первые уравнения этой иерархии таковы:
z
+ zx=0, (3.296)
t
+ zx{z; x} =0, (3.297)
z
t
z
+ z
t
+ z
z
t
x
+5 {z; x}
2
∂
∂x
{z; x} +
2
x
4
∂
{z, x}+
4
∂x
2
∂
{z; x} +
2
∂x
3
2
5
2
{z; x}
5
2
∂
{z, x}
∂x
{z; x}
2
=0, (3.298)
2
+
3
=0.
(3.299)
Эти уравнения приводят к иерархии модифицированных уравнений
Кортевега – де Вриза, первые три уравнения которой имеют вид
+ ux=0, (3.300)
u
t
3
2
u
−
2
ux+ u
u
t
=0, (3.301)
xxx
3.19. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 185
3
5
u
+
=0. (3.302)
8
ut+
Оператор L
∂
u
xxxx
∂x
n
дает также иерархию уравнений Кортевега – де Вриза из
5
2
u
−
2
uxx−
5
2
uu
x
2
семейства (3.275), имеющую вид
∂
∂x
n+1
[ω]=0. (3.303)
L
+
ω
t
Подставляя (3.294) и (3.295) в (3.303), имеем первые три уравнения
иерархии Кортевега – де Вриза.
Второй и третий операторы, соответствующие иерархиям точно решаемых уравнений (3.267), определяются рекуррентными формулами в виде [115, 153,261]
G
= J1(u) θ1(u) Gn, (3.304)
n+2
= J2(v) θ2(v) Hn, (3.305)
H
n+2
где
∂
= D3+2uD + ux,D=
θ
1
1
2uD−1
D
2
+ D−1u
+
J
1
1
8
= D3+
2D−1
u
+
2
,D
1
D
2
−1
, (3.306)
∂x
−1uD2
+
=dx,
(3.307)
= D3+2vD + vx, (3.308)
θ
2
= D3+3(vD + Dv)+2D2vD−1+ D−1vD
J
2
2D−1
+8v
+ D−1v
при начальных значениях
[u]=1,H0[v]=1,
G
[u]=uxx+
G
1
0
1
u2,H1[v]=vxx+4v2.
4
Подставляя (3.310) в (3.304) и (3.305), находим
3
G
H
[u]=u
2
[v]=v
2
xxxx
xxxx
2
u
+
+
x
4
+12vvxx+6v
2
+
2
(3.309)
(3.310)
3
uu
2
xx
1
3
u
+
, (3.311)
6
32
2
x
3
v
+
. (3.312)
3
186 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Очевидно, что используя замены u =4v и u =8v в (3.310) и (3.311),
получаем соотношения:
G
G
[4v]=
1
[8v]=
2
1
[v] ,
H
1
4
1
H
[v] ,
2
8
(3.313)
так что уравнения для сингулярной поверхности
+ zxHn[{z; x}]=0, (3.314)
z
t
ϕ
+ ϕxGn[{ϕ; x}]=0 (3.315)
t
незначительно отличаются друг от друга.
Модифицированные уравнения, которые находятся из (3.271), переходят друг в друга при соответствующей замене переменных. Эти уравнения
были получены в работе А. Форди и Дж. Гиббонса и в литературе называются иерархией Форди – Гиббонса [153, 211]. Эта иерархия может быть
выражена как через операторы G
∂
+
u
t
∂x
∂x
∂
v
+
t
∂x
Семейство уравнений (3.275) с операторамиH
, так и через операторы Hn:
n
∂
+ uH
u
−
n
x
∂
∂x
+ vG
−
v
n
x
1
2
=0, (3.316)
u
2
1
2
v
=0. (3.317)
2
и Gnдают точно реша-
n
емые уравнения иерархий Каупа – Купершмидта и Савады – Котера [245],
имеющих вид
+ θ2Hn(v)=0, (3.318)
v
t
u
+ θ1Gn(u)=0. (3.319)
t
Поскольку уравнения для сингулярной поверхности (3.297) – (3.299),
(3.314) и (3.315) являются точно решаемыми уравнениями, то все уравнения, полученные из семейств (3.271), (3.275), (3.278), (3.281) и (3.285) с использованием операторов L
n
,Hnи Gn, также являются точно решаемыми
уравнениями. Схема соотношений между этими иерархиями представлена
на рис. 3.1.
Из рисунка следует, что, принимая во внимание иерархии нелинейных
уравнений, полученных из семейства уравнений для сингулярной поверхности, имеем 18 иерархий точно решаемых уравнений в частных производных, если под оператором R иметь в виду определенные ранее операторы
n
,Hnи Gn[202].
L
3.20. СЕМЕЙСТВО УРАВНЕНИЙ БЮРГЕРСА 187
Рис. 3.1. Семейства уравнений, которые определяются через решения уравнения
сингулярной поверхности (3.267). Полагая R[u]=L
ные уравнения становятся точно решаемыми.
n
[u], Hn[u] и Gn[u],приведен-
3.20. Семейство уравнений Бюргерса
Найдем иерархию уравнений, которая как и уравнение Бюргерса, сводится преобразованием Коула – Хопфа к линейным уравнениям. Пусть
u =
∂
∂x
ln z =
z
x
. (3.320)
z
188 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Предположим, что линейное уравнение, к которому сводится исходное уравнение, имеет вид [196]
z
= z
, (3.321)
n, x
n
∂
z
=
.
n
∂x
где
z
t
n, x
Из (3.320) имеем
z
xx
u
x
+ u2=
. (3.322)
z
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Пусть u(x, t) связано с z (x, t) преобразованием Коула –
Хопфа, тогда
z
n+1,x
, (3.323)
z
∂x
+ u
n
u. (3.324)
∂
где оператор B
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
n
B
[u]=
n
[u] определяется формулой:
n
B
[u]=
Проводится методом математической индукции. Выражение (3.323)
при n =1совпадает с (3.322). Предположим, что соотношение (3.323)
справедливо при n = k:
k
B
[u]=z
k+1,x
тогда, дифференцируя (3.325) по x, имеем
∂
k
B
∂x
[u]=(z
k+2,x
− zxz
откуда находим
∂
+ uB
∂x
Поскольку
k
[u]=
∂x
+ u
u
k+1
u = B
∂
=
t
∂x
∂
/z, (3.325)
) /z, (3.326)
k+1,x
z
[u]=
k+2,x
z
. (3.327)
k+1
z
t
, (3.328)
z
3.21. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3 189
то, учитывая (3.324), имеем соотношение:
∂
∂x
n+1
B
−
u
t
[u]=
∂
∂x
1
(z
− z
t
z
). (3.329)
n, x
Поэтому иерархия уравнений:
∂
∂x
n+1
B
[u] ,n=0, 1, ... (3.330)
u
=
t
преобразованием Коула – Хопфа сводится к линейным уравнениям (3.321).
Это семейство уравнений называется иерархией Бюргерса.
Используя соотношение (3.323), можно сконструировать также целый
ряд нелинейных «неинтегрируемых» уравнений, имеющих широкий набор
частных решений [56, 196].
3.21. Задачи и упражнения к главе 3
1) При изучении процессов химического обмена встречается нелинейное уравнение [90]:
+ αut+ βux+ γuxut=0. (3.331)
u
xt
Найти линейное уравнение, к которому сводится (3.331), если воспользоваться
заменой u =lnΨ/γ.
2) Показать, что пара Лакса (3.40) для уравнения Кортевега – де Вриза является
одновременно преобразованием Бэклунда для этого уравнения.
3) Задача рассеяния для уравнения Буссинеска [1, 28]:
=u + u2+
u
tt
1
u
xx
4
xx
(3.332)
имеет вид
∂−1u
Ψ+(1+2u)Ψx= λΨ,
t
Ψt=Ψxx+
4
3
(3.333)
uΨ .
Ψ
xxx
+ux+ i
1/2
4
3
1/2
4
i
3
Показать, что (3.333) есть преобразование Бэклунда для (3.332).
190 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
4) Показать, что для нелинейного уравнения Шредингера
iu
+ uxx+ νu|u|2=0 (3.334)
t
плотности в виде
−∞
∞
|u|2dx,
−∞
∞
(u∗ux− u
∗
x
) dx,
−∞
∞
|u|2−
1
2
ν |u|
4
dx (3.335)
равны постоянным величинам.
5) Показать, что уравнение sin-Гордона
=sin u (3.336)
u
xt
имеет законы сохранения [136]:
2
1
− (1 −cos u)t=0, (1 −cos u)x−
u
t
2
x
2
1
=0.
u
x
2
t
(3.337)
6) Используя преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона, доказать формулу (3.92).
7) Используя переменные
u (x, t)=exp{iF (z)},z= xt, (3.338)
найти уравнение для F (z), в которое переходит уравнение sin-Гордона (3.336).
Показать, что это уравнение является частным случаем P
.
3
8) Найти уравнения, к которым приводится уравнение Буссинеска:
1
+
u
4
, (3.339)
xx
xx
u
tt
=u +
2
u
2
если его решения искать в переменных бегущей волны [87, 123]
u (x, t)=U (z) ,z= x − C
t. (3.340)
0
9) Найти уравнение, к которому сводится (3.339), если его решение искать, используя переменные [108]
u =
Uξ−
2
1
2
t, ξ =
ξ
x
. (3.341)
√
t
Проверить полученное уравнение на тест Пенлеве.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]